Вычислительные методы решения инженерных задач

Цель этой книги - познакомить читателя с численными методами решения как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных, хотя в основном авторы сосредоточивают наше внимание на обыкновенных дифференциальных уравнениях и особенно на решении краевых задач для таких уравнений. Учебное пособие разработано с учетом программы курса лекций, утвержденной кафедрой аэрогидродинамики НГТУ, и содержит решения разнообразных задач современной теории разностных методов механики сплошных сред.

Вычислительные методы решения инженерных задач как решить задачу на отношение

Найти решения задача с1 вычислительные методы решения инженерных задач

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера.

Так, например, если взять машинное число длиной в 8 байт 64 бита , то в нём можно запомнить только 2 64 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере.

Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы , так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей , а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения, требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Алгоритмы решения множества стандартных задач вычислительной математики реализованы на различных языках программирования. Многие системы компьютерной алгебры , такие как Mathematica , имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности.

Также большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики. В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей. Индексы коэффициентов a ij системы обозначают номера уравнения i и неизвестного j , при котором стоит этот коэффициент, соответственно [5]. Система 1 называется квадратной , если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Система 1 называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если у неё нет ни одного решения. Решения c 1 1 , c 2 1 , …, c n 1 и c 1 2 , c 2 2 , …, c n 2 совместной системы вида 1 называются различными , если нарушается хотя бы одно из равенств:. Совместная система вида 1 называется определённой , если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Существуют прямые и итерационные методы решения линейных алгебраических уравнений. Прямые или точные методы позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки.

Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию , на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных. Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией.

Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты , какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича [en] , являющиеся основой для множества других работ. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны.

В теории чисел изучаются диофантовы приближения , в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например теория приближения функций , численные методы анализа.

Методы экстраполяции во многих случаях сходны с методами интерполяции. Для полиномиальной экстраполяции пользуются интерполяционными формулами. Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом. Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется аналитически.

При этом для оценки значения интеграла получаются формулы вида. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников , трапеций и парабол Симпсона. Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.

Частным случаем является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Метод назван в честь Роджера Котса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. После взятия интеграла можно написать. Первое уравнение в частных производных историки обнаружили в статьях Эйлера по теории поверхностей , относящихся к — годам опубликованы в году. В современных обозначениях оно имело вид:.

Начиная с года, к работам Эйлера присоединился Даламбер , открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Эти работы ещё не создали сколько-нибудь завершённой теории.

Второй этап в развитии данной темы можно датировать — годами. К этому периоду относятся глубокие исследования Лагранжа , Коши и Якоби. Первые систематические исследования уравнений в частных производных начал проводить Фурье. Новый общий подход к теме, основанный на теории непрерывных групп преобразований , предложил в х годах Софус Ли.

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений [8].

Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому то есть в динамике. При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы: 1 исходные входные данные параметры модели а; 3 искомое решение выходные данные у. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.

Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров а требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению.

Тогда входное данное х характеризует "причины" явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — "следствие". Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей.

Будем считать, что выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели а. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения. С помощью выбора параметров может производиться указание типа функциональной зависимости между некоторыми из величин.

Наконец, если используемые математические модели разбиты на классы, то параметром может служить и класс используемой модели. Пример 1. Для модели 1. Заметим, что та же модель пригодна для описания движения тела, брошенного на любой другой планете, если значение параметра для этой планеты известно.

Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у параметры модели а, как и в прямой задаче, фиксированы. Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие "причины" х привели к известному "следствию" у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление.

В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели с помощью выбора ее параметров а , с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений. Применительно к модели 1. Указанные три типа задач прямые, обратные и задачи идентификации будем называть вычислительными задачами.

Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х. При описании многих явлений используют модель полиномиальной зависимости между величинами Здесь коэффициенты многочлена, являющиеся параметрами модели в число параметров модели можно включить и степень многочлена. При фиксированных значениях параметров прямая задача состоит в вычислении значения многочлена по заданному х.

В таком случае целью решения обратной задачи является определение по заданному значению у соответствующего ему значения х. Нетрудно видеть, что это есть задача отыскания корней многочлена, отличающегося от заменой коэффициента на Если же из практики известна некоторая информация о зависимости у от х, то определение параметров при которых модель 1. Например, если задана таблица значений то такую задачу в зависимости от ситуации можно решать, используя известные методы итерполяции и наименьших квадратов см.

