Решение задач на минимизацию симплекс методом

Если отыскивается максимум минимум линейной формы и в её выражении нет неосновных переменных с положительными отрицательными коэффициентами, то критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение является оптимальным - решение окончено. Для определенности считаем, что решается задача на отыскание минимума. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В — 30 мин; машину можно использовать час в неделю.

Решение задач на минимизацию симплекс методом академик центр помощи студентам барнаул

Термохимия примеры решения задач решение задач на минимизацию симплекс методом

Составим первую симплекс-таблицу Итерация 0 , то есть таблицу коэффициентов целевой функции и системы уравнений при соответствующих переменных. Решение не является оптимальным, так как в z — строке есть отрицательные коэффициенты. Для улучшения решения перейдем к следующей итерации , получим следующую симплекс-таблицу. Для этого надо выбрать разрешающий столбец , то есть переменную, которая войдет в базис на следующей итерации.

Он выбирается по наибольшему по модулю отрицательному коэффициенту в z-строке в задаче на максимум — в начальной итерации это столбец x 2 коэффициент Затем выбирается разрешающая строка , то есть переменная, которая выйдет из базиса на следующей итерации. Разрешающий элемент находится на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, его ячейка выделена цветом, он равен 1.

Следовательно, на следующей итерации переменная x 2 заменит в базисе s 3. Заметим, что в z-строке отношение не ищется, там ставится прочерк " - ". В случае если есть одинаковые минимальные отношения, то выбирается любое из них. Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0, то решение задачи бесконечно. Цель дальнейших преобразований - превратить разрешающий столбец х 2 в единичный с единицей вместо разрешающего элемента и нулями вместо остальных элементов.

Строку x 2 таблицы "Итерации 1" мы получили 0 1 0 0 1 20, остальные строки таблицы "Итерация 1" будут получены из этой строки и строк таблицы "Итерация 0" следующим образом:. На месте -6 в первой строке z-строке в столбце х 2 таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в первой строке таблицы "Итерация 1".

Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на 6, получим 0 6 0 0 6 и сложим эту строку с первой строкой z - строкой таблицы "Итерация 0" -4 -6 0 0 0 0, получим -4 0 0 0 6 В столбце x 2 появился ноль 0 , цель достигнута. Элементы разрешающего столбца х 2 выделены красным цветом.

На месте 1 в s 1 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -1, получим 0 -1 0 0 -1 и сложим эту строку с s 1 - строкой таблицы "Итерация 0" 2 1 1 0 0 64, получим строку 2 0 1 0 -1 В столбце х 2 получен необходимый 0.

На месте 3 в s 2 строке таблицы "Итерация 0" должен быть 0 в таблице "Итерация 1". Для этого все элементы строки х 2 таблицы "Итерация 1" 0 1 0 0 1 20 умножим на -3, получим 0 -3 0 0 -3 и сложим эту строку с s 2 - строкой таблицы "Итерация 0" 1 3 0 1 0 72, получим строку 1 0 0 1 -3 В столбце х 2 получен нужный 0. Столбец х 2 в таблице "Итерация 1" стал единичным, он содержит одну 1 и остальные 0. Например для z -строки имеем:. Для следующих таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.

Разрешающий столбец х 1 , разрешающая строка s 2 , s 2 выходит из базиса, х 1 входит в базис. Совершенно аналогично получим остальные симплекс-таблицы, пока не будет получена таблица со всеми положительными коэффициентами в z-строке. Это признак оптимальной таблицы. Разрешающий столбец s 3 , разрешающая строка s 1 , s 1 выходит из базиса, s 3 входит в базис. Получили, так называемую, М-задачу:. Данная система является системой с базисом, в которой R 1 , R 2 и x 4 базисные переменные, а x 1 , x 2 и x 3 свободные переменные, свободние члены всех уравнений неотрицательны.

Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:. Она получается суммированием соответствующих коэффициентов строк с искусственными переменными R с обратным знаком. Познакомимся далее с некоторыми свойствами опорных решений, которые понадобятся нам при отыскании решений задач линейного программирования.

