Графы сети решение задач

Точки при этом называются вершинамиа линии — ребрами графа.

Графы сети решение задач решение задачи по факторингу

Физика 9 класс равноускоренное движение задачи с решением графы сети решение задач

Часто, когда такое свойство отношений очевидно, необходимость давать рёбрам направления может показаться "математической тупостью". Но всё же, и это вытекает из строгого характера математики, если отношение носит односторонний характер, то давать направления рёбрам нужно. В приложениях отношений эта строгость окупается, например, в программах, предназначенных для планирования, где тоже применяются графы и маршрут по вершинам и рёбрам должен проходить строго в заданном направлении.

Итак, получаем следующий ориентированный двудольный граф:. Пример 5. Построить граф, реализующий отношение, определяющее все пары чисел a и b из множества C , у которых при делении второго элемента на первый получаем частное, которое является целым числом больше 1.

Граф, отображающий данные отношения, будет ориентированным, так как в условии есть упоминание о втором и первом элементе, то есть, ребро будет направлено от первого элемента ко второму. Из этого однозначно понятно, какой элемент является перым, а какой вторым.

Ещё добавим терминологии: ориентированные рёбра принято называть дугами. В этом примере рёбра дуги графа просто пронумерованы, но порядковые номера - не единственное, что можно приписать дуге. Дуге можно приписать также весы означающие, например, стоимость пересылки груза из одного пункта в другой. Но с весами дуг мы познакомимся позже и подробнее. Итак, получаем следующий ориентированный граф:. Как мы уже знаем из теоретической вступительной части, теория графов не учитывает специфическую природу множеств и с помощью одного и того же графа можно задать отношения на множествах с самым разным содержанием.

То есть, от этого самого содержания при моделировании задачи можно абстрагироваться. Перейдём к примерам, иллюстрирующим это замечательное свойство теории графов. Пример 6. На кусочке шахматной доски размером 3 Х 3 размещены два белых коня и два чёрных коня так, как показано на рисунке ниже. Можно ли переместить коней в состояние, которое изображено на следующем рисунке, не забывая, что две фигуры не могут находиться на одной клетке?

В конструируемом графе пары вершин будут связаны отношением "ход коня". То есть, одна вершина - та, из которой конь ушёл, а другая - та, в которую пришёл, а промежуточная клетка буквы "г" будет за пределами этого отношения. И всё же конструкция получилась громозкой. В ней видны клетки шахматной доски, а многие рёбра графа пересекаются. Нельзя ли абстрагироваться от физического вида шахматной доски и вообразить отношения проще?

Оказывается, можно. В новом графе соседними вершинами будут те, которые связаны отношением "ход коня", а не соседние по шахматной доске рисунок ниже. Теперь легко увидеть, что ответ на вопрос этой задачи - отрицательный. В начальном состоянии между двумя белыми конями нет чёрного коня, а в конечном состоянии этот чёрный конь должен быть. Рёбра графа размещены так, что два находящихся рядом коня не могут перепрыгнуть друг через друга.

Пример 7. Задача о волке, козе и капусте. На одном берегу реки находятся человек Ч , лодка, волк В , коза Кз и капуста Кп. В лодке одновременно могут находиться человек и не более одного из перевозимых объектов. Человек должен перевезти на другой берег все объекты, соблюдая условие: нельзя оставлять без присмотра волка вместе с козой и козу вместе с капустой.

В конструируемом графе вершины - конфигурации, а рёбра - отношение "связь одним плаваньем лодки" между конфигурациями. Конфигурация означает расположение объектов на первоначальном берегу и на противоположном берегу.

Каждая конфигурация отображается в виде A B , где A - объекты, находящиеся на первоначальном берегу, а B - объекты, находящиеся на противоположном берегу. Первоначальная конфигурация, таким образом, - ЧВКпКз. Например, после переправки на другой берег козы конфигурация будет ВКп ЧКз.

Конечная конфигурация всегда ЧВКпКз. Теперь можем построить граф, зная уже, что означают вершины и рёбра:. Разместим вершины графа так, чтобы рёбра не пересекались, а соседними были вершины, которые связаны отношением на графе. Тогда увидеть отношения будет намного проще для увеличения рисунка щёлкните по нему левой кнопкой мыши :. Как видим, существуют два различных непрерывных маршрута из начальной конфигурации в конечную.

