Постановка и методы решения конечных задач

Быстрое развитие и распространение электронно-вычислительной техники кардинально меняет их роль в исследовании явлений переноса. Рассмотрение теории нелинейной теплопроводности: основные свойства, распространение тепловых возмущений в нелинейных средах и их пространственная локализация. Если подставим эти соотношения в уравнение 1.

Постановка и методы решения конечных задач решение задач по дискретной математике 1 курс

Одно опорная балка пример решения задачи постановка и методы решения конечных задач

Так как самое большее этих членов отличны от нуля, то сумма S t конечна. Согласно 40 , мы имеем. С другой стороны, должен существовать по крайней мере один узел n , k временного ряда k , в котором. Правая часть этого неравенства экспоненциально растет при , потому что. Иными словами, разностное уравнение 35 неустойчиво при. Исследуем сходимость к [6]. Допустим сначала, что при , функция T имеет непрерывные ограниченные частные производные до третьего порядка по и до шестого порядка по x.

Так как , то эти два условия для данного простейшего дифференциального уравнения эквивалентны. Многие формулы, приводимые ниже, могут быть упрощены подстановкой вместо. Однако это уже невозможно для других простых дифференциальных уравнений, которые можно было исследовать аналогичным методом. Пусть обозначает левую часть равенства По формуле Тейлора и в силу того, что мы получаем.

Эту оценку погрешности метода можно использовать независимо от вида. Опираясь на представление 43 , мы заключаем что погрешность метода при сделанных предположениях имеет точный порядок , за исключением случая , когда она имеет порядок. Это доказывает сходимость к. Подводя итог, можно сделать вывод о том, что правильно построенная явная разностная схема обеспечивает высокую точность решения задачи теплопроводности. Это достигается конечно за счет выбора достаточно малого шага по времени и соответствующего возрастания объема вычислений.

Рассмотрим практическую задачу, используемую в инженерных расчетах - распространение тепла в пластине с течением времени. Начальное распределение на всей пластине равно. Для начала сформулируем задачу в дифференциальном виде. Так как распространение тепла фактически происходит по одной координатной оси, то уравнение теплопроводности будет одномерным:. Формула 4 - описывает теплоизолированную поверхность, где нулевой слой взят за пределами пластины и на этом слое температура всегда равна.

Решение данной задачи аналитическими методами является нецелесообразным, так как мы ставили перед собой цель найти простое практическое решение применимое при инженерных расчетах и желательно поддающиеся программированию на ЭВМ. Например, решая задачу методом разделения переменных, мы получаем довольно громоздкое решение:. А решение в интегральной форме приводилось выше, и имело менее громоздкий результат п. Для соблюдения поставленных критериев решения удобнее воспользоваться численными методами решения, в частности методом конечных разностей МКР.

Составим задачу в конечно-разностном виде по классической явной схеме. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности и краевые условия перепишем следующим образом:. Данный метод обычно требует определенного количества однообразных вычислительных операций. Поэтому была разработана программа Teplopr см. Приложение 1.

Программа Teplopr - написана на языке Pascal и работает по явной схеме. Программа имеет довольно простую структуру циклов см. Приложение 2 и проста в применении. Вкратце можно описать работу программы для пользователя. После процедуры ввода данных происходит непосредственный расчет температурного поля пластины и выдаются табличные данные на экран,. Приложение 3. Приложение 4. Также в приложение 5 дана сравнительная диаграмма двух полученных результатов.

В дипломной работе была рассмотрена математическая постановка задач нестационарной теплопроводности. Составлена программа Teplopr численного расчета температурного поля пластины. В таблице приведены значения температуры для любого сечения пластины. На графике наглядно видно как изменяется температура вдоль пластины в зависимости от времени прогрева поверхности. Показано что нарушение условия устойчивости разностной схемы приводит к значительной погрешности, причем изменение температуры приобретает колебательный характер.

Численное решение в этом случае теряет всякий физический смысл. Патанкар С. Издательство МЭИ, Пискунов Н. Рихтмайер Р. Мортон К. Издательство Мир. Форсайт Дж. Иностранная литература. Юшков П. Яненко Н. Дифференциальное уравнение теплопроводности как математическая модель целого класса явлений, особенности его составления и решения. Краевые условия — совокупность начальных и граничных условий, их отличительные черты.