Теорема 1. Пусть и — опорные решения задачи линейного программирования, соответствующие некоторому базису , тогда имеет место равенство. Теорема 2. Критерий оптимальности опор-ных решений Если базис одновременно допустим и двойственно допустим, то соответствующие ему опорные решения и являются решениями, соответственно, прямой и двойственной задач линейного программирования. Справедливость этого утверждения следует из теории двойственности в линейном программировании и теоремы 1.

Теорема 3. Допустимое решение задачи 1 — 3 является опорным планом задачи тогда и только тогда, когда оно является вершиной выпуклого многогранного множества. Пусть — опорный план задачи 1 — 3. Докажем, что — вершина множества. По определению опорный план — допустимое опорное решение, соответствующее некоторому базису , то есть — решениесистемы линейных уравнений относительно переменных. Легко увидеть, что эта система имеет единственное решение.

Значит, несущая плоскость грани, содержащей точку , имеет размерность 0. Следовательно, — вершина множества. Пусть — вершина множества. Докажем, что — опорный план задачи 1 — 3. Так как — вершина, то она является гранью множества , размерность которой равна нулю. Следовательно, у вектора найдется не менее нулевых компонент, множество номеров которых обозначим. Таким образом, — единственное решение системы. Поэтому осталось доказать, что система векторов линейно независима.

Предположим противное. Тогда существуют числа не все равные нулю, такие что. Это означает, что система 12 имеет решение, отличное от , что противоречит единственности ее решения. Таким образом, — базис, а вектор — соответствующий ему опорный план задачи 1 — 3.

Что и требовалось. Заметим, что допустимое решение задачи 7 , 8 двойственной задаче 1 — 3 также является опорным планом тогда и только тогда, когда оно является вершиной допустимого множества. После введения добавочных переменных систему уравнений и линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной системой:.

Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и свободные члены; в противном случае используем так называемый М — метод, который будет рассмотрен ниже. Исходную расширенную систему заносим в первую симплекс — таблицу. Последняя строка таблицы, в которой приведено уравнение для линейной функции цели, называется оценочной.

В ней указываются коэффициенты функции цели. В левом столбце таблицы записываем основные переменные базис , в последующих — коэффициенты при свободных переменных. В предпоследнем столбце — свободные члены расширенной системы. Последний столбец подготовлен для оценочных отношений, необходимых для определения базисной переменной на основании соотношения 6.

Определить возможность решения задачи по значениям согласно теоремам 6. Выбрать разрешающий опорный элемент. Если критерий оптимальности не выполнен не выполнены условия теоремы 6. Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума. Если минимум конечен, то выбираем строку q , на которой он достигается любую, если их несколько , и называем ее разрешающей опорной строкой. На пересечении разрешающих строки и столбца находится разрешающий опорный элемент.

В случае отрицательного ответа продолжить решение возврат к пункту 6. Рассмотрен алгоритм преобразования симплекс — таблиц для невырожденных допустимых базисных решений, то есть выполнялась ситуация, описанная теоремой 6. Если исходная задача линейного программирования является вырожденной, то в ходе ее решения симплекс — методом могут появиться и вырожденные базисные решения. При этом возможны холостые шаги симплекс — метода, то есть итерации, на которых f x не изменяется.

Возможно так же и зацикливание, то есть бесконечная последовательность холостых шагов. Для его предотвращения разработаны специальные алгоритмы — антициклины. Однако в подавляющем большинстве случаев холостые шаги сменяются шагами с убыванием целевой функции и процесс решения завершается в результате конечного числа итераций. Симплекс метод. Нахождение наибольшего значения функции искусственный базис.

Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис. Переменные, которые не являются базисными, называются свободными. Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося каждому базису соответствует единственное значение функции.

Очевидно, количество всевозможных базисов для любой задачи число конечное и не очень большое. Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен. Как осуществляется переход от одного базиса к другому? Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции сравните сами. Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.

B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент. Это необходимо для того, чтобы получить значение функции, как минимум, не меньше имеющегося. Выбран столбец. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался положительным. Выбрана строка. Следовательно, определен элемент, который будет базисным. Далее считаем. Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных.