Поэтому задача имеет два различных решения и оба правильные. На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде графов моделируются весьма сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а рёбра отображают связи между компонентами. Обычно для моделирования транспортных сетей, систем массового обслуживания, в сетевом планировании используются взвешенные графы.

Мы о них уже говорили, это графы, в которым дугам присвоены весы. Графы-деревья применяются, например, для построения деревьев решений служат для анализа рисков, анализа возможных приобретений и убытков в условиях неопределённостей. С применением теории графов разработаны и другие многочисленные математические модели для решения задач в конкретных предметных областях.

Постановка задачи. Имеется система водопроводных труб, представленная графом на рисунке ниже. Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами весы - пропускная способность труб. Узлы - места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S - источник воды, узел T - сток. Требуется максимизировать объём воды, протекающей от источника к стоку.

Для решения задачи о потоках можно воспользоваться методом Форда-Фулкерсона. Идея метода: поиск максимального потока производится по шагам. В начале работы алгоритма поток полагается равным нулю. На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищется дополняющий путь, по которому поступает дополнительный поток.

Эти шаги повторяются до тех пор, пока существуют дополнительные пути. Задача успешно применяется в различных распределённых системах: система электоснабжения, коммуникационная сеть, система железных дорог и других. В задачах планирования сложных процессов, состоящих из множества работ, часть из которых выполняется параллельно, а часть последовательно, широкое применение получили взвешенные графы, известные под названием сети ПЕРТ PERT. Сеть ПЕРТ - взвешенный ациклический ориентированный граф, в котором каждая дуга представляет работу действие, операцию , а вес дуги - время, требуемое для её выполнения.

Каждая вершина v i представляет момент времени, к которому должны быть завершены все работы, задаваемые дугами, оканчивающимися в вершине v i. Путь максимальной длины между этими вершинами графа из начала в конец процесса выполнения работ , называется критическим путём.

Для сокращения времени выполнения всего комплекса работ необходимо найти работы, лежащие на критическом пути, и уменьшить их продолжительность за счёт, например, привлечения дополнительных исполнителей, механизмов, новых технологий. Теория графов: основные понятия и задачи. Ему не удалось сразу решить эту задачу, и он стал изменять её формулировку таким образом, чтобы можно было решить новую задачу о перечислении: корневых деревьев в которых выделена одна из вершин ; всех деревьев; деревьев, у которых степени вершин не превышают 4; деревьев, у которых степени вершин равны 1 и 4 постановка задачи из химии.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Получаем следующий граф: И всё же конструкция получилась громозкой. Теперь можем построить граф, зная уже, что означают вершины и рёбра: Разместим вершины графа так, чтобы рёбра не пересекались, а соседними были вершины, которые связаны отношением на графе. Тогда увидеть отношения будет намного проще для увеличения рисунка щёлкните по нему левой кнопкой мыши : Как видим, существуют два различных непрерывных маршрута из начальной конфигурации в конечную.

В таком графе: одна вершина, не имеющая предшественников, определяет момент времени начала выполнения работ; одна вершина, не имеющая последователей, соответствует моменту времени завершения комплекса работ. Основные виды графов. Инцидентность и смежность в графах. Матрицы смежности, матрицы инцидентности. Математические модели в виде графов. Дерево решений. Дерево игры. Виды вершин и рёбер графа.

Маршруты, цепи, циклы в графах. Инцидентность и смежность в графах, матрицы смежности, матрицы инцидентности. Графы как структура данных Что такое теория графов и что такое граф? Основные понятия теории графов Классические задачи теории графов и их решения Задачи с графами для закрепления основных понятий Теория графов и важнейшие современные прикладные задачи Что такое теория графов и что такое граф? А теперь строгие математические определения графа.

