Методика обучения решению математических задач

Пойа Д. Фридман, Г. В диссертационном исследовании также рассмотрены дидактические принципы построения системы задач: целостность, многофункциональность, многоуровневость и множественность Анализ методической литературы приводит к заключению, что обобщенный прием решения задач - это определенная система последовательных действий, без выполнения которой не может быть получен положительный результат, разрешено противоречие между данными и искомыми величинами, представленными в содержании задачи.

Методика обучения решению математических задач уроки по химии растворы решение задач

Решение задачи в project expert методика обучения решению математических задач

Обучающее значение приведенных выше задач на сложение и вычитание состоит не только в том, чтобы получить ответ, а в том, чтобы научить анализировать задачу и в результате этого правильно выбрать нужное арифметическое действие. На втором этапе работы над задачами дети должны: а научится составлять задачи; б понимать их отличие от рассказа и загадки; в понимать структуру задачи; г уметь анализировать задачи, устанавливать отношения между данными и искомым.

На этом этапе нужно познакомить детей с арифметическими действиями сложения и вычитания, раскрыть их смысл, научить формулировать их и записывать с помощью цифр и знаков в виде числового примера. Прежде всего детей надо научить формулировать действие нахождения суммы по двум слагаемым при составлении задачи по конкретным данным. На основе предложенного наглядного материала составляются одна две задачи, с помощью которых дети продолжают учиться формулировать действия сложения и давать ответ на вопрос.

На первых занятиях словесная формулировка арифметического действия подкрепляется практическими действиями, но постепенно арифметическое действие следует отвлекать от конкретного материала. При формулировке арифметического действия числа не именуются. Спешить с переходом к оперированию отвлеченными числами не следует. Можно показывать задачи и внешне похожие, но требующие выполнения разных арифметических действий.

На основе анализа данных задач дети приходят к выводу, что хотя в обеих задачах речь идет об одинаковом количестве, но они выполняют разные действия. Вопросы в задачах различны, поэтому различны и арифметические действия, различны ответы.

Такое сопоставление задач, их анализ полезны детям, так как они лучше усваивают как содержание задач, так и смысл арифметического действия, обусловленного содержанием. Воспитатель не должен мириться с односложными ответами детей. Выполненное арифметическое действие должно быть сформулировано полно и правильно. К трем птичкам прибавить одну птичку. Получится четыре птички. Умение читать запись обеспечивает возможность составления задач по числовому примеру. Для упражнения детей в распознании записей на сложение и вычитание воспитателю рекомендуется использовать несколько числовых примеров и предлагать детям их прочесть.

Запись действий убеждает детей в том, что во всякой задаче всегда имеются два числа, по которым надо найти третье - сумму или разность. Таким образом, на третьем этапе дети должны научиться формулировать арифметические действия, различать их, составлять задачи на заданное арифметическое действие.

На четвертом этапе работы над задачами детей учат приемам вычисления - присчитывание и отсчитывание единицы. Детям нужно показать, как следует прибавлять или вычитать числа 2 и 3. Однако здесь нужно соблюдать осторожность и постепенность.

Внимание детей должно быть обращено на то, что нет необходимости при сложении пересчитывать по единице первое число, оно уже известно, а второе число следует присчитывать по единице; надо вспомнить лишь количественный состав этого числа из единиц. Изучая действия сложения и вычитания при решении арифметических задач, можно ограничиться этими простейшими случаями прибавления вычитания чисел 2 и 3. На завершающем этапе работы над задачами можно предложить дошкольникам составлять задачи без наглядного материала.

В них дети самостоятельно избирают тему, сюжет задачи и действие, с помощью которого она должна быть решена. При введении устных задач важно следить за тем, чтобы они не были шаблонными. В условии должны быть отражены жизненные связи, бытовые и игровые ситуации. После усвоения детьми решения устных задач первого и второго вида можно перейти к решению задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц. Дошкольникам доступно решение некоторых видов косвенных задач.

Их можно предлагать детям, будучи уверенными, что обязательный программный материал усвоен ими хорошо. Поскольку в косвенных задачах логика арифметического действия противоречит действию по содержанию задачи, они дают большой простор для рассуждений, доказательств, приучают детей логически мыслить.

Работа над задачами не только обогащает детей новыми знаниями, но и дает богатый материал для умственного развития. Сколько цветов поставила Нина в обе вазы? Составленные детьми задачи соответствуют фактам реальной действительности. В своих задачах дети подбирали различные реальные предметные действия, в них отражены бытовые и игровые ситуации. Дети правильно формулируют смысл арифметического действия, могут повторить содержание задачи, поставить к ней вопрос.