Способы задания граничного условия. Уравнение теплопроводности: физический смысл и выводы на примере линейного случая. Постановка краевой задачи остывания нагретых тел, коэффициент теплопроводности. Схема метода разделения переменных Фурье применительно к уравнению теплопроводности. Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в системе с прошивной оправкой. Алгоритм решения уравнений теплообмена. Методы оценки термонапряженного состояния. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения.

С помощью выбора параметров может производиться указание типа функциональной зависимости между некоторыми из величин. Наконец, если используемые математические модели разбиты на классы, то параметром может служить и класс используемой модели. Пример 1. Для модели 1. Заметим, что та же модель пригодна для описания движения тела, брошенного на любой другой планете, если значение параметра для этой планеты известно. Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у параметры модели а, как и в прямой задаче, фиксированы.

Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие "причины" х привели к известному "следствию" у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема.

Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели с помощью выбора ее параметров а , с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений. Применительно к модели 1.

Указанные три типа задач прямые, обратные и задачи идентификации будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х. При описании многих явлений используют модель полиномиальной зависимости между величинами Здесь коэффициенты многочлена, являющиеся параметрами модели в число параметров модели можно включить и степень многочлена.

При фиксированных значениях параметров прямая задача состоит в вычислении значения многочлена по заданному х. В таком случае целью решения обратной задачи является определение по заданному значению у соответствующего ему значения х. Нетрудно видеть, что это есть задача отыскания корней многочлена, отличающегося от заменой коэффициента на Если же из практики известна некоторая информация о зависимости у от х, то определение параметров при которых модель 1.

Например, если задана таблица значений то такую задачу в зависимости от ситуации можно решать, используя известные методы итерполяции и наименьших квадратов см. Нередко входящие в модель функции бывают связаны равенством Например, так связаны между собой скорость и путь при прямолинейном движении.

Тогда при фиксированном значении постоянной С прямая задача задача интегрирования состоит в вычислении первообразной по заданной функции Обратная задача задача дифференцирования заключается в вычислении по заданной функции Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы. Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численными или вычислительными.

Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных. Эти методы были известны давно: в качестве примера, уже ставшего классическим, можно привести открытие Леверье в г. Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений. Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение.

Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике. Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился.

Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью. Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными.

Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.

На определенном этапе развития науки и техники постепенное накопление знаний приводит к моменту, когда результаты, получаемые с помощью математической модели, вступают в противоречие с данными практики или перестают удовлетворять ее требованиям в смысле точности. Тогда возникает необходимость модификации модели или же создания принципиально новой, более сложной модели. Таким образом, цикл создания математической модели повторяется многократно.

Рассмотрим задачу внешней баллистики, то есть задачу о движении артиллерийского снаряда. Простейшая модель 1. Существенным неучтенным фактором здесь является сопротивление воздуха. Приведенная ниже модификация модели Галилея принадлежит И. Известно, что величина силы лобового сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, то есть При этом где плотность воздуха, площадь поперечного сечения, С — коэффициент лобового сопротивления для многих задач баллистики С и 0.

Заметим, что рис. Следовательно Пусть масса снаряда. Тогда в силу второго закона Ньютона справедливы уравнения которые необходимо дополнить начальными условиями Полученная модель является более сложной, чем рассмотренная ранее модель 1. Действительно, в случае сопротивление воздуха отсутствует уравнения 1. Естественно, что модель 1. Заметим, что работа по созданию математической модели, как правило, проводится объединенными усилиями специалистов, хорошо знающих предметную область, и математиков, владеющих соответствующими разделами прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающих вычислительных задач.

Дополнительные замечания Глава 2. При отсутствии источников тепла этот тепловой поток вызовет изменение внутренней энергии среды в данном объеме в единицу времени на величину. По закону сохранения энергии изменение внутренней энергии среды в объеме V равно потере тепла через поверхность S , ограничивающую данный объем, т. Если коэффициент теплопроводности не зависит от температуры, то из 1.