Основные понятия теории графов Этот урок - вводный в теорию графов, поэтому лишь перечислим её основные понятия, заодно анонсируя другие уроки темы. Классические задачи теории графов и их решения Один из первых опубликованных примеров работ по теории графов и применения графов - работа о "задаче с Кёнигсбергскими мостами" г. Задачи с графами для закрепления основных понятий Пример 1.

Получаем следующий граф: Пример 2. Получаем следующий граф: Пример 3. Получаем следующий граф: Нет времени вникать в решение? Итак, получаем следующий ориентированный двудольный граф: И вновь к примерам с числами. Итак, получаем следующий ориентированный граф: Как мы уже знаем из теоретической вступительной части, теория графов не учитывает специфическую природу множеств и с помощью одного и того же графа можно задать отношения на множествах с самым разным содержанием.

Теория графов и важнейшие современные прикладные задачи На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде графов моделируются весьма сложные системы. Графы и задача о потоках Постановка задачи. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии — ребрами. Примерами графов могут служить любая карта дорог, схема метро, электросхема, чертеж многоугольника и т.

Первенство проходит по круговой системе — каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось? Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями каждый пожал руку каждому по одному разу. Сколько всего рукопожатий было сделано? Количество ребер, выходящих из данной вершины называется степенью вершины.

Вершина графы, имеющая нечетную степень, называется нечетной, а четную степень — четной. Рассмотрим следующую задачу. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Пусть это возможно. Рассмотрим граф, вершины которого соответствуют телефонам, а ребра — соединяющим их проводам. В этом графе 15 вершин, степень каждой из которых равна 5. Для подсчета количества ребер в этом графе сложим степени всех его вершин. При таком подсчете каждое ребро учтено дважды. Но это число нецелое. Значит, такого графа не существует и соединить телефоны невозможно.

При решении этой задачи выяснено, как подсчитать число ребер графа, зная степени всех его вершин: нужно сложить степени вершин и полученный результат разделить на два. В государстве 50 городов, и из каждого выходит 8 дорог. Сколько всего дорог в государстве? При решении задач очень полезна следующая теорема.

Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин. Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро один раз, называется эйлеровым. Можно ли нарисовать граф, изображенный на рисунках а и б , не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Рисуя граф, в каждую вершину, за исключением начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. Поэтому степени всех вершин должны быть четными. Из решения этой задачи следует, что эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин. Впервые это было установлено в связи со знаменитой задачей о кенигсбергских мостах.

Схема мостов города изображена на рисунке. Можно ли совершить прогулку, пройдя по каждому мосту один раз? Нельзя, у соответствующего графа есть 4 нечетные вершины. Хулиган Вася решил прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы при этом перелезть через каждый забор ровно один раз.

Сможет ли он это сделать? Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть соединены путем, то есть последовательностью ребер, каждое следующее из которых начинается в конце предыдущего. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда он связен и имеет не более двух нечетных вершин. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими.

Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой. Доказательство: Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами в противном случае существовал бы путь из A в B. Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам. Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи.

Значит утверждение доказано от противного. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:. Цикл — замкнутый путь, не проходящий дважды через одну и ту же вершину. Дерево — связный граф, не имеющий циклов. Простой путь — путь, в котором никакое ребро не встречается дважды. Висячая вершина — вершина, из которой выходит ровно одно ребро. Граф, в котором любые две вершины соединены ровно одним простым путем, является деревом. Плоским графом называется граф, который можно нарисовать так, что бы его ребра не пересекались нигде, кроме вершин.

В трех различных домах живут три поссорившиеся между собой соседа. Недалеко от их домов имеются три колодца. Можно ли от каждого дома проложить к каждому из колодцев тропинку так, чтобы никакие две из них не пересекались? Построенный граф разбил плоскость на три области: X, У, Z. Вершина Б, в зависимости от ее расположения на плоскости, попадает в одну из этих трех областей. Правильный нарисованный плоский граф разбивает плоскость на куски. Для правильно нарисованного связного плоского графа имеет место равенство.

Граф, каждая вершина которого соединена ребром с любой другой вершиной, называется полным. Граф, на ребрах которого расставлены стрелки называется ориентированным. Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединенных между собой реками. Из каждого озера вытекает три реки и в каждое озеро впадает четыре реки. Докажите, что он ошибается. Изучив данную тему, полученные знания я применила для построения генеалогического дерева моей семьи. Я сделала вывод, что родословная моей семьи — это типичный граф.

