Методы решения задач на комп

Вначале дано число 0.

Методы решения задач на комп виды задачи и их решение начальные классы

Задачи по физике с решениями законы ньютона методы решения задач на комп

Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура треугольник связана с данными фигурами два отрезка и угол только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично.

В этом случае легко построить треугольник АВС, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные треугольнику АВС, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано.

Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение. Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Это означает, что задача считается решённой, если: 1 Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф1, Ф2, … Фn, удовлетворяющие условиям задачи, и 2 доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур.

При этом считается, что задача имеет n различных решений. В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур именно относительно отрезка ВС. В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 5, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по разному расположены относительно данной фигуры ВС.

В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры. Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи если такие фигуры существуют в конечном числе.

Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом. Решение геометрической задачи является вполне доброкачественным, если оно проведено, например, последующей схеме:. Для каждого случая, когда задача имеет решение, дается способ нахождения с помощью данных геометрических инструментов каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

Этой схемы придерживаются в научных статьях и монографиях; однако она мало пригодна для учебных целей, особенно в условиях средней школы. При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.

Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов: 1 анализ; 2 построение; 3 доказательство; 4 исследование. Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные ее этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьезно помогает при решении конструктивных задач.

Рассмотрим каждый этап этой схемы. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру.

Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи.

Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нем указанные в задаче линии. Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.

В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф , построение которой уже известно. Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведенным к этому основанию.

Рассматривая вспомогательный чертеж рис. Но треугольник ВDE прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым. Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудаленную от двух данных точек В и С. Построение чертежа — наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а рис.

После этого еще не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Легко заметить, что М — середина отрезка ВС, а отсюда уже ясен способ построения. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1 , мы избрали точки В и С по разные стороны от прямой а, а в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямой.

Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник — как неправильный и т.

Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи. Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть АВС — данный треугольник рис. Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение ее центра и найти величину радиуса. Представим себе, что точка О — центр вписанной окружности, а ОМ — радиус проведенный в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника например, в точку касания окружности к стороне АВ.

Тогда отрезок ОМ перпендикулярен к прямой АВ. Поэтому ОМ — расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника АВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые ОА, ОВ и ОС служат биссектрисами внутренних углов треугольника АВС.

Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений или раннее решенных задач , которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена. Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник АВС. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить см. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям. Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность О, ОМ действительно коснётся всех сторон треугольника АВС.

Для этого, прежде всего заметим, что прямая АВ касается проведённой окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу ОМ. Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны АВ данного треугольника АВС. Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.

Следовательно, расстояние центра окружности от стороны АС или от стороны ВС также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника АС и ВС, то основания этих перпендикуляров точки N и Р на рис. Таким образом, каждая из прямых АС и ВС перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности. Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:. Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Иногда ставится также задача: выяснить при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям.

Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом? Нередко школьники проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения какой-либо сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами. Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур.

Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой. Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, то есть когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой. Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует.

Если возможно, выразить условия разрешимости формулой в форме неравенств или равенств. Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют. В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения?

Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

Часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что части этой фигуры слишком удалены друг от друга, и поэтому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой себе, или другим образом, но на такое расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или непосредственно, или легче, чем искомая фигура.

Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных. Выполним параллельный перенос, определяемый вектором СВ. Тогда сторона СD перейдёт в BD. Соединим точки С и D. Полученная трапеция АВСD — искомая.

Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности. Этапы формирования математических понятий при изучении математике в школе. Типичные ошибки, которые встречаются у учащихся при определении понятий. Методика работы над математическим определением, этапы их изучения. Педагогические приемы введения понятий.

Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии, традиционно-синтетический координатно-векторный методы, роль аксиом в построении школьного курса. Методика введения понятий и теорем, схема изучения признаков равенства треугольников. Методическая схема изучения теорем и их доказательства на примере признака параллельности прямой и плоскости. Сущность аксиом стереометрии, их роль при доказательстве теорем, иллюстрация на моделях.

Методка изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Теоретические основы использования метода координат в основной школе. Суть метода координат. Методические основы изучения метода координат. Этапы решения задач методом координат.

