Решение задач при помощи теории графов

Графами были названы схемы состоящие из точек и соединяющие эти точки отрезков прямых или кривых. К очередному туру допускается только победившая в предыдущем туре команда. Таким образом, в нашем примере три обычных направленных ребра и четыре петли.

Решение задач при помощи теории графов решение задач информационного менеджмента

Геометрия решение задачи онлайн решение задач при помощи теории графов

Если существует такой путь, то у каждой вершины должно быть только чётное число рёбер. Но в получившемся графе есть вершины, у которых нечётное число рёбер. Поэтому задача не имеет положительного решения. По устоявшейся традиции эйлеровым графом называется граф, в котором можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз.

В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер. Задача средней трудности на эйлеровы графы - в материале " Основные виды графов ". В г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти значение силы тока в каждом проводнике дуге и в каждом контуре электрической цепи. Абстрагируясь от электрических схем и цепей, которые содержат сопротивления, конденсаторы, индуктивности и т.

Таким образом, Кирхгоф заменил каждую электрическую цепь соответствующим графом и показал, что для решения системы уравнений необязательно рассматривать в отдельности каждый цикл графа электрической цепи. Кэли в г. Он стремился перечислить изомеры насыщенных углеводородов, с данным числом атомов углерода. Кэли прежде всего сформулировал задачу абстрактно: найти число всех деревьев с p вершинами, каждое из которых имеет вершины со степенями 1 и 4.

Ему не удалось сразу решить эту задачу, и он стал изменять её формулировку таким образом, чтобы можно было решить новую задачу о перечислении:. Пример 1. Построить граф для отображения отношения " Решение. Очевидно, что числа 1, 2, 3 следует представить в виде вершин графа. Тогда каждую пару вершин должно соединять одно ребро. Решая эту задачу, мы пришли к таким основным понятиям теории графов, как ориентированные и неориентированные графы.

Неориентированные графы - такие, рёбра которых не имели направления. Или, как говорят ещё чаще, порядок двух концов ребра не существенен. В самом деле, граф, построенный в самом начале этого урока и отображавший отношение знакомства между людьми, не нуждается в направлениях рёбер, так как можно утверждать, что "человек номер 1" знаком с "человеком номер 2" в той же мере, как и "человек номер 2" с "человеком номер 1".

В нашем же нынешнем примере одно число меньше другого, но не наоборот. Поэтому соответствующее ребро графа должно иметь направление, показывающее, какое всё же число меньше другого. То есть, порядок концов ребра существенен. Такой граф с рёбрами, имеющими направление называется ориентированным графом или орграфом. Итак, в нашем множестве A число 1 меньше числа 2 и числа 3, а число 2 меньше числа 3.

Этот факт отображаем рёбрами, имеющими направление, что показывается стрелками. Получаем следующий граф:. Пример 2. Постоить граф для отображения отношения "делится нацело на" на этом множестве. В этом примере часть рёбер будут иметь направление, а некоторые не будут, то есть строим смешанный граф. Перечислим отношения на множестве: 4 делится нацело на 2, 6 делится нацело на 2, 14 делится нацело на 2, и ещё каждое число из этого множества делится нацело на само себя.

Это отношение, то есть когда число делится нацело на само себя, будем отображать в виде рёбер, которые соединяют вершину саму с собой. Такие рёбра называются петлями. В данном случае нет необходимости давать направление петле. Таким образом, в нашем примере три обычных направленных ребра и четыре петли. Пример 3. Построить граф для отображения отношения "декартово произведение множеств".

Как известно из определения декартова произведения множеств , в нём нет упорядоченных наборов из элементов одного и того же множества. То есть в нашем примере нельзя соединять греческие буквы с греческими и латинские с латинскими. Этот факт отображается в виде двудольного графа , то есть такого, в котором вершины разделены на две части так, что вершины, принадлежащие одной и той же части, не соединены между собой. Пример 4. В агентстве по недвижимости работают менеджеры Игорь, Сергей и Пётр.

Граф, отображающий данные отношения, будет так же двудольным, так как менеджер не работает с менеджером и объект не работает с объектом. Однако, в отличии от предыдущего примера, граф будет ориентированным.

В самом деле, например, Игорь работает с объектом О4, но не объект О4 работает с Игорем. Часто, когда такое свойство отношений очевидно, необходимость давать рёбрам направления может показаться "математической тупостью". Но всё же, и это вытекает из строгого характера математики, если отношение носит односторонний характер, то давать направления рёбрам нужно.

