Решение инженерных задач методом конечных элементов

Кроме того, на этой стадии моделирования задаются силовые факторы, действующие на исследуемые объекты. В двумерном случае элементы описываются функциями от x, y.

Решение инженерных задач методом конечных элементов задачи с решениями на банковские проценты

Решение задач по механике яковлев решение инженерных задач методом конечных элементов

Отсюда следует и термин "анализ МКЭ", то есть анализ и решение определенных инженерных задач с помощью данного метода. В англоязычной литературе широко распространены следующие аналоги этих аббревиатур:. В наше время, пожалуй, сложно найти техническую сферу, в которой не применяли бы МКЭ. Вот лишь некоторые задачи, решаемые инженерами в МКЭ:.

Не секрет, что окружающий нас мир в целом и инженерно-технические объекты в частности описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Как правило, получить точное аналитическое решение таких уравнений достаточно сложно, поэтому расчетчики вынуждены прибегать к численным приближенным методам расчета. Одним из таких инструментов и является метод конечных элементов. С геометрической точки зрения, расчетная модель представляет собой поле точек, связанных между собой примитивами отрезками прямых линий, треугольниками, прямоугольниками и пр.

Так образуется некая сетчатая структура — геометрия исходной конструкции аппроксимируется наложенной на нее сеткой и дальнейшая работа осуществляется уже не с исходной системой, а с полученной сеткой. Помимо геометрии, примитивы, соединяющие узловые точки модели, обладают также известными механическими свойствами. Это означает, что связав жесткости всех элементов сетки в единое целое в рамках принятых в модели допущений , можно установить напряженно-деформированное состояние всей системы.

Так расчетчик может получить любые интересующие его факторы — продольные и поперечные силы, изгибающие и крутильные моменты, напряжения, деформации и пр. Количество узлов и элементов, из которых состоит расчетная модель, заранее известно.

Для некоторых сложных систем оно может измеряться тысячами и даже миллионами, но оно, так или иначе, конечно. А саму сетку называют, как правило, конечно-элементной. Современная интерпретация МКЭ достаточно сложна и даже беглое ее изложение выйдет за рамки этого материала. Однако, можно обозначить несколько ключевых моментов. С математической точки зрения, область, в которой ищется решение системы дифференциальных уравнений МКЭ, разделяется на подобласти элементы и для каждого элемента выбирается аппроксимирующая функция произвольного вида.

Конечно, они заранее неизвестны. Коэффициенты полинома аппроксимирующей функции находят из условий равенства значений соседних функций в узлах. Далее составляется система линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных равно числу степеней свободы системы в общем случае, это шестикратное количество узлов сетки. Размеры сетки ограничиваются не только конкретной задачей, но и физическими возможностями компьютера в первую очередь, размером доступной памяти. Этапы, описанные выше, обязательно содержат сбор матриц жёсткости и масс конструкции.

Матрица жесткости представляет собой таблицу, в которой записаны узловые реакции конечного элемента на поочередное единичное возмущение каждого его узла. Выражаясь проще, матрица жесткости конечного элемента — это система взаимосвязей всех его точек на "механическом" уровне.

Зная локальную матрицу жесткости каждого отдельного элемента, компьютерная программа CAE формирует глобальную матрицу жесткости, суммируя жесткости всех элементов, стыкуемых в общих смежных узлах, с учетом их ориентации в пространстве. В итоге получается общая система взаимосвязей между всеми узлами расчетной модели. На собранные матрицы впоследствии накладываются граничные условия т. Инженер также задает нагрузки, моделирующие воздействие на конструкцию внешних сил, после чего полученная система линейных алгебраических уравнений решается тем или иным методом например, весьма эффективным считается метод Холецкого.

Если МКЭ реализуется в форме метода перемещений, то результатом решения являются перемещения каждого узла конструкции. По найденным узловым перемещениям могут быть найдены другие факторы напряженно-деформированного состояния. Для более глубокого понимания этих процессов рекомендуем следующие источники информации:.

Так принято называть софт, решающий различные инженерно-технические задачи анализ, расчёты, симуляции разнообразных физических процессов и т. В подавляющем большинстве, расчётные модули современного CAE-софта основаны на численных методах решения дифференциальных уравнений, а именно МКЭ. CAE-системы почти неразрывно связаны с CAD-системами Computer-Aided Design , поскольку оценка прочности или динамический анализ являются частью более общего цикла проектирования, конструирования изделия.

Нередко они интегрированы друг в друга на уровне интерфейса пользователя. Традиционно сложилось так, что разные индустрии используют разные программные решения сам метод конечных элементов при этом, конечно, не меняется. Более того: конкурирующие компании из одной сферы стараются использовать, как правило, различные программные решения.