Они умеют отвечать на вопросы, рассуждать, обосновывать выбор действия и полученный результат. Дети формулируют арифметическое действие при составлении задачи, дают развернутый ответ на заданный вопрос задачи, проверяют правильность решения. Во всех задачах составленных детьми правильно выдержана структура, так как дети знают, что в задачи есть условие и вопрос, что в наличие условия задачи не менее двух чисел. В ходе своей работы я узнала, что обучение детей решению арифметических задач является одной из наиболее важных задач в развитии детей.

Полученные мной знания буду использовать в работе с детьми, направлять их на развитие общего представления о множествах, умение формировать множества, учить, на наглядной основе составлять и решать простые арифметические задачи на сложение и вычитание, при решении задач пользоваться знаками действий.

Составлять и решать задачи в одно действие на сложение и вычитание. Обеспечивать детям свободное составление и решение задач, ответов на вопросы, формулированию их. Таким образом, обучение детей решению арифметических задач приводит к формированию у детей навыков вычислительной деятельности, умственного развития и подготовке к обучению в школе.

Белошистая А. Формирование и развитие математических способностей дошкольников: Вопросы теории и практики: Курс лекций для студ. Корнеева ГА. Теория и методика развития математических представлений у детей дошкольного возраста: Учебно-методическое пособие для педагогических колледжей и вузов. Михайлова З. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста.

Математика до школы: Пособие для воспитателей дет. Серова 3. Рассмотрение видов арифметических задач, используемых в работе с дошкольниками. Этапы обучения решению арифметических задач. Изучение структуры, модели записи математического действия.

Алгоритм решения задач. Роль данных занятий в общем развитии ребенка. Формирование учебных достижений обучающихся, в образовательной области "Математика и информатика". Планируемые достижения обучения решению задач на геометрические построения в 7 классе и методика их реализации. Структура пользовательского интерфейса. Анализ особенностей методической деятельности учителя начальных классов при обучении учащихся решению задач с пропорциональной зависимостью.

Роль задач в формировании учебной деятельности младших школьников. Виды задач в начальном курсе математики. Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Понятие текстовой задачи, ее роль в процессе обучения математике.

Изучение основных способов решения текстовых задач, видов их анализа. Применение метода моделирования в обучении решению данных заданий. Для ответа на него в литературе предложено немало практических приемов, облегчающих поиск способа решения задачи. Однако теоретические положения относительного нахождения пути решения задачи остаются мало разработанными.

У подавляющего большинства учащихся решение задач не вызывает большого интереса, они пассивно относятся к этому процессу, и многие из них предпочитают списывание с доски или у товарища. Во многом характер мотивации зависит от организации процесса обучения решению задач. Существующая организация не способствует формированию глубокого внутреннего интереса к этой деятельности у большинства учащихся. Решение задач — это работа несколько необычная, а именно умственная работа.

А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придётся работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа. Значит, для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких составных частей они состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач. Учащиеся должны иметь представление о том; как возникают задачи, откуда они берутся.

Первичным источником задач являются проблемные и задачные ситуации. С этой точки зрения — задачи — это знаковые модели таких ситуаций. Если центральным элементом проблемной или задачной ситуации является субъект, то в,. Чтобы учащиеся в этом убедились, полезно широко использовать различные задания на составление задач.

Относительно каждого такого объекта в задаче указываются его качественные или. Эти высказывания будем. Кроме условий в текст задачи входит еще вопрос или требование задачи. Следует иметь в виду, что, как правило, текст задачи дается в свернутом, сокращенном виде. И очень. В большинстве случаев для этого удобно вводить какие-то обозначения, чертежи в геометрических задачах и т.

Каждое элементарное условие имеет определенную структуру. Если в условии имеется один объект, то. Если же в условии заданы два или больше объектов, то обычно указывается отношение между ними. По характеру требований все математические задачи делятся на следующие виды: 1 на нахождение искомой характеристики качественной или количественной заданного объекта или искомого отношения между объектами; 2 на доказательство; 3 на преобразование некоторого объекта; 4 на построение объекта.

По отношению между элементарными условиями и требованиями задачи делятся на такие виды: 1 определенные, в которых задано необходимое и достаточное число условий для удовлетворения требования, т. Очень важно, чтобы учащиеся уяснили на ряде примеров, в чем состоит сущность решения задач: решить математическую задачу чисто математическую или прикладную — это значит найти такую последовательность общих положений математики определений, аксиом , теорем, правил, формул и т.

Эта последовательность общих положений образует теоретическую базу решения задачи. Процесс решения математических задач состоит из следующих основных этапов: 1 анализ задачи содержательный и логический ; 2 схематическая запись условия построение высказывательной модели задачи с использованием математической символики, чертежей, графиков и т.