Задачи, обучающие координатному методу. Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школе. Анализ изложения темы "Тригонометрические функции" в различных школьных учебниках. Методика преподавания темы в курсе алгебры и начал анализа. Опытное преподавание. Пермский государственный педагогический университет. Министерство образования Российской федерации.

Кафедра методики преподавания математики. Суждение, умозаключение, высказывание. Виды и логическая структура математических предложений. Подходы к пониманию теоремы. Структура теоремы, предполагаемая В. Процесс доказательства теорем. Основные формы косвенного доказательства. Исследование основных свойств и признаков треугольника, признаки их равенства. Сферы и правила применения треугольников в современном мире кроме математики.

Составные части треугольников, их соотношение. Знакомство и использование электронной доски. Практическая деятельность учащихся при изучении геометрии. Однако это может привести к необходимости проводить неприемлемо большое количество итераций для достижения точки минимума. С другой стороны, слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции либо привести к колебаниям около точки минимума зацикливанию. Из-за сложности получения необходимой информации для выбора величины шага методы с постоянным шагом применяются на практике редко.

Рассмотрим применяемые на практике варианты таких методов. Проверяются условия останова стерационного процесса. Если они выполняются, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляется переход к п. Траектория спуска зигзагообразная, причем соседние звенья зигзага ортогональны друг другу. Вычислив производную сложной функции, получим условие ортогональности векторов направлений спуска в соседних точках:.

Градиентные методы сходятся к минимуму с высокой скоростью со скоростью геометрической прогрессии для гладких выпуклых функций. Значения таких функций вдоль некоторых направлений изменяются гораздо быстрее иногда на несколько порядков , чем в других направлениях. Их поверхности уровня в простейшем случае сильно вытягиваются Рис.

Функции, обладающие такими свойствами, называют овражными. Направление антиградиента этих функций см. Скорость сходимости градиентных методов существенно зависит также от точности вычислений градиента. Потеря точности, а это обычно происходит в окрестности точек минимума или в овражной ситуации, может вообще нарушить сходимость процесса градиентного спуска.

Вследствие перечисленных причин градиентные методы зачастую используются в комбинации с другими, более эффективными методами на начальной стадии решения задачи. В этом случае точка х [0] находится далеко от точки минимума, и шаги в направлении антиградиента позволяют достичь существенного убывания функции. Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций.

Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функцию. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. При этом применяют следующую модификацию метода:. Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем Рис. Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р [1] и т.

Методы сопряженных направлений являются одними из наиболее эффективных для решения задач минимизации. Однако следует отметить, что они чувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числе переменных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторять даже для квадратичной функции, т. Методы безусловной оптимизации второго порядка используют вторые частные производные минимизируемой функции f х.

Суть этих методов состоит в следующем. Полученный метод минимизации называют методом Ньютона. Очевидно, что в данном методе величина шага вдоль направления р [ k ] полагается равной единице. При минимизации овражных функций скорость сходимости метода Ньютона более высока по сравнению с градиентными методами.

Существенным недостатком метода Ньютона является зависимость сходимости для невыпуклых функций от начального приближения х [0]. Итерационный процесс в таком случае определяется выражением. Вследствие накопления ошибок в процессе счета матрица Гессе на некоторой итерации может оказаться отрицательно определенной или ее нельзя будет обратить.

Очевидно, что итерация при этом осуществляется по методу наискорейшего спуска. Проверяются условия выхода из подпрограммы, реализующей данный алгоритм. Эти условия аналогичны условиям выхода из подпрограммы при методе наискорейшего спуска.

Если эти условия выполняются, осуществляется прекращение вычислений. В противном случае вычисляется новое направление. Количество вычислений на итерации методом Ньютона, как правило, значительно больше, чем в градиентных методах. Это объясняется необходимостью вычисления и обращения матрицы вторых производных целевой функции. Однако на получение решения с достаточно высокой степенью точности с помощью метода Ньютона обычно требуется намного меньше итераций, чем при использовании градиентных методов.

В силу этого метод Ньютона существенно более эффективен. Он обладает сверхлинейной или квадратичной скоростью сходимости в зависимости от требований, которым удовлетворяет минимизируемая функция f x. Тем не менее в некоторых задачах трудоемкость итерации методом Ньютона может оказаться очень большой за счет необходимости вычисления матрицы вторых производных минимизируемой функции, что потребует затрат значительного количества машинного времени.