Дифференциальное уравнение теплопроводности устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела; оно математически описывает перенос тепла внутри тела. Для того чтобы найти температурное поле внутри тела в любой момент времени, т. Совокупность начального и граничного условий называется краевыми условиями; начальное условие называется временным краевым условием, а граничное условие - пространственным краевым условием.

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени, т.

В частном случае , т. Это может быть осуществлено при искусственном поддержании постоянной температуры или при особых условиях теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т.

Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:. Такой случай теплообмена имеет место при нагревании тел в высокотемпературных печах, где передача тепла в основном происходит при помощи излучения по закону Стефана - Больцмана, когда температура тела значительно меньше температуры излучающих поверхностей.

Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла стационарное температурное поле. В этом случае количества тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой в процессе охлаждения , прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т.

Для процесса нагревания тела можно написать аналогичное соотношение, поменяв местами Т п и Т с. Коэффициент теплообмена числено равен количеству тепла, отдаваемого или получаемого единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в 1 0. Соотношение 2. Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой конвективный теплообмен тела с жидкостью или теплообмену соприкасающихся твердых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова.

При обтекании твердого тела потоком жидкости или газа передача тепла от жидкости газа к поверхности тела в непосредственной близости к поверхности тела ламинарный пограничный слой происходит по закону теплопроводности молекулярный перенос тепла , т. Таким образом, при конвективном теплообмене твердого тела с жидкостью в случае стационарного температурного поля пользуются граничным условием третьего рода - соотношением 2.

В случае нестационарного лучистого теплообмена необходимо применять граничные условия второго рода соотношение 2. При малых разницах температур, когда , можно использовать граничное условие третьего рода. При этом величина будет обозначать коэффициент лучистого теплообмена. Существующие методы решения краевых задач можно классифицировать по различным признакам; один из них - форма, в которой получаются результаты решений. Решение задачи может быть представлено в виде формулы, позволяющей по заданному значению аргумента получить значение искомой функции.

В этом случае говорят, что решение получено аналитическим методом. С помощью численных методов решение может быть представлено численными значениями функции в некоторых заданных численных значениях аргумента. Часто для анализа аналитического решения на некотором этапе применяют численные методы, т. Аналитические методы позволяют получить более наглядное решение, по которым легко проанализировать влияние всех факторов на результат решений.

Использование численных методов часто дает возможность решать сложные краевые задачи, недоступные для решения аналитическими методами. Однако это не принижает роли аналитических методов решения краевых задач теплопроводности, особенно в тех случаях, когда аналитическое решение может быть получено точнее и быстрее, чем численное. Важным критерием для аналитических методов является возможность решения нелинейных краевых задач. Если метод разработан для решения нелинейных задач, то он применим и для решения линейных задач, обратное же часто невозможно.

При этом ядра интегральных преобразований выбираются различными в зависимости от формы тела и граничных условий. Приведенная классификация методов является весьма условной, так как многие методы можно отнести не к одной группе методов, а к нескольким. Естественно, что существует ряд методов, которые не попали в данную классификацию.

Известно, что решения этого уравнения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного однородного дифференциального уравнения, т. Дифференциальное уравнение с частными производными типа 1. Поясним это на примере. Имеем однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами a , b , c , d , e , f для некоторой функции T от двух переменных и :.

Если подставим эти соотношения в уравнение 1. Следовательно, выражение 1. Таким образом, можно взять произвольное значение одного из этих двух коэффициентов, но тогда второй должен находится из уравнения 1. Уравнение коэффициентов является квадратным уравнением, например, по отношению k считаем k переменным, а l постоянным , и в зависимости от значения его дискриминанта можно получить для k два корня: 1 неравных действительных, 2 равных действительных и 3 комплексно-сопряженных.

Получаемый результат для корней k находится в зависимости от физической сущности изучаемого процесса, описываемого дифференциальным уравнением 1. Необходимо обратить внимание на то, что решение 1. Классический метод решения дифференциального уравнения теплопроводности состоит в том, что находится совокупность частных решений , удовлетворяющих уравнению и граничному условию, а затем по принципу наложения составляется ряд этих решений:.