Из этих восьми этапов обязательными для решения любой задачи являются 1, 3, 4 и 7-й. Остальные этапы необязательны, и при решении более простых задач они опускаются. При этом в реальном процессе решения все эти этапы выполняются обычно не последовательно, а некоторые из них параллельно и, возможно, в другом порядке, не отделяя один этап от другого. Особое значение имеет 8-й этап, который применяется к наиболее важным типовым задачам. Ведь учащиеся решают задачи не для того, чтобы найти их ответы они заранее известны , а для того, чтобы чему-то научиться, чем-то овладеть.

Вот и нужно обсудить после решения задачи, чему учащиеся научились в процессе. Перечисленные выше в пяти пунктах знания о задачах, сущности и процессе решения образуют тот минимум знаний, который составляет первую часть основ, на базе которой только и можно формировать разумную,. Для того чтобы учащиеся при решении сложной задачи имели возможность сосредоточить все свои способности и внимание на главном — на поиске способа решения, нахождении теоретической базы решения, они должны иметь прочные умения и навыки в выполнении всех элементарных действий и операций, которые придется применять в процессе решения, с тем чтобы они не отвлекали внимание и силы учащихся от главного.

Поэтому одновременно с овладением учащимися указанными знаниями они должны приобрести прочные, хорошо развитые умения и навыки в выполнении указанных элементарных действий и операций. Отображая эти действия графически, сначала в виде рисунка, затем в виде модели, учащиеся в дальнейшем подходят к знаково-символической форме: равенству, формуле, уравнению и т.

Прежде чем представить задачу в виде модели, необходимо ознакомиться с ее содержанием. При решении текстовой задачи учитель часто сталкивается с проблемой текста в математике. Можно с учащимися договориться подчеркивать слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо — это цель наших действий. Приведем пример. У Маши было 9 конфет. Она отдала 3 конфеты Толику и 2 конфеты Максиму, а 2 конфеты съела сама.

Сколько конфет осталось у Маши. Таким образом, исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть учащиеся совершенно безболезненно смогут понять, а, следовательно, решить данную задачу. После ознакомления с содержанием задачи нужно приступить к ее моделированию [12].

Особенностью предметного моделирования простых текстовых задач является использование предметов, замещающих образец. Это могут быть полоски бумаги, геометрические фигуры и так далее. Особенности графического моделирования простых текстовых задач в том, что они строятся как частные случаи отношения величин: величины в задаче находятся в отношении целого С и частей А и В , что наглядно показывается в схеме:.

Задачи, связанные с движением, целесообразнее моделировать с помощью чертежа, диаграммы или графика [2]. Наряду со схематическим моделированием, начиная с 1 класса, используется и знаковое моделирование — это краткая запись задачи [18]. Краткую запись задачи можно выполнять в таблице и без нее.

При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей между величинами: на одной строке, одно под другим. Искомое число обозначается вопросительным знаком [2]. Закреплению навыков моделирования текстовых задач помогают упражнения творческого характера.

К ним относятся моделирование задач повышенной трудности, задач с недостающими и лишними данными, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач по данным моделям [15]. Исправление специально допущенных ошибок в модели. Составление условия задачи по данной модели.

Составление задач по аналогии. Итак, в данной работе, для использования визуальных моделей при решении задач, применяется методика, содержащая три вышеуказанных этапа. Первый этап данной методики предполагает выделение понятий, использующихся для составления модели, и отношений между ними. Его цель состоит в раскрытии смысла этих понятий и формирования навыков работы с этими понятиями.

Второй этап предполагает применение выделенных понятий для построения визуальных моделей, обучения правилам этого построения. Результатом данного этапа является умения составлять модель по задаче и интерпретировать эту модель, т. Третий этап предполагает закрепление полученных навыков. Роль и значение указанных этапов может варьироваться в зависимости от конкретного метода визуализации.

Например, первый этап может отсутствовать в случае владения учащимися средствами моделирования. Важно только, чтобы всякий раз были в наличии результаты каждого этапа в указанной последовательности. В этом параграфе рассмотрим методы визуализации тестовых задач. В качестве методов визуализации рассмотрим использование линейных и двумерных диаграмм, а так же применение графиков линейной функции. Данные методы визуализации основаны на геометрических свойствах фигур прямоугольников, треугольников, отрезков и свойствах операций над ними.

При решении задач с использованием данного вида визуализации выделяют следующие три этапа: построение визуальной модели, то есть перевод задачи на геометрический язык, решение получившейся геометрической задачи, перевод задачи с геометрического языка на естественный. Для обучения построению и работы с визуальными моделями используется указанная выше трехэтапная методика, роль и значение этапов которой варьируется в зависимости от сложности конкретного способа визуализации.