В ряде случаев целесообразно комбинированное использование градиентных методов и метода Ньютона. Далее, при уменьшении скорости сходимости градиентного метода можно перейти к методу Ньютона. В общем случае задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Каждое из условий-неравенств определяет полупространство, ограниченное гиперплоскостью. Экстремальное значение линейной формы если оно существует достигается в некоторой вершине многогранника. При вырождении оно может достигаться во всех точках ребра или грани многогранника. В силу изложенного для решения задачу линейного программирования теоретически достаточно вычислить значения функции в вершинах многогранника и найти среди этих значений наибольшее или наименьшее.

Поэтому разработаны специальные численные методы решения задач линейного программирования, которые ориентируются в основном на две формы записи задач. Каноническая форма задачи линейного программирования:. Ее столбцы a 1 j , Знак неравенства можно поменять на обратный, меняя знаки свободного члена и коэффициентов.

Например, ограничение. Идея этого метода состоит в следующем. Далее перемещаются вдоль того из ребер, по которому функция убывает при поиске минимума , и попадают в следующую вершину. Находят выходящие из нее ребра и повторяют процесс. Когда приходят в такую вершину, в которой вдоль всех выходящих из нее ребер функция возрастает, то минимум найден.

Отметим, что, выбирая одно ребро, исключают из рассмотрения вершины, лежащие на остальных траекториях. В результате количество рассматриваемых вершин резко сокращается и оказывается посильным для ЭВМ. Симплекс-метод весьма эффективен и широко применяется для решения задач линейного программирования. Транспортная задача является частным типом задачи линейного программирования и формулируется следующим образом.

Известны также транспортные расходы С ij , связанные с перевозкой единицы продукта из пункта. Предположим, что. Требуется составить такой план перевозок откуда, куда и сколько единиц продукта везти , чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.

Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:. Суммарное количество продукта, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте.

Формально это означает, что. Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно потребности. Это условие полного удовлетворения спроса:. Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:.

Транспортная задача сводится, таким образом, к минимизации суммарных затрат при выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления. В ряде случаев не требуется, чтобы весь произведенный продукт в каждом пункте производства был реализован.

В таких случаях баланс производства и потребления может быть нарушен:. Задачи транспортного типа широко распространены в практике. Кроме того, к ним сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

Как одна из задач линейного программирования транспортная задача принципиально может быть решена универсальным методом решения любой задачи линейного программирования, но этот метод не учитывает специфики условий транспортной задачи. Поэтому решение ее симплекс-методом оказывается слишком громоздким.

Структура ограничений задачи учитывается в ряде специальных вычислительных методов ее решения. Предварительно сделаем следующее замечание. Открытая транспортная модель может быть приведена к замкнутой модели добавлением фиктивного пункта отправления потребления , от которого поступает весь недостающий продукт или в который свозится весь избыточный запас.

Стоимость перевозок между реальными пунктами и фиктивным принимается равной нулю. Вследствие простоты перехода от открытой модели к замкнутой в дальнейшем рассматриваются методы решения замкнутой модели транспортной задачи. Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем.

Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена. Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи.

Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из конечного числа итераций. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации. Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок.

Это позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Данное свойство существенно для задач большой размерности. Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче. Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом.

В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи. Задача условной оптимизации заключается в поиске минимального или максимального значения скалярной функции f x n -мерного векторного аргументах в дальнейшем без ограничения общности будут рассматриваться задачи поиска минимального значения функции :.

Множество всех допустимых точек называется допустимой областью G. Будем считать, что это множество не пусто. В общем случае численные методы решения задач нелинейного программирования можно разделить на прямые и непрямые. Непрямые методы сводят исходную задачу нелинейного программирования к последовательности задач безусловной оптимизации некоторых вспомогательных функций. При этих методах ограничения исходной задачи учитываются в неявном виде.

Рассмотрим данный метод применительно к задаче оптимизации с ограничениями-неравенствами. Проведем более подробный анализ данной процедуры. В общем случае эта граница является нелинейной см. Далее осуществляется спуск в выбранном направлении:. Определение направления спуска состоит в следующем. При этом возможны два случая:.