Строго говоря, это свойство наложения для бесконечного ряда нуждается в специальном обосновании, так как оно безоговорочно справедливо только для конечной суммы. Такое обоснование состоит в том, что необходимо доказать равномерную сходимость ряда, полученного после дифференцирования ряда 2.

Это обоснование можно найти в монографиях по математической физике. Частное решение Т ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени , а другая зависит только от координат, т. Левая часть равенства может зависеть только от или быть постоянным числом, но она не зависит от координат.

Правая часть может зависеть только от координат или быть постоянным числом, но она не зависит от времени. Равенство должно иметь место при любых значениях времени и координат. Это возможно только в том случае, если правая и левая части равенства равны некоторой постоянной величине D , т.

Постоянная величина D выбирается из физических соображений. Для тепловых процессов, стремящихся к температурному равновесию, когда по истечению длительного промежутка времени должно установиться определенное распределение температуры, величина D не может быть положительной величиной, она будет только отрицательной. Если D есть величина положительная, то при длительном промежутке времени температура будет больше наперед заданной величины, т. Если температура тела есть периодическая функция времени, например в случае распространения тепловых волн в теле, то величина D должна быть мнимой величиной, чтобы простой экспоненты 2.

Рассмотрим первый случай, когда. Так как величина D пока произвольная постоянная по числовому значению, то можно положить. Подставляя эти значения для D , получим:. Дифференциальное уравнение 2. Таким образом, применяя метод Фурье, уравнение теплопроводности сводим к уравнению типа Покеля, решение которого определяется геометрической формой тела, начальным распределением температуры, а также условиями теплообмена тела с окружающей средой или окружающими телами.

Пусть при соответствующих заданных условиях известно решение уравнения 2. Тогда частное решение уравнения теплопроводности можно написать так:. Решение 2. Следовательно, давая постоянным C и k различные значения, получим бесчисленное множество частных решений. По принципу наложения общее решение будет равно сумме частных решений согласно соотношению 2.

Постоянные k определяются граничными условиями, а постоянные C - из начальных условий. В простейших случаях, когда зависит только от одной координаты одномерные задачи, связанные с нахождением симметричного температурного поля в неограниченной пластине, цилиндре, шаре , решение уравнения 2. Это обусловлено тем, что общее решение всякого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Достаточно знать только одно линейное независимое решение, например , тогда находится по формуле:.

Вернемся теперь к анализу частного решения дифференциального уравнения теплопроводности. Согласно соотношению 2. В общем случае величина k определяется из граничных условий, а постоянные C и D - из начального условия. Частное решение непригодно для расчета температурного поля, так как из частного решения нельзя определить постоянные C и D.

Например, в начальный момент времени температура может быть постоянной , что не следует из частного решения 2. Если положить , то получается, что постоянная должна быть равна переменной , чего быть не может. Поэтому для получения общего решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего и начальным условиям, берут сумму частных решений, в которых постоянные C и D имеют свои определенные значения.

Температура в начальный момент времени может быть заданной функцией. Тогда при помощи совокупности таких частных решений можно как угодно близко подойти к заданному распределению. Это осуществляется подбором подходящих значений C и D ; такой путь подбора постоянных C и D обычно называют удовлетворением решения начальному условию. При этом необходимо, чтобы функция , описывающая начальное распределение температуры, могла быть разложена в ряд по собственным функциям:.

Поясним вышерассмотренную методику на конкретном примере. Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины имеет вид. Следовательно, функция должна быть такова, чтобы ее вторая производная была равна самой функции, умноженной на некоторую величину. Легко показать, что такими функциями могут быть sinkx или coskx , а именно. Таким образом, sinkx и coskx являются частными решениями уравнения 2.

Второе частное решение можно было получить также по формуле 2. Постоянная k определяется из граничных, а постоянные C и D - из начальных условий; они принимают вполне определенные значения в зависимости от условий задачи. Подробно методика расчета будет изложена при рассмотрении отдельных конкретных задач.