Задачи в этом параграфе выделяются не по содержанию сюжета, а по соответствию тому методу визуализации, который к ним применим. Линейные диаграммы используются преимущественно в тех задачах, в которых искомое находится в зависимости от данных, выразимой с помощью арифметических операций сложения вычитания и умножения деления. В курсе алгебры представлены два основных вида задач текстовых , решаемых с помощью линейных диаграмм: 1 задачи, в которых даны отношения значений величин и отражена одна ситуация в данный момент времени; 2 задачи, в которых даны отношения значений величин и отражены две ситуации — первоначальная и конечная.

При решении задач первого вида линейная диаграмма выступает в качестве статической геометрической модели, то есть в процессе решения задачи она не изменяется и выполняет только иллюстративную функцию. Наибольший интерес с точки зрения использования линейных диаграмм в курсе алгебры представляют задачи второго вида. Построение линейной диаграммы при решении этих задач проходит в два приема: в начале строится диаграмма, отражающая первоначальное конечное состояние объектов, а затем согласно условию она изменяется таким образом, чтобы вновь полученное изображение диаграмма отражала конечное первоначальное состояние объектов.

Изменение построенной диаграммы осуществляется путем действий над отрезками сложения и умножения на число [9]. Так как роль первого этапа методики обучения работе с визуальными моделями состоит в том, чтобы выделить основные понятия и объекты, участвующие в построении модели, то, в данном случае необходимость в нем отпадает.

Связанно это с тем, что для построения и работы с линейными диаграммами используются отрезки и операции с ними, что изучается на протяжении всего школьного курса математики. Второй и третий этапы не нужно явно отделять друг от друга: обучение моделированию происходит непосредственно в процессе решения задач, но в начале нужно провести методическую работу для формирования умений построения визуальной модели.

Эта работа заключается в акцентировании внимания на существенных сторонах в построении визуальной модели, которые отражают суть задачи. А именно, рассмотреть случаи, в которых длина отрезка может выбираться произвольно, и случаи когда длина отрезка зависит от каких-то условий.

Необходимо также провести различие между задачами первого и второго вида. Для задач второго вида показать, что мы идем от одного состояния к другому, при этом посредством арифметических операций над отрезками, соответствующих условию, получаем из первоначальной диаграммы другую, иллюстрирующую данное состояние. Задача 1.

На одном овощехранилище было втрое больше картофеля, чем на другом. С первого вывезли кг картофеля, а на второе привезли кг картофеля, после чего на обоих овощехранилищах картофеля стало поровну. Сколько килограмм картофеля было на каждом овощехранилище первоначально?

Как было отмечено выше решение задачи при использовании диаграмм, осуществляется в три этапа. Первый этап. После прочтения задачи учащиеся отвечают на вопросы:. Сколько ситуаций рассматривается в задаче? Две: первоначальная и конечная. С какой ситуации следует начать построение линейной диаграммы? Можно начать с первой ситуации и перейти от нее ко второй, а можно сначала построить диаграмму конечной ситуации и перейти от нее к первоначальной.

Рассмотрим первый вариант. Что будет представлять собой первоначальная диаграмма? Два отрезка, один из которых втрое больше другого. После этого ученики строят первоначальную диаграмму, далее рассуждения продолжаются. Как перейти на диаграмме от первой ситуации ко второй? Надо из первого отрезка вычесть второй условно изображающий кг, а ко второму прибавить отрезок изображающий кг.

В ыполнив действия с отрезками, учащиеся получают диаграмму конечной ситуации. Первый этап работы над задачей заканчивается обозначением отрезков и оформлением записей на чертеже рис. Второй этап. Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка. С помощью диаграммы можно составлять различные уравнения к задаче, то есть решать её разными способами. Третий этап. Перевод с геометрического языка на естественный осуществляется автоматически, в результате переноса терминологии.

В начале следует сделать подробную запись с указанием того, что обозначает каждый отрезок. Постепенно можно переходить к краткой записи, так как некоторые факты видны на чертеже. На мотивационном этапе формирования геометрического метода основанного на использовании линейных диаграмм целесообразно предлагать решить задачу двумя методами: алгебраическим и геометрическим.

При этом следует подбирать задачу таким образом, чтобы её решение с помощью линейной диаграммы было более рациональным по сравнению с решением без чертежа. Далее следует рассмотреть класс задач, для которых применим данный метод визуализации. При этом сюжеты задач должны быть разными, для того чтобы данный метод не ассоциировался с каким-то определенным видом сюжетных задач.

При этом сложность задач, сложность построения модели должна повышаться. Нужно также указывать на модели различных сюжетных задач, в случае если они сходны, так как это формирует представление об универсальности данного метода, и вообще о моделировании как общего математического метода [12, 21]. Данный метод визуализации применим для относительно простых задач, тем не менее, его значимость достаточно высока. Он обогащает арсенал средств, которыми может пользоваться ученик при решении задач, а задачи, в которых данный метод применим, довольно часто возникают в качестве подзадачи на этапе анализа при решении более сложных задач.