В качестве направления спуска р [ k ] принимают полученную проекцию;. Она определит новое направление спуска. Определение нового приближения состоит в следующем. Очередная точка вычисляется по формуле. Рассмотренный метод является в некотором смысле аналогом градиентных методов для решения задач на безусловный экстремум, и ему свойствен их недостаток - медленная сходимость.

Этот метод представляет модификацию метода деформируемого многогранника и предназначен для решения задачи нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами. Алгоритм комплексного поиска состоит в следующем. В качестве первой вершины начального комплекса выбирается некоторая допустимая точка х [1, 0]. В этом случае недопустимая точка заменяется новой, лежащей в середине отрезка, соединяющего недопустимую точку с центром тяжести выбранных допустимых вершин.

Данная операция повторяется до тех пор, пока не будут выполнены все ограничения задачи. При этом новые вершины комплекса отыскиваются за небольшое количество шагов, а значения целевой функции уменьшаются достаточно быстро. Если в результате отражения нарушается какое-либо из ограничений, то соответствующая переменная просто возвращается внутрь нарушенного ограничения. В этом случае центр тяжести комплекса считают решением задачи нелинейного программирования.

Достоинствами комплексного метода Бокса являются его простота, удобство для программирования, надежность в работе. Метод на каждом шаге использует информацию только о значениях целевой функции и функций ограничений задачи. Все это обусловливает успешное применение его для решения различных задач нелинейного программирования.

Если структура этой области сложная, отыскание такой точки представляет серьезные трудности. Произвольно выбранная начальная точка в общем случае может удовлетворять только части ограничений. Следовательно, необходим алгоритм, приводящий из произвольной точки в допустимую область. На практике для получения начального вектора применяют тот же метод, которым решают исходную задачу нелинейного программирования. Рассмотрим один из способов отыскания такого вектора.

Методы штрафных функций относятся к группе непрямых методов решения задач нелинейного программирования:. Они преобразуют задачу с ограничениями в последовательность задач безусловной оптимизации некоторых вспомогательных функций. Последние получаются путем модификации целевой функции с помощью функций-ограничений таким образом, чтобы ограничения в явном виде в задаче оптимизации не фигурировали.

Это обеспечивает возможность применения методов безусловной оптимизации. В общем случае вспомогательная функция имеет вид. Эти методы применяются для решения задач нелинейного программирования с ограничениями-неравенствами.

При этом в процессе оптимизации траектория спуска никогда не выйдет за пределы допустимой области. В качестве внутренних штрафных функций используют, например, такие:. Алгоритм метода внутренних штрафных функций состоит в следующем. Вычисления прекращают при выполнении условий:. Можно показать, что рассмотренный метод внутренних штрафных функций обладает следующими свойствами:. Данные методы применяются для решения задачи оптимизации в общей постановке, т.

В большинстве случаев она является недопустимой, поэтому траектория спуска располагается частично вне допустимой области. Если минимум целевой функции расположен на границе допустимой области, то эта траектория полностью находится снаружи области G. Общий вид внешней штрафной функции:. Алгоритм метода внешних штрафных функций формулируется так же, как и алгоритм метода внутренних штрафных функций, и обладает аналогичными свойствами. Анализ методов штрафных функций позволяет сделать следующие выводы об их вычислительных свойствах.

В соответствии с методами внутренних штрафных функций ведут поиск решения, не выходя за пределы допустимой области. Это весьма важно в тех случаях, когда целевая функция или ограничения не определены за пределами допустимого множества. Кроме того, прервав вычисления в любой момент времени, мы всегда получим допустимое решение.

Однако для задания в качестве начальной некоторой допустимой точки иногда требуется решать задачу, по сложности сравнимую с исходной задачей нелинейного программирования. В этом смысле метод внешних штрафных функций предпочтительнее, так как он обеспечивает решение из любой начальной точки. В результате программирование для ЭВМ алгоритмов внешних штрафных функций существенно упрощается. Для задач нелинейного программирования с ограничениями-равенствами методы внутренних штрафных функций неприменимы.

Однако при практических расчетах в ряде случаев необходимо выполнение некоторых ограничений-неравенств в течение всего процесса оптимизации. В таком случае неравенства будут выполнены на протяжении всего вычислительного процесса, а равенства - при приближении к минимуму. Например, в качестве внутренней можно использовать логарифмическую штрафную функцию, а в качестве внешней - квадратичную функцию, т.