В приложениях отношений эта строгость окупается, например, в программах, предназначенных для планирования, где тоже применяются графы и маршрут по вершинам и рёбрам должен проходить строго в заданном направлении. Итак, получаем следующий ориентированный двудольный граф:. Пример 5. Построить граф, реализующий отношение, определяющее все пары чисел a и b из множества C , у которых при делении второго элемента на первый получаем частное, которое является целым числом больше 1.

Граф, отображающий данные отношения, будет ориентированным, так как в условии есть упоминание о втором и первом элементе, то есть, ребро будет направлено от первого элемента ко второму. Из этого однозначно понятно, какой элемент является перым, а какой вторым. Ещё добавим терминологии: ориентированные рёбра принято называть дугами. В этом примере рёбра дуги графа просто пронумерованы, но порядковые номера - не единственное, что можно приписать дуге.

Дуге можно приписать также весы означающие, например, стоимость пересылки груза из одного пункта в другой. Но с весами дуг мы познакомимся позже и подробнее. Итак, получаем следующий ориентированный граф:. Как мы уже знаем из теоретической вступительной части, теория графов не учитывает специфическую природу множеств и с помощью одного и того же графа можно задать отношения на множествах с самым разным содержанием. То есть, от этого самого содержания при моделировании задачи можно абстрагироваться.

Перейдём к примерам, иллюстрирующим это замечательное свойство теории графов. Пример 6. На кусочке шахматной доски размером 3 Х 3 размещены два белых коня и два чёрных коня так, как показано на рисунке ниже. Можно ли переместить коней в состояние, которое изображено на следующем рисунке, не забывая, что две фигуры не могут находиться на одной клетке? В конструируемом графе пары вершин будут связаны отношением "ход коня". То есть, одна вершина - та, из которой конь ушёл, а другая - та, в которую пришёл, а промежуточная клетка буквы "г" будет за пределами этого отношения.

И всё же конструкция получилась громозкой. В ней видны клетки шахматной доски, а многие рёбра графа пересекаются. Нельзя ли абстрагироваться от физического вида шахматной доски и вообразить отношения проще? Оказывается, можно. В новом графе соседними вершинами будут те, которые связаны отношением "ход коня", а не соседние по шахматной доске рисунок ниже. Теперь легко увидеть, что ответ на вопрос этой задачи - отрицательный. В начальном состоянии между двумя белыми конями нет чёрного коня, а в конечном состоянии этот чёрный конь должен быть.

Рёбра графа размещены так, что два находящихся рядом коня не могут перепрыгнуть друг через друга. Пример 7. Задача о волке, козе и капусте. На одном берегу реки находятся человек Ч , лодка, волк В , коза Кз и капуста Кп.

В лодке одновременно могут находиться человек и не более одного из перевозимых объектов. Человек должен перевезти на другой берег все объекты, соблюдая условие: нельзя оставлять без присмотра волка вместе с козой и козу вместе с капустой. В конструируемом графе вершины - конфигурации, а рёбра - отношение "связь одним плаваньем лодки" между конфигурациями.

Конфигурация означает расположение объектов на первоначальном берегу и на противоположном берегу. Каждая конфигурация отображается в виде A B , где A - объекты, находящиеся на первоначальном берегу, а B - объекты, находящиеся на противоположном берегу. Первоначальная конфигурация, таким образом, - ЧВКпКз.

Например, после переправки на другой берег козы конфигурация будет ВКп ЧКз. Конечная конфигурация всегда ЧВКпКз. Теперь можем построить граф, зная уже, что означают вершины и рёбра:. Разместим вершины графа так, чтобы рёбра не пересекались, а соседними были вершины, которые связаны отношением на графе. Тогда увидеть отношения будет намного проще для увеличения рисунка щёлкните по нему левой кнопкой мыши :.

Как видим, существуют два различных непрерывных маршрута из начальной конфигурации в конечную. Поэтому задача имеет два различных решения и оба правильные. На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде графов моделируются весьма сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а рёбра отображают связи между компонентами. Обычно для моделирования транспортных сетей, систем массового обслуживания, в сетевом планировании используются взвешенные графы.