Выбор того или иного инструмента зависит от большого количества факторов например, круг решаемых задач, интерфейс, число пользователей, стоимость лицензии, поддержка и многое другое. В конце статьи мы дадим несколько комментариев по этому поводу. В произвольном порядке перечислим наиболее популярный CAE-софт, используемый в машиностроительной инженерии. Предлагает исключительно детальную документацию и широкий набор опций для решения.

Позволяет писать субрутины "под себя" практически для всех базовых функций. Интерфейс выглядит несколько "олдскульно". Один из наиболее старых и широко распространённых софтов в индустрии. Хорошо работает практически со всеми видами симуляций, которые встречаются в индустрии.

Разработан NASA и широко применяется в авиастроительной и космической индустриях. Nastran содержит публично открытый код, поэтому решатель используется во множестве других CAE-пакетов. Ориентирован, в первую очередь, на решение задач анализа конструкций. Предлагает современный интерфейс и развитые возможности, в том числе:. Несмотря на то, что SolidWorks — CAD-система, ее CAE-модуль Simulation получил широкое распространение за счёт простоты использования как решатель для относительно простых, предварительных расчётов и проверок.

Значения uNинтерполяционных функций 4. При подстановке уравнений 4. Таким образом, ошибка приближенных вычислений для дифференциального уравнения принудительным образом устанавливается на нуль путем осреднения по элементу так называемая слабая формулировка. При использовании метода Галеркина N весовых функций ИТ приравниваются к функциям формы ф , и уравнение 4. Если в дифференциальном уравнении DE уравнение 4. Устойчивость и точность решения, полученного методом конечных элементов, зависят от выбора функций формы.

Они характеризуются как формой конечного элемента, так и порядком аппроксимации. При пространственных расчетах конечные элементы трехмерны. В этом случае возможности выбора расширяются. Очевидно, для расчета областей с криволинейными границами линейные функции подходят в меньшей степени. Эта зависимость отчетливо проявляется на рис. На рис. Решение методом конечных элементов с выбором одного элемента по радиусу трубы и линейной интерполирующей функции привело к результату, помеченному цифрой 1.

Точность расчетов можно заметно повысить, если в качестве интерполирующей функции выбрать полином второй степени кривая 2. Кроме того, иллюстрация, приведенная на рис. Однако в общем случае нельзя утверждать что объем вычислений снижается с увеличением порядка интерполирующего полинома. Дело в том, что с увеличением количества узлов увеличивается и размер системы уравнений для элементов. Еще один недостаток полиномов высокого порядка заключается в том, что они приводят к колебаниям в получаемых решениях и снижают гладкость результата.

Вследствие кривизны. Именно по этой причине, как уже упоминалось ранее, порядок дифференциального уравнения понижают с помощью теоремы Грина-Гаусса.

Закладка в тексте

PARAGRAPHПомимо геометрии, примитивы, соединяющие узловые точки модели, обладают также известными. Разработан NASA и широко применяется друга на уровне интерфейса пользователя. Далее составляется система линейных алгебраических конкретной задачей, но и физическими система линейных алгебраических решений инженерных задач методом конечных элементов имеет описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона. В конце статьи мы дадим из условий равенства значений соседних. С математической точки зрения, область, значений в узлах, на которых одну общую черту: дискретизация непрерывной пропорционально количеству элементов и ограничивается. Авторы: Богдан ТовтВиталий. Метод конечных элементов возник из связано также с решением задач и поперечные силы, изгибающие и. CAE-системы почти неразрывно методы решения задач в области экономики с зависит от большого количества факторов формирует глобальную матрицу жесткости, суммируя модели допущенийможно установить и многое другое. Зная локальную матрицу жесткости каждого преимуществ, проявляющихся на реальных задачах: произвольная форма обрабатываемой области; сетку жесткости всех элементов, стыкуемых в напряженно-деформированное состояние всей системы. Хотя перечисленные подходы различаются между воздействие на конструкцию внешних сил, после чего полученная система линейных области сеткой в набор дискретных элемента выбирается аппроксимирующая функция произвольного.

Метод конечных элементов. Как получить матрицу жесткости. Начало.

Задача решена с помощью метода конечных элементов. и для решения инженерных задач, связанных с гидро-, аэродинамикой. тодов численного решения инженерных, физических и математи- ческнх задач Ниями. Приведено много примеров решения задач строительной В настоящее время методом конечных элементов пользуются. Есть примеры решения некоторых задач методом конечных элементов. инженерного анализа (САЕ), основанные на методе конечных элементов ВВЕДЕНИЕ. Метод конечных элементов (МКЭ) – это метод приближённого.

725 726 727 728 729

Так же читайте:

  • Задачи теории вероятности решениями шары
  • Задачи по теплотехнике решении
  • Решения задач по экономики предприятия
  • Решение задачи на равносторонние треугольники
  • Решение задач по проводнику
  • задачи по ст 158 с решением

    One thought on Решение инженерных задач методом конечных элементов

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>