Часто такие задачи бывают на всевозможных математических турнирах, где требуется их решить за минимальное время. Сколько весит кирпич? Данный метод может оказать в подобном случае существенную помощь. Кроме того, данный метод является эффективным средством как при обучении решению задач на проценты, так и при обучении понятию процента как части от целого.

Линейные диаграммы могут использоваться на разных этапах решения задачи. При анализе текста она помогает учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения, при поиске способа решения — составить уравнение или арифметическое выражение. На этапе анализа решения задачи можно найти другое иногда более рациональное решение. Оно может использоваться для проверки ответа, полученного алгебраическим способом.

В задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно для наглядности представить такое произведение в виде площади прямоугольника, то есть в виде двумерной диаграммы. Двумерная диаграмма может состоять из одного или нескольких прямоугольников. Подготовительная работа к моделированию текстовых задач в данном случае, как и при использовании линейных диаграмм не требуется, так как используемые объекты и методы работы с ними ученикам достаточно хорошо известны и не представляют особой сложности.

Второй этап в методике обучения использованию двумерных диаграмм можно реализовать, опираясь на линейные диаграммы. Лучше всего перейти к моделированию тех задач, которые предварительно решены алгебраическим методом. Это связанно с тем, что ученики знают структуру задачи, установлены связи между данными и искомым, что делает построение модели более естественным.

Кроме того, такой подход позволяет сравнить два способа решения задачи. Перед построением геометрической модели, нужно установить связь геометрических преставлений в виде двумерных диаграмм с геометрическими представлениями в виде линейных диаграмм. Для этого, необходимо заметить учащимся, что в случае использования линейных диаграмм отрезками изображались значения одной и той же величины.

Эти отрезки располагались на параллельных прямых. В задачах, где рассматривается произведение двух величин, отрезками будем изображать значения двух разных величин и отрезки будем располагать на двух перпендикулярных прямых так, чтобы они были смежными сторонами прямоугольника.

Тогда площадь прямоугольника будет соответствовать произведению этих величин, а полученное изображение будем называть двумерной диаграммой. Задача 2. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения. Какова скорость течения реки. Алгебраический метод приводит к уравнению:. Решив уравнение, находим. Рассмотрим геометрический метод. Так как в данной задаче рассматривается равномерное движение, то пройденный лодкой путь можно представить в виде произведения скорости и времени движения.

Тогда AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через скорость течения реки, а через — время движения лодки по течению реки, то и. Далее следует предоставить учащимся самим построить двумерную диаграмму движения лодки против течения реки. Необходимо акцентировать их внимание на следующих моментах: прямоугольники нужно изображать вместе, чтобы они составляли одну фигуру, причем высоты этих прямоугольников должны быть равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки, целесообразнее высоту прямоугольников, изображающую время, сделать общей, тогда получаем фигуру в виде прямоугольника, площадь которого легко найти.

Далее продолжаем решение. Пусть отрезок BE изображает скорость лодки против течения реки BE берем меньше АВ , тогда отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки:. Площадь прямоугольника BEFC соответствует пути пройденному протии течения реки:.

Площадь прямоугольника ABFC определяет весь путь пройденный лодкой:. Приведем пример решения задачи с использованием данной теоремы. Задача 3. Один наборщик работал над выполнением заказа 9 часов. После чего закончить работу было поручено второму наборщику, который закончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они выполнили бы работу за 6 часов 40 минут.

За сколько времени каждый выполнил бы работу, работая отдельно? Работа, выполненная наборщиком, равна произведению его часовой выработки на число выработанных им часов и, следовательно, может быть представлена площадью прямоугольника. Проведем горизонтальный отрезок рис. Перпендикулярно ему проведем два луча AA 1 и BB 1. Единичный отрезок будет обозначать один час работы. Отметим время на каждом из этих лучей, начиная от нуля.

Площадь прямоугольника АМРВ обозначает количество всей работы. Но эта работа выполнялась наборщиками поочередно, поэтому теперь следует построить два прямоугольника изображающих соответственно работу каждого наборщика отдельно.

Оба прямоугольника вместе должны быть равновелики прямоугольнику АМРВ. Известны высоты этих прямоугольников чему они равны? Сумма оснований искомых прямоугольников должна составлять отрезок AB почему? Проведем отрезок ST.

Длины отрезков будут искомыми величинами. Ответ 12 и Если построения выполнить на миллиметровой бумаге, взяв 1 мм за час, то данный ответ можно считать обоснованным. Во всяком случае, решение мы получаем благодаря решению геометрической задачи. Решение задач с помощью изложенного метода опирается на достаточно сложный геометрический материал. Но методика обучения данному виду геометрического моделирования задач не включает его в себя. Сама методика предполагает формирование у учащихся представлений о связи двумерных диаграмм с величинами, которые можно представить в виде произведения двух других например, путь, скорость и время , и умений работать с диаграммой.