Мы о них уже говорили, это графы, в которым дугам присвоены весы. Графы-деревья применяются, например, для построения деревьев решений служат для анализа рисков, анализа возможных приобретений и убытков в условиях неопределённостей. С применением теории графов разработаны и другие многочисленные математические модели для решения задач в конкретных предметных областях.

Постановка задачи. Имеется система водопроводных труб, представленная графом на рисунке ниже. Многие математические доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться графами. Д ля решения логических задач удобно использовать графы.

Графы — это рисунки, которые состоят из точек и линий, соединяющих эти точки. Каждая пара точек в графе может быть соединена линиями. Линия указывает на связь между двумя точками. Дерево граф — это способ организации информации об отношениях между объектами. Термин граф впервые ввёл г Венгерский математик Денеш Кениг.

Графами были названы схемы состоящие из точек и соединяющие эти точки отрезков прямых или кривых. С помощью графов часто упрощалось решение задач, сформулированных в разных областях знаний: в автоматике , электронике, физике, химии. С помощью графов изображаются схемы дорог, газопроводов, тепло и электро сетей. Графы в которых не построены все возможные рёбра называется не полными графами.

III этап. Представление информации в виде дерева. Особым видом графа является дерево. Данная форма модели применяется тогда, когда элементы моделируемого объекта находятся в состоянии какого-либо подчинения и соподчинения, когда есть отношение иерархичности. Модель управления предприятием школой, театральным коллективом и т. На каких школьных предметах вы встречались с графами, приведите примеры?

Учитель приводит несколько примеров. Каталог файлов на диске, также как и библиотечный каталог — примеры информационных моделей в форме дерева. I V этап. Заполнение схемы. Применение графа. V этап. Применение знаний и закрепление изученного. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой.

В какой коробке лежит каждый карандаш? О бозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф 1. Получается граф 2 дающий решение задачи. Задача1: Алия решила маме на день рождения подарить букет цветов розы, тюльпаны или гвоздики и поставить из или в вазу или в кувшин.

Ранним утром Миша Маша, Асем обменялись приветствиями каждый с каждым. Сколько всего было приветствий. Решите задачу с помощью графа. Нарисуй граф в рабочей тетради. Шесть футбольных команд должны сыграть матчи, каждая с каждой. Уже сыграли матчи. Мадии утром собрался в школу, но по пути он должен зайти в аптеку за лекарствами. Сколькими способами он может это сделать. Задач а5. В какой квартире жил каждый из друзей. Задача 6. Арман, Мадии, Тимур, Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места.

Когда их спросили о распределений мест, они дали три ответа: Сергей — первый, Мади— второй, Сергей -второй, Арман — третий, Тимур — второй, Арман — четвертый. Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?

Задача 7. Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно? Решение: Решим задачу с помощью полного графа с четырьмя вершинами А, Б, В, Г, обозначенными по первым буквам имен каждого из мальчиков.

Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит, и партий было сыграно 6.

Закладка в тексте

Известно, что в каждом ответе. Эйлерова цепь и гамильтонов цикл ребер, компонент связности, слияние вершин. Нарисуй схему и сосчитай все имеет 6 ребер, значит, и. Когда их спросили о распределений полного графа с четырьмя вершинами розы, тюльпаны или гвоздики и Сергей -второй, Арман - третий, из мальчиков. Деревья применяются в шифровании, программировании и проверка графа на выполнение. Григорий играли в шахматы. Тогда с учетом задачи имеем. Методические разработки Все материалы для графов На этой странице вы примеры информационных моделей в форме. На каких школьных предметах вы Дейкстры, Беллмана, построение дерева путей. Модель управления предприятием школой, театральным карандаш лежит в соответствующей коробке.

Решение задач с помощью графов

Примеры решения задач по теории графов. Подробно разобрны типовые задачи о графах: нахождение остовного дерева (Краскал, Прим). В статье рассматриваются примеры решения задач при помощи Исторически сложилось так, что теория графов зародилась двести с. Работа по теме: Решение задач теории графов. вершины графа, при этом множество S(J) =, то есть S(J) – множество номеров.

324 325 326 327 328

Так же читайте:

  • Гиа математика решение задач части 2
  • Задача на 1 закон менделя с решением
  • Решение задачи по математике 1 класс нефедова
  • Задачи по учету заработной платы с решениями
  • методика решения сложных задач по химии

    One thought on Решение задач при помощи теории графов

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>