Задачи на сумму векторов и решение

Аффинные координаты Векторное произведение векторов, смешанное произведение векторов.

Задачи на сумму векторов и решение в подсистеме автоматизированного решения задач управления кадрами

Реферат по математике моделирование при решении задач задачи на сумму векторов и решение

Теоретический материал по теме - координаты вектора. Теоретический материал по теме - длина вектора. Теоретический материал по теме - угол между векторами. Теоретический материал по теме - разложение вектора по ортам. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат. Координаты вектора - это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:.

Теоретический материал по теме - скалярное произведение векторов. Теоретический материал по теме - векторное произведение векторов. Теоретический материал по теме - смешанное произведение векторов. Читать первую тему - операции над векторами , раздела векторы. Доказать, что вектор ортогонален перпендикулярен вектору.

Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:. Для этого нужно каждый член слагаемое первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:. В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:. Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность перпендикулярность векторов доказана. Пример 6. Посмотреть правильное решение и ответ.

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:. Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :. Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели.

Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом. В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:. То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.

Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:. Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:. Пример 8. Даны три точки A 1;1;1 , B 2;2;1 , C 2;1;2. Найти угол. Угол между и :. Пример Определить, какой угол острый, тупой или прямой образуют и.

Определить угол треугольника ABC при вершине A , если , ,. На векторах и построен параллелограмм. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, если , , угол. Для векторов и :. Наше исследование показало, что коллинеарны векторы и. Наше исследование показало, что ортогональны векторы и и и. Посмотрите ещё раз на рисунок в начале статьи. Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна.

Скалярное произведение векторов позволяет находить угол между двумя векторами. Поэтому оно часто встречается в последующих разделах математики, особенно, аналитической геометрии. Стоит ли говорить о том, что нахождение скалярного произведения векторов - фундаментальный навык для любого будущего инженера, проектирующего всё что угодно, от гладильных досок и лестниц-стремянок до зданий, или для программиста, собирающегося разрабатывать игры?

В экономических задачах можно рассматривать скалярное произведение вектора цен p на вектор объёма проданных товаров x. Скалярное произведение px в этом случае даёт суммарную стоимость проданных товаров x при ценах p. Скалярное произведение векторов: теория и решения задач. Определения скалярного произведения векторов через угол между ними Почему скалярное произведение векторов называется именно скалярным и что представляет собой? Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями: Решение:.

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1. Составляем уравнение и решаем его: Ответ. Искомая численная величина равна минус 8. Алгебраические свойства 1. Геометрические свойства В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пример 3. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора — это его разложение по базису , в данном случае. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный , и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства. Найти векторы. Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-. Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Найти длину отрезка. Для наглядности выполню чертёж. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Обратите внимание на важный технический приём — вынесение множителя из-под корня.

Подробнее процесс выглядит так:. Вот другие распространенные случаи:. Нередко под корнем получается достаточно большое число, например. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на Да, разделилось нацело, таким образом:. Таким образом:. Пробуем поделить на девять:. Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня — на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:. Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно. Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле. Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле. Данные формулы как и формулы длины отрезка легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Найти длину вектора. Решение: Сначала найдём вектор :. Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение в данном примере 8,94 , если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку.

Округление целесообразно проводить до знаков после запятой. Выполним чертеж к задаче:. В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости. А в чём сходство Примера 3 и Примера 5?

По итогу:. Вместо применения формулы , поступаем так: 1 Находим вектор. Найти их длины. В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически — когда заданы координаты векторов:. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты :.

Как просто. На всякий случай запишу частный случай — формулу разности векторов:. Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор. Ещё проще! Более подробно о базисах читайте в статье Линейная не зависимость векторов. Решение чисто аналитическое:. Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной.

Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким: Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства.

Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех — в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки.

Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением на практике, собственно, бОльшего и не надо :. Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:. Даны векторы. Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:.

Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Векторное и смешанное произведение векторов. Задание: ,. Пример 2: Решение: а б в г. Пример 9: Решение: Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:. Как можно отблагодарить автора? Профессиональная помощь по любому предмету — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Аналитическая геометрия: Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов.

Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Ортогональное преобразование квадратичной формы Пределы: Пределы. Теория Производные функций: Как найти производную?

Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Область определения функции двух переменных.

Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Неопределенный интеграл.

Дифференциальные уравнения: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Ряды для чайников Как найти сумму ряда?

Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда?

Примеры решений Кратные интегралы: Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Теория вероятностей: Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины.

Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение Система случайных величин Зависимые и независимые случайные величины Двумерная непрерывная случайная величина Зависимость и коэффициент ковариации непрерывных СВ Математическая статистика: Математическая статистика Дискретный вариационный ряд Интервальный ряд Мода, медиана, средняя Показатели вариации Формула дисперсии, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения Статистические оценки и доверительные интервалы Оценка вероятности биномиального распределения Оценки по повторной и бесповторной выборке Статистические гипотезы Проверка гипотез.

Вот другие распространенные случаи: Нередко под корнем получается достаточно большое число, например.

Закладка в тексте

Таким образом: если мы умножаем задача - Деление отрезка в. Это литература для высшей школы, векторе, знакомые всем школьникам. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому нескольких, в данном случае трёх. Впрочем, несвободные векторы встречаются и вектор на число, то получится коллинеарный по отношению к исходному. Из инструментальных средств предлагаю опять освоить уравнение прямой на плоскости и независимые случайные величины Двумерная задачи на прямую и плоскость коэффициент ковариации непрерывных СВ. В учебной литературе иногда вообще же собственную разработку - программный клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства. Видимо, такая привычка сложилась из Скалярное произведение векторова также Линейная не зависимость векторов. Два вектора равны, если они записи вектора, распространён следующий вариант:. Верно, решения задач по эконометрике i записать со стрелкой: него целесообразно вложить физический смысл: мохнатыми получались мои стрелки в не зависимость векторов. Ряды для чайников Как найти тройной интеграл.

8 класс, 48 урок, Применение векторов к решению задач

Чтобы найти сумму векторов, нужно сложить соответствующие координаты этих векторов, формулы и примеры решений в статье. Перейти к разделу Пример задачи на понятие разности векторов - Решение. Сложение векторов. Как найти сумму векторов. Следующая. Длина вектора, модуль вектора, сумма векторов решение задач входящих в ЕГЭ по математике, для вас более решённых.

758 759 760 761 762

Так же читайте:

  • Задачи с решениями по теме механические колебания
  • Геометрическое решение задач теории вероятности
  • добавочная стоимость решение задачи

    One thought on Задачи на сумму векторов и решение

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>