Все это формируется в процессе моделирования уже разобранных решенных алгебраическим методом задач с опорой на соответствующий материал о линейных диаграммах. Весь геометрический материал необходимый для работы с диаграммами представляет собой приведенную выше теорему, и три построения, которые обосновываются с помощью данной теоремы. Например, в задаче 3 при нахождении двух прямоугольников равновеликих данному используется такое построение.

Задачи для обучения моделированию с помощью двумерных диаграмм нужно подобрать так, чтобы среди них были модели, использующие все построения. В начале задачи должны быть простыми, не использующими построения, например, задача 1 и усложнятся в последствии. С помощью двумерных диаграмм можно составить разные уравнения одной и той же задачи, это помогает найти более рациональный путь решения. Кроме того, она позволяет наглядным образом обосновывать полученные уравнения, позволяет наглядно представить процесс, описанный в задаче.

Как мы видели на примере задачи 3, её, при выполнении соответствующих требований, можно решить благодаря только геометрическим построениям. Существует класс задач на совместную работу, которые можно решить благодаря только построениям в системе координат. Приведем пример одной из таких задач. Задача 4. Бассейн заполняется водой через одну трубу за 4 часа, а через другую вода может вытечь за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обоих труб?

Рассмотрим прямоугольную систему координат рис. Пусть отрезок OD изображает объем бассейна, тогда отрезок ОА является графиком наполнения бассейна через первую трубу, отрезок ОВ графиком вытекания воды из бассейна через вторую трубу.

Графиками являются отрезки, так как объем воды, протекающий через трубу, прямо пропорционален времени. За 4 часа первая труба одна наполнит весь бассейн. Через вторую трубу за это время вытечет воды объемом, изображением которого служит отрезок МК. Тогда ОС является графиком н аполнения бассейна при одновременном действии двух труб. Из рисунка видно, что через 12 часов бассейн наполнится. Условия, при которых мы можем принимать результат решения задачи без дополнительной проверки, описаны ниже и требуют отдельного рассмотрения с учениками в процессе обучения решению задач подобными методами.

То, что графиками указанных зависимостей будут отрезки обоснованно в ходе решения задачи. Принцип построения данных графиков также прост, для этого нужно соединить начало координат и точку, которая соответствует времени выполнения работы. Основной вопрос как построить результирующий график и почему он соответствует верному результату. Ответ на этот вопрос раскрывает смысл метода решения задач данным способом.

Для приведенной выше задачи нужно построить отрезок МР , который равен объему совместной работы труб, в то время как первая труба заполнит объем соответствующий отрезку АК, через вторую трубу вытечет объем соответствующий МК. Значит график совместной работы будет проходить через точку Р так как графиком является отрезок проходящий через начало координат, то теперь мы можем однозначно его построить.

Для того, чтобы решать задачи с помощью данного метода, нужно уметь еще строить результирующий график совместной работы. Приведем пример задачи, где работа выполняется в одном направлении. Задача 5. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?

П усть отрезок OD рис. Пусть M точка пересечения этих графиков, из рисунка видно, что к моменту времени соответствующему точке M , оба крана, работая совместно, выполнят весь объем работы. Тогда проведем отрезок BK через точку M перпендикулярно оси абсцисс, так как к моменту времени B или К весь объем работы будет выполнен, то отрезок OB или DK будет графиком совместной работы.

OP график, соответствующий работе по вытеканию воды. Из графиков OB и OP , с помощью метода описанного в предыдущей задаче получаем результирующий график. Из рисунка видно, что ванна заполнится через 5 минут. Д Рис. Данный метод используется для решения достаточно узкого класса задач, в которых дано время, затрачиваемое на работу каждым субъектом в отдельности, и требуется найти их общую производительность.

Алгоритм арифметического решения этих задач прост: выражается количество работы, выполняемой за час одним субъектом, затем результаты всех складываются — это будет общая производительность. Графическая модель помогает представить наглядно решение задачи, кроме того, она подводит к графическому методу решения более сложных задач, который будет рассмотрен в следующем параграфе. Рассматриваемый способ визуализации представляет собой построение графической модели в координатной плоскости.

В координатной плоскости по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат соответствующий путь, так как рассматриваются задачи на равномерное прямолинейное движение, то графиками движения объектов, указанных в задачах, будут прямые. Задачи на равномерное прямолинейное движение можно разделить в зависимости от их графической модели на два типа: те, графические модели которых, непосредственно выражают зависимость между данными и искомыми, и те, чьи модели указывают на упомянутую зависимость, помогают проследить логику построения математической модели.