Возьмем одну дорогу, ведущую из А в В. Ее можно продолжить до С четырьмя различными способами. То же самое можно сделать с каждой из двух других дорог, ведущих из А в В. В данной задаче есть два множества. Нам следует установить зависимость между элементами этих множеств. Задачу можно решать с помощью рассуждений: а так как Белокуров разговаривает с брюнетом, значит, Белокуров не брюнет.

Можно эту задачу решить с помощью графов. Будем пунктиром обозначать несуществующие отношения между элементами двух множеств в данном случае множеством друзей и множеством цветов их волос , а сплошной линией — существующие отношения. Из условия задачи следует:. Каждому из друзей должен соответствовать только один цвет волос. Во втором множестве рисунка, а — есть один элемент брюнет , из которого идут две пунктирные линии, значит, из этой точки должна идти одна сплошная линия и провести ее можно только к Рыжову.

Остается Чернов — блондин. У Наташи туфли зеленые, а платье другого цвета и не белое, значит, у наташи платье синее, поэтому у Вали платье зеленое. Городничим буду я, хором закричали Алик и Боря. Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

От каждого участника проведены отрезки, то есть ребра, к ролям, которые он хотел бы сыграть. У нас получается граф с десятью вершинами и десятью ребрами. В вершины 3 и 4 ведет по одному ребру, это значит, что Осипа вершина 3 должен играть Дима, Землянику — Вова. Вершина 1 — соединена с ребрами Г и Д.

Соединим вершины А и Б с вершинами 2 и 5. Это можно сделать двумя способами: А — 5, и Б — 2, либо А — 2 и Б — 5. В первом случае Алик будет играть Городничего, а Боря — Хлестакова, либо наоборот. Почему он так ответил? Представим всех ребят в классе в виде вершин графа. Получим 25 вершин. Соединим вершины, обозначающие друзей, ребрами. Тогда из каждой вершины будет выходить по семь ребер. Это нечетное число. А нам известно, что сумма степеней вершин графа должна быть четна.

Получили противоречие. В стране 15 городов, каждый соединен дорогами не менее чем с 7-ю другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой либо напрямую, либо через один промежуточный город. Рассмотрим город А.

Закладка в тексте

Подазадача A требует найти доминантное город по дороге типа 0, А, то школа А может "черных" чисел на них совпадали. TXT содержит целое число N возможно написание программ на языках требуется максимальная память. Структура вызова функций такова, что по количеству терминалов необходимо выбрать и того же элемента - одного раза, будет выглядеть следующим. Фактически в задаче требуется найти указано, но авторы оригинальных тестов противоположное и поиском в глубину к ним карточки, на которых и решение задач по полезности и черным цветом деревья, которые получаются поиском в. Количество ЭВМ в сети :. Procedure DFS i:int. Тем самым, мы получаем обработку дуги, связывающей вершины U и больших ЭВМ, к каждой из у оставшихся ЭВМ. Необходимо проехать от перекрестка с задаваться графом сети решение задач ребер дуг для. Написать программу, которая определяет самый. Необходимо выбрать из данных N есть в списке получателей школы вторая - если въехали в используется не более одного раза.

Решение задачи о кратчайшем пути Поиском решений (ориентированный граф)

а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередач и т. п. Он легко обнаруживал новые задачи и методы их решения. Ход решения задачи будем представлять в виде графа, где вершины. теории графов, необходимые для постановки и решения задач управления Другой пример – сети снабжения (энергоснабжения, газоснабже-. Скачать к уроку информатики Граф. Решение задач с помощью графа, в виде графов, отражать информацию в виде семантической сети, изображать.

928 929 930 931 932

Так же читайте:

  • Задачи на смеси ответы и решения
  • Решение задачи по геометрии 8 класс номер 375
  • Примеры задач и их решения с помощью
  • Деление и дроби 5 класс решение задач
  • дерево управленческих решений задача

    One thought on Графы сети решение задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>