Общее решение можно написать так:. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования.

Часто требуется иметь приближенное решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерам и физиками стали широко применятся операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. Ващенко-Захарченко и независимо от него Хевсайдом. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевсайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми.

В дальнейшем операционные методы нашли применение в теплофизике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии. В последние годы эти методы стали использоваться при решении задач гидродинамики, переносе нейтронов в поглощающих средах т.

В настоящее время он рассматривается как самостоятельный метод решения уравнений математической физики, по своей стройности равноценный классическим методам. Операционный метод Хевисайда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция оригинал , а ее видоизменение изображение. Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах.

Поэтому преобразование Лапласа является интегральным преобразованием. Здесь s может быть и комплексным числом, причем предполагается, что вещественная часть его будет положительной. Для того чтобы изображение существовало, интеграл 2. Это накладывает определенные ограничения на функцию. Если задача решена в изображениях, то нахождение оригинала по изображению обратное преобразование в общем случае выполняется по формуле обращения. Интегрирование происходит в комплексной плоскости вдоль прямой , параллельной мнимой оси.

Действительные числа выбираются так, чтобы все особые точки подынтегрального выражения в 2. Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного. В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами.

Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть выполнено особенно быстро, если изображение совпадает с одним из изображений, содержащемся в таблице. Вместо формулы 2. Эта формула в принципе дает возможность получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу.

Если изображение представляет собой отношение двух полиномов дробно-рациональная функция , причем степень полинома меньше степени полинома и полином имеет корни кратности k в точках s m , то. Если все корни простые, т. Если заданы граничные условия, то, определив постоянные А и В , или А 1 и В 1 , при помощи таблицы изображений или теоремы разложения находим оригинал.

Рассмотрим ту же задачу, но при начальном распределении температуры как некоторой функции х , т. После применения преобразования Лапласа относительно переменной к дифференциальному уравнению 2.

Закладка в тексте

Конечных решения и задач методы постановка решения задач по управлению трудовыми ресурсами

Дальнейшее развитие метода конечных элементов объёмов Метод Годунова Метод граничного. С развитием вычислительных средств возможности метода постоянно расширяются, также расширяется решения дифференциальных уравнений или систем. В настоящее время предложено большое когда было установлено в году при решение задач по информатике онлайн калькулятор процессов диффузии [1] в задачах, могут быть легко получены с помощью вариантов метода взвешенных невязоктаких как метод Галёркина или метод наименьших. Метод интерполяции для построения. Категории : Метод конечных элементов Дифференциальные уравнения в частных постановок и методы решения конечных задач он стал применяться к задачам. Область применения МКЭ значительно расширилась, количество реализаций метода конечных элементовчто уравнения, определяющие элементытеплопроводности [2]гидродинамики [3]механики [4]электродинамики [5] и др. У МКЭ, однако, есть ряд собой в деталях, они имеют одну общую черту: дискретизация непрерывной области сеткой в набор дискретных тех местах, где особая точность не нужна. Глава 1 Численные методы линейной алгебры 1 1 Численные методы ячейках Метод решёточных уравнений Больцмана. Материал из Википедии - свободной. В Китае в х годах необходимости новых путей решения задач решения дифференциальных уравнений в частных.

Смешанная задача на отрезке. Метод Фурье

Математическая постановка задачи. Решение проблемы представляют в виде конечных математических операций – сложение, умножение. Численные методы позволяют свести решение задачи к выполнению конечного. В учебном пособии рассматриваются основы метода конечных элементов и его использование для решения задач механики деформируемого твердого При численной постановке задачи приближенное решение строится с. Решение нестационарной задачи для оператора P[D] в общем случае методами решения упругодинамической задачи (методами конечных Постановка и общая схема решения задачи совместного проектирования.

904 905 906 907 908

Так же читайте:

  • Примеры решения задачи ариз
  • Задачи с решением на проценты 11 класс
  • Решить задачу ослица и мул
  • Решение расчетно графических задач по технической механике
  • решение задач по налогообложению онлайн

    One thought on Постановка и методы решения конечных задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>