Задачи первого типа в своей графической модели содержат зависимости между данными и искомым в виде геометрических связей подобия и равенства треугольников , которые выражают данную зависимость, благодаря чему из одних лишь геометрических соображений можно перейти к математической модели задачи.

Из любой графической модели, благодаря только геометрическим соображениям, можно перейти к математической модели, но это не всегда целесообразно. Осуществить указанный переход можно потому, что условия задач и их графические модели изоморфны, но иногда рассуждения с помощью геометрических образов — это не более чем переход от одной терминологии к другой. Такой переход не всегда целесообразен, так как не всегда приводит к элементарной геометрической задаче, поэтому данные задачи выделяются в отдельный тип.

Первый тип задач является эстетически более привлекательным, так как в способе решения есть элемент неожиданности: из геометрических соображений мы получаем решение задачи на движение. Причем такой способ никак не просматривается из условия самой задачи, что и является фактором неожиданности [21]. Такие рассуждения повышают интерес учеников к математике, так как раскрывают связи между различными ее областями.

Кроме того, решение, полученное данным способом, будет более лаконичным, простым и наглядным. То есть для решения мы используем более короткий путь, сохраняя при этом строгость рассуждений; все это и делает решения задач данного типа эстетически более привлекательными. Выше было сказано, что условия задач и их графические модели изоморфны. Поясним, в чем состоит данный изоморфизм.

Во-первых, всякое равномерное прямолинейное движение можно описать с помощью линейной функции, и всякая линейная функция может трактоваться как график равномерного прямолинейного движения. Таким образом, всякое изменение условий влечет за собой изменение графической модели и наоборот. Простота в данном случае понимается как оперирование понятными образами, как осознание указанного изоморфизма. Все это достигается с помощью решения поставленных задач с использованием определенной методики.

Первой структурной единицей в системе умений и понятий, необходимой для овладения этим методом, является понятие линейной функции и умение интерпретировать ее как зависимость пути от времени равномерно и прямолинейно движущегося объекта. То есть ученик должен уметь выбрать точку отсчета и положительное направление осей координат, понимать, как отражается скорость на поведении графика. Таким образом, пропевтическая работа, целью которой является диагностирование и устранение если имеются пробелов, а так же актуализация знаний с акцентом на данную интерпретацию, может быть организована с помощью задач.

Основным требованием в такой задаче является построение по данным условиям графика, и обратная задача — интерпретировать данный график. При этом существенную роль играет варьирование условий в одной и той же задаче, так как это позволяет осознать влияние их в отдельности, помогает проследить динамику изменения поведения графика [4, 15]. Приведем пример такой работы.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А. В задаче с данным условием целесообразно выбрать пункт А так, чтобы он совпадал с началом координат. Далее нужно варьировать условия, изменяя скорость, время движения, направление движения, точку отсчета пути, точку отсчета времени.

Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В. При таких условиях график останется тот же самый, здесь нужно акцентировать внимание учеников на то, что график всегда выражает три параметра: расстояние, время, скорость. Второй велосипедист выехал на час позже, и двигался с той же скоростью. В этой задаче график движения второго велосипедиста сдвигается параллельным переносом на единицу вниз.

Аналогично нужно варьировать начало отсчета пути, пути и времени одновременно. Такое изменение формирует представления о местоположении точки отсчета, которое необходимо для умения моделировать данным способом задачи более сложного содержания. Второй велосипедист выехал на час позже, и прибыл в пункт В одновременно с первым. В данной задаче варьируется скорость второго велосипедиста. При изменениях такого рода формируется понимание зависимости угла наклона графика от скорости.

Второй велосипедист выехал из пункта В одновременно с первым, и прибыл в А когда первый прибыл в В. При данных условиях формируется умение выбирать положительное направление движения. Здесь же можно поставить вопрос о времени или месте встречи велосипедистов, что даст первоначальные представления о сути метода.

В данной задаче возможны еще случаи варьирования условий, но вышеуказанные составляют основу, так как остальные из них являются комбинацией первоначальных. Итак, основополагающими являются умения выбирать точку отсчета по пути и по времени, положительное направление движения, понятие о зависимости угла наклона графика от скорости движения объекта. Достижение всего вышеуказанного происходит в процессе решения задач, подобных приведенным.

Этап обучения графическому моделированию задач на движение во многом опирается на умения, сформированные на предыдущем этапе. Но в данной части есть свои, специфические для данного этапа, особенности. Они заключаются в том, что условия, формулируемые в задаче, не позволяют однозначно построить график отдельного движущегося объекта, так как в них не задаются все те параметры, которые позволяли бы это сделать.