Нередко входящие в модель функции бывают связаны равенством Например, так связаны между собой скорость и путь при прямолинейном движении. Тогда при фиксированном значении постоянной С прямая задача задача интегрирования состоит в вычислении первообразной по заданной функции Обратная задача задача дифференцирования заключается в вычислении по заданной функции Как правило, решение вычислительной задачи не удается выразить через входные данные в виде конечной формулы.

Однако это совсем не означает, что решение такой задачи не может быть найдено. Существуют специальные методы, которые называют численными или вычислительными. Они позволяют свести получение численного значения решения к последовательности арифметических операций над численными значениями входных данных.

Эти методы были известны давно: в качестве примера, уже ставшего классическим, можно привести открытие Леверье в г. Однако для решения задач численные методы применялись довольно редко, так как их использование предполагает выполнение гигантского объема вычислений.

Поэтому в большинстве случаев до появления ЭВМ приходилось избегать использования сложных математических моделей и исследовать явления в простейших ситуациях, когда возможно найти аналитическое решение. Несовершенство вычислительного аппарата становилось фактором, сдерживающим широкое использование математических моделей в науке и технике.

Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью. Проверка качества модели на практике и модификация модели.

На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу.

Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости. На определенном этапе развития науки и техники постепенное накопление знаний приводит к моменту, когда результаты, получаемые с помощью математической модели, вступают в противоречие с данными практики или перестают удовлетворять ее требованиям в смысле точности.

Тогда возникает необходимость модификации модели или же создания принципиально новой, более сложной модели. Таким образом, цикл создания математической модели повторяется многократно. Рассмотрим задачу внешней баллистики, то есть задачу о движении артиллерийского снаряда.

Простейшая модель 1. Существенным неучтенным фактором здесь является сопротивление воздуха. Приведенная ниже модификация модели Галилея принадлежит И. Известно, что величина силы лобового сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, то есть При этом где плотность воздуха, площадь поперечного сечения, С — коэффициент лобового сопротивления для многих задач баллистики С и 0.

Заметим, что рис. Следовательно Пусть масса снаряда. Тогда в силу второго закона Ньютона справедливы уравнения которые необходимо дополнить начальными условиями Полученная модель является более сложной, чем рассмотренная ранее модель 1.

Действительно, в случае сопротивление воздуха отсутствует уравнения 1. Естественно, что модель 1. Заметим, что работа по созданию математической модели, как правило, проводится объединенными усилиями специалистов, хорошо знающих предметную область, и математиков, владеющих соответствующими разделами прикладной математики и способных оценить возможность решения возникающих вычислительных задач.

Дополнительные замечания Глава 2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности 2. Правила записи приближенных чисел. Особенности машинной арифметики 2. Представление целых чисел. Представление вещественных чисел. Арифметические операции над числами с плавающей точкой. Удвоенная точность. Вычисление машинного эпсилон. Дополнительные замечания Глава 3. Обусловленность вычислительной задачи 2.

Примеры плохо обусловленных задач. Обусловленность задачи вычисления значения функции одной переменной. Обусловленность задачи вычисления интеграла

Закладка в тексте

Инженерных вычислительные методы задач решения решение задач сплав золота с серебром

Для вычисления значений полинома нужно. График найденных зависимостей Рис. Приближенное выполнение условий интерполяции Будем. Эта задача рассматривалась выше. Это условие означает что интерполирующая Маклорена Применение степенных рядов Разложение будет удовлетворять условиям интерполяции: n l l l l l L Каким образом построить базисные. Решение систем линейных уравнений методом. Из курса математического анализа известно СЛАУ Уравнения и системы уравнений сталкиваться с функциональными связями между. Метод Ритца Выделяют два основных. Численные методы Тема 2 Интерполяция - - Тема Численные методы функции невелико поэтому можно применять Тейлора и Маклорена Для приложений метод Крамера или метод Гаусса. Метод наименьших квадратов Во всех вышеизложенных методах условия интерполяции выполнялись.

Численные методы решения краевых задач

В книге рассматриваются вычислительные методы, наиболее часто в практике инженерных и научно-технических расчетов: методы решения задач. Ч Численные методы в решении инженерных задач: метод. указания к выполнению Вычислительные методы, как правило, реализуются на ЭВМ. основные численные методы решения инженерных задач, используемых численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений;.

244 245 246 247 248

Так же читайте:

  • Ответы на экзамен на гражданство
  • 1 закон термодинамики решение задач
  • Решение задач с транзисторами
  • решение задач по использованию ос

    One thought on Вычислительные методы решения инженерных задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>