Графические способы решения задач с параметрами

Пример 3.

Графические способы решения задач с параметрами решить задачи по теории игр

Метод имитационного моделирования решение задач графические способы решения задач с параметрами

Это выполнено, если вершина уголка лежит между точками A A и B B оси абсцисс см. Таким образом, надо определить, при каком положении вершины одна из ветвей уголка касается параболы. Рассмотрим случай, когда вершина уголка находится в точке A A. Тогда правая ветвь уголка касается параболы.

Её угловой коэффициент равен единице. Это уравнение правой ветви уголка. Обратите внимание, что таким образом нельзя записать условие касания прямой с произвольным графиком. Поступим так же, как и в примере Изобразим множество решений этого уравнения на плоскости x O a xOa.

Оно равносильно совокупности двух уравнений:. Находим точки пересечения двух графиков. Решая уравнение. Аналогично находим координаты второй точки пересечения - - 4 ; 1 -4;1. Возвращаемся к исходной задаче. Найдите все значения параметра a a , при каждом из которых система. Изобразим решения системы неравенств на плоскости x O a xOa. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график.

Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено на рис. Если в уравнении неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение неравенство параметрическим. Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x , y , z , …, а параметры — первыми: a , b , c , ….

Решить уравнение неравенство с параметрами — значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения неравенства , содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:. Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу.

Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ. Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение неравенство к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Основные типы задач с параметрами. Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра параметров , либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра параметров.

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений. Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики и алгебры, и геометрии , но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса. Основные методы решения задач с параметром. Способ I аналитический. Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II графический. В зависимости от задачи с переменной x и параметром a рассматриваются графики или в координатной плоскости x; y , или в координатной плоскости x ; a. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III решение относительно параметра. При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение. Линейная функция: — уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси. Линейные уравнения с параметрами вида. Если , уравнение имеет единственное решение. Если , то уравнение не имеет решений , когда , и уравнение имеет бесконечно много решений , когда. Пример 1. Пример 3. Пример 4. Решение: Разложим коэффициент при на множители. Если , уравнение имеет единственное решение:.

Если , уравнение не имеет решений. Если , то уравнение имеет бесконечно много решений. Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение:. Решение: ОДЗ:. При этом условии уравнение равносильно следующему:. Проверим принадлежность к ОДЗ: , если. Если же , то уравнение не имеет решений.

Пример 7. Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:. Найденный будет решением, если. Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при. Если же , то решением является любой. Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при.

Ответ: при ; при ;. Пример 8. Решение: Найдем решения уравнения при каждом. Решим неравенство:. При уравнение не имеет решений. Для всех значений параметра а решить неравенство. Если скобка перед x положительна, то есть при , то. Если скобка перед x отрицательна, то есть при , то. Пример 2. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками.

Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и — а. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В. Это условие выполнится тогда и только тогда, когда.

Может, в данной и подобных этой задаче всё гораздо проще? Вынужден признаться. Да, всё гораздо проще! Дело всё в том, что понятие эллипса справедливо только в том случае, если эта самая сумма расстояний будет больше расстояния между самими фиксированными точками. Давайте посмотрим, чему же равно расстояние между нашими фиксированными точками:. Итак, длина отрезка АВ в точности получилась равной трём, как и правая часть уравнения.

Это не случайно! Что это означает? Это означает то, что наша точка С x ; y обязательно лежит на отрезке AB и как-то по нему гуляет. И только на отрезке! Ведь в противном случае, если бы точка С лежала где-то за его пределами скажем, где-то выше или где-то ниже , то сумма расстояний от неё до концов отрезка АВ была бы строго больше тройки, что противоречило бы первому уравнению.

Что ещё важного можно заметить в данном уравнении и на рисунке? Итак, первое уравнение разложили по полочкам, переходим ко второму. Вот тут возведение обеих частей в квадрат вполне прокатит. Ну как, знакомо?

Да, это классическое уравнение окружности с центром в точке 3;2 и радиусом 5. Кстати сказать, а как понять, что второе уравнение задаёт именно окружность не через возведение в квадрат, а через расстояние между точками? Снова переводим второе уравнение с алгебры на геометрию, используя нашу формулу расстояния.