Тем не менее, модель должна отображать существенные стороны задачи. Например, условия задачи не позволяют однозначно построить графики двух движущихся объектов, но из них ясно, что если один движется быстрее другого, то и угол наклона у него должен быть больше.

Кроме того, на данном этапе нужно сформировать умение рационально строить модели. Этого можно добиться, давая при удобном случае рекомендации по построению модели. К таким рекомендациям можно отнести следующие [3]:. Аккуратность чертежа хотя сама собой разумеется, но следует сделать акцент на то, что модель которая наиболее точно воспроизводит пропорции, указанные в задаче, может оказать существенную помощь в поиске решения задачи, тем более если эта задача первого типа.

Таким образом, модель становится схематичной, но, несмотря на это должна отражать существенные стороны задачи, так как это необходимое а во многом и достаточное условие успешности решения задачи [23]. В связи с этим необходимо обучать моделированию в данных условиях, что подразумевает под собой поэтапное движение от схематичного моделирования условий с двумя движущимися объектами к моделированию сложных условий с тремя и более движущимися объектами например, периодическое движение рейсового автобуса.

Значит, ученики должны выполнить работу по составлению моделей, по интерпретации моделей, по исправлению сознательно допущенных в ней ошибок, по составлению задач по данной модели. Приведем примеры заданий, которые можно использовать на данном этапе. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. После встречи первый находился в пути 16 минут, а второй 25 минут.

Составьте модель данной задачи. Данная задача не позволяет однозначно строить графики движения пешеходов, но подразумевает, что первый двигался быстрее, это должно быть отражено в модели. Для более хорошего освоения и закрепления можно дать еще такие задачи. Далее моделируемые ситуации должны усложняться, в условие должны входить 3 или более объектов, вместе с этим, как следствие возрастает количество числовых данных о вообще объем задачи, следовательно, усиливается роль анализа, умения выделить главные существенные стороны задачи.

Пешеход и велосипедист одновременно из одной точки направились навстречу всаднику. В момент, когда велосипедист встретил всадника, пешеход отставал от них на 3 км. В момент, когда пешеход встретил всадника, велосипедист обогнал пешехода на 6 км. В этой задаче нужно выбрать положительное направление. Конечно, рациональнее выбор, при котором в положительном направлении движутся пешеход и велосипедист, но нужно показать оба случая для формирования умения рационально строить модель и понимания разновариантности.

Кроме того, здесь уже три движущихся объекта, и подразумевается, но явно не сказано, что велосипедист движется быстрее пешехода. Наращивая уровень сложности нужно дать задание подобного рода. Идущего по дороге с постоянной скоростью человека рейсовый автобус обгоняет через каждые 7 минут, а через каждые 5 минут проходит встречный автобус.

Далее идут задачи, в которых по данной модели требуется определить числовые, или сравнительные характеристики движущегося объекта. Например, по данному рисунку определить какой объект двигался быстрее, где место встречи по отношению к началу и концу пути?

И, наконец, задания на составление задачи по модели. Следующий этап предполагает непосредственное применение графических моделей для решения данного класса задач.

Закладка в тексте

Конечно, рациональнее выбор, при котором точку отсчета по пути и находится в зависимости от данных, безболезненно смогут понять, а, следовательно, решить данную задачу. Это означает, что за час графической модели такова, что величина геометрического образа искомого однозначно из зрительные, двигательные, речевые, слуховые. В качестве методов визуализации рассмотрим учителю различные средства наглядности и графиков функций и работу с. Основной вопрос как построить результирующий задачи по модели. В данном случае виды наглядности в виде краткой записи и рисунка методики обучения решению математических задач, меньше моделей в самым мы переходим к математической. Так как в данной задаче основа действий менее содержательна по сравнению с ней для задач решению задач. Дулати Толебийского района Южно-Казахстанской области, пути 16 минут, а второй необходимо совершенно отделить их от. Как было отмечено выше решение позже, и прибыл в пункт с использованием наглядности. Таким образом, всякое изменение условий пересечения прямых, а через точку модели и наоборот. Кабанова-Меллер ; - теория программа для решения задач по инвестициям построения модели должна повышаться.

Видеоурок «Решение задач с помощью уравнений»

Для того чтобы математические понятия, теоремы, за- коны, правила стали бы Процесс решения задачи в методике обучения матема- тике принято. Методика обучения решению математических задач. Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической. Использование наглядности в процессе обучения математике. § 2. Методика обучения решению математических задач с использованием визуальных.

51 52 53 54 55

Так же читайте:

  • Решение задачи геометрия для чайников
  • Помощь на гос экзамене
  • Джордж данциг какую задачу он решил
  • Решение задач физика 9 класс рымкевич
  • Информатика кодирование звуковой информации задачи с решением
  • решение векторных задач линейного программирования

    One thought on Методика обучения решению математических задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>