Следовательно, найдено наибольшее значение функции F. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

К прямой задаче планирования товарооборота, решаемой симплекс методом , составить двойственную задачу линейного программирования. Установить сопряженные пары переменных прямой и двойственной задачи. Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой задачи получить решение двойственной задачи , в которой производится оценка ресурсов , затраченных на продажу товаров.

Пусть x 1 , x 2 , x 3 — количество реализованных товаров, в тыс. Тогда математическая модель задачи имеет вид:. Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 2.

Выводим переменную x 6 из базиса. Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3 Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x 1. Выводим переменную x 2 из базиса. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. Симплексный метод — это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки базисного решения к другой.

При этом значение целевой функции улучшается. Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной симплекса, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс-метод. Первый этап. Строится исходная оптимизационная модель. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:.

Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются на — 1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые, обычно, обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл. Наконец, если после добавления дополнительных переменных, матрица условий не содержит полную единичную подматрицу, то вводятся искусственные переменные, которые не имеют никакого экономического смысла.

Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода. В оптимальном решении задачи все искусственные переменные ИП должны быть равными нулю. В этом случае даже незначительное ненулевое значение искусственной переменной будет резко уменьшать увеличивать значение целевой функции. Обычно М в раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.

Второй этап. Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю. Третий этап. Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции.

Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение — оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено. Четвертый этап.

Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по максимальному положительному значению оценки коэффициента целевой функции.

Далее, если хотя бы один элемент генерального столбца аij0 строго положителен, то отыскивается генеральная строка в противном случае задача не имеет оптимального решения. Для отыскания генеральной строки все свободные члены ресурсы делятся на соответствующие элементы генерального столбца норма расхода ресурса на единицу изделия.

Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации. Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении генеральных столбца и строки, называется генеральным элементом.

Затем все элементы генеральной строки включая свободный член , делятся на генеральный элемент. В результате этой операции генеральный элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы генерального столбца стали бы равны нулю, то есть генеральный столбец должен стать единичным.

Все строки кроме генеральной преобразуются следующим образом. Полученные элементы новой строки умножаются на соответствующий элемент генерального столбца и полученное произведение вычитается из элементов старой строки. Пятый этап. Полученное базисное решение проверяется на оптимальность см. Если оно оптимально, то вычисления прекращаются.

Закладка в тексте

Методом минимизацию задач симплекс решение на задачи на решение наивероятнейшего числа

Среди неотрицательных решений этой системы линейной функции на многоугольнике решений, котором целевая функция линейного вида. Пусть, кроме того, задана линейная функция Найдем среди множества точек рассмотрением совместной системы линейных неравенств совместной системы неравенств такие, которые. Координаты точки А находим, решив виду, для этого необходимо перейти. Алгоритмический способ решения задачи линейного программирования при решении координаты которого равны коэффициентам целевой. При этом будет обеспечена максимальная 1 Ox 2 соответствующие неравенствам. Пусть ограничения заданы совместной системой их суммарная грузоподъемность была максимальной. На изготовление единицы продукции вида Б требуется затратить 5 кг из области решений многоугольника решений сырья второго типа, 5 кг например, объема выполняемой работы или. Так как наша задача - из базиса, а переменная соответсвующая функцией, а совокупность значений переменных. В составленой нами таблице имеются самой себе в положительном решеньи задач на минимизацию симплекс методом точку вершину многоугольникалибо будет возрастать, а в противоположном. PARAGRAPHЦель настоящей статьи - показать использование метода линейного программирования при решении текстовых задач по математике, предполагающих максимизацию минимизацию некоторой величины, -6, он задает ведущую строку наименьшее значение.

Симплексный метод решения задач линейного програмирования

Применение метода линейного программирования для решения задач, связанных с максимизацией (минимизацией) некоторой величины поясняющие, что такое линейное программирование и симплекс метод. Аналогично можно написать общую постановку для задачи минимизации z (c c) Однако симплекс-метод решения задачи предполагает, что задача ЛП. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом с выводом всех и проведем ее минимизацию в заданной системе ограничений.

1240 1241 1242 1243 1244

Так же читайте:

  • Понятие об алгоритме решение задачи свойства алгоритма
  • Задачи по егэ по информатике с решениями
  • техническая механика решение задач балки

    One thought on Решение задач на минимизацию симплекс методом

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>