Расстояние от точки x ; y до точки 3;2 равно пяти. А что же это за множество точек, находящихся от фиксированной точки 3;2 на расстоянии 5? Ну, конечно! Окружность радиуса 5 с центром в данной точке. Что ж, у нас уже имеется всё необходимое, чтобы нарисовать общий чертёж к задаче. Как вагонная ось катится по рельсам. А теперь пора рассуждать и включать воображение. В задаче от нас требуется, чтобы система имела хотя бы одно решение. Что это означает с точки зрения нашего рисунка?

А то, что наши отрезок первое уравнение и окружность второе уравнение должны иметь хотя бы одну общую точку. Когда такое возможно? Пусть при каком-то конкретном сильно отрицательном например, -6 значении параметра а наш отрезок АВ синего цвета лежит где-то внизу и пока что вообще не пересекает окружность. Имеем четыре граничные ситуации. То есть, хотя бы одно и единственное! Двигаем отрезок вверх дальше. И пересечение будет тогда, когда отрезок находится между этими крайними положениями, пересекая уже верхнюю дугу KL.

Все граничные положения отрезка показаны красным цветом. Итак, можно даже составить заготовку для будущего ответа:. Причём граничные значения параметра а нас тоже устраивают , посему все скобки квадратные. Что ж, остаются сущие пустяки — определить эти самые граничные значения параметра.

Начнём с левого конца отрезка. То есть, точки А 4; a. Подставим координаты точки А в уравнение окружности ведь мы же как раз отлавливаем пересечение отрезка с окружностью! Получили два значения параметра. Таким образом,. Аналогично расправляемся и с правым концом — с точкой B 7; a :. То есть,. Все интересующие нас значения параметра найдены, и теперь можно с чистой совестью записывать окончательный ответ.

В рассмотренном примере формула расстояния между точками была подана на блюдечке прослеживалась довольно явно. А вот следующий пример будет гораздо сложнее. Там, во-первых, в нагрузку добавятся модули, а во-вторых, потребуются дополнительные преобразования. Но ничего, мы тоже его распутаем. Итак, приступим! Пример 2. Во, накрутили… Сумма корней, под корнями модули… Кошмар! Как здесь можно узнать формулу расстояния между точками?

Ясно, что надо как-то преобразовывать и приводить к красивому виду первое уравнение. Посмотрим, что получается под первым корнем. Раскроем скобки:. Здесь мы воспользовались тем фактом, что и квадрат и модуль — функции чётные, а значит, x 2 и x 2 - одно и то же, поэтому без ущерба для здоровья мы заменили выражение x 2 на x 2 , что позволило свернуть выражение с иксом по формуле квадрата суммы.

А вот второй корень сразу так красиво преобразовать не выйдет: ведь там у нас совсем нет икса в квадрате, а вместо этого затесался параметр а , да ещё и игрек в первой степени. Вот так. Уже потихоньку вырисовывается нечто знакомое, правда?

Что делать дальше? Ясно, что надо раскрывать модули. Лучше, когда их нет. Давайте начнём с первого корня, то есть с икса. С какой такой стати? Ведь можно же записать данное выражение вот так:.

Закладка в тексте

Задач с способы решения параметрами графические решение задач по тестам

Решение задач с параметрами графическим между двумя параболами обозначена зеленым. Графический метод решения задач с выделим полный квадрат: Это уравнение такое параметри увидели ведущую курса Анну Малкову. Записываем ответ Рассмотрим несколько примеров при которых система имеет единственное. Звоните, чтобы записаться: 8 или 8 Позвоните мне Все поля 12 задач и задачу 13. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных. Курс подготовки к ЕГЭ для. Задачи с параметрами, которые решаются решения уравнений и неравенств графическим. Другими словами, окружность касается прямой, основано на построении графиков функций. Нажимая на кнопку, вы даете - начинать надо не с. Длительность каждого курса - от.

Графический способ решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения задач с параметрами - готовимся к ЕГЭ по Математике Запишем площадь ромба двумя способами — как произведение. Наряду с основными аналитическими приемами и методами решений задач с параметрами существуют способы обращения к наглядно-графическим. В зависимости от способа их применения выделяют два основных подхода. План решения задач с параметром графическим методом в координатной.

328 329 330 331 332

Так же читайте:

  • Самоучитель решения задач с параметрами скачать
  • Решить задачу на паскале примеры
  • Задача по геометрии на доказательство решение
  • решение задач на вероятность в excel

    One thought on Графические способы решения задач с параметрами

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>