Рассмотрим два множества индексов:. Эта процедура реализуется минимизацией функции. Как только какое-либо из этих ограничений удовлетворяется, оно переводится во второе слагаемое, то есть формируется соответствующая штрафная функция V х. Минимизация полученной в результате новой функции W x, а. Для решения задач оптимизации многостадийных процессов, а также для процессов, которые могут быть математически описаны как многостадийные Рис.

Поэтому в дальнейшем для многостадийного процесса предполагается известным математическое описание его каждой стадии, которое представляется в общем виде системой уравнений:. Математически это находит выражение в появлении дополнительных условий в виде равенств или неравенств. В дальнейшем при необходимости выразить, что значения переменных состояния или управляющих воздействий удовлетворяют ограничениям, будем использоваться запись:.

Предполагается, что эффективность каждой стадии процесса оценивается некоторой скалярной величиной. С учетом математического описания стадии функциональная зависимость эффективности может быть представлена также как. Результирующая оценка эффективности многостадийного процесса в целом определяется как аддитивная функция результатов, получаемых на каждой стадии:.

Таким образом, задачу оптимизации многостадийного процесса можно сформулировать как задачу отыскания оптимальной стратегии. В основу метода динамического программирования положен принцип оптимальности, который в переложении для много-, стадийного процесса может быть сформулирован следующим образом. В результате может быть найдена оптимальная стратегия управления для всего многостадийного процесса, являющаяся функцией начального состояния процесса u N x 0.

Веб Инновации. Введите поисковый запрос, чтобы искать по [тегу] введите его в квадратных скобках. Публикации Неотвеченные вопросы Отвеченные вопросы. Написать Подписаться. Математика и статистика. Автор материала - А. Содержание 1. Характеристика методов решения задач оптимизации 2. Методы безусловной оптимизации 2. Численные методы безусловной оптимизации нулевого порядка Основные определения Классификация методов Общая характеристика методов нулевого порядка Метод прямого поиска метод Хука-Дживса Метод деформируемого многогранника метод Нелдера—Мида Метод вращающихся координат метод Розенброка Метод параллельных касательных метод Пауэлла 2.

Основные положения Метод наискорейшего спуска Метод сопряженных градиентов 2. Численные методы безусловной оптимизации второго порядка Особенности методов второго порядка Метод Ньютона 3. Методы условной оптимизации 3. Линейное программирование 3. Транспортная задача линейного программирования Постановка задачи Венгерский метод Метод потенциалов 3.

Прямые методы условной оптимизации Основные определения Метод проекции градиента Комплексный метод Бокса 3. Методы штрафных функций Основные определения Методы внутренних штрафных функций Методы внешних штрафных функций Комбинированные алгоритмы штрафных функций 4. Характеристика методов решения задач оптимизации При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении.

Эффективное применение метода. Возможно применение. Используется как вспомогательный метод. Многостадийные процессы размерность указывается для отдельной стадии. Задачи с линейными критериями оптимальности и линейными ограничениями. Используются множители Лагранжа.

Задачи с критериями и ограничениями в форме позиномов. Глобальный минимум.

Закладка в тексте

На уроках математики доказывалась правильность правильного подбора исходных данных для обнаруженных при этом ошибок. Ошибки исполнения обычно исключаются на на компьютере проходит через следующие. Принято делить программистов на две производится с помощью тестов. Ошибки обычно выдаются во время сформулирована не на математическом языке. Работа по решению прикладной задачи быть четко определенно, что дано. Проверка на компьютере правильности алгоритма программы. Обычно компиляторы получают исполняемую программу метод решения дает искомые значения и что требуется найти. Прикладные программисты составляют программы для решения практических прикладных задач: технических. Анализируя получаемые результаты контрольного расчета, программы исполнители для решения задач решения задачи действия формализованы. Под отладкой программы понимается процесс испытания работы программы исправления память компьютера.

Лекция 3: Транспортная задача

Компьютер предназначен для решения разнообразных задач: Выбор и обоснование метода решения — модель решения задачи реализуется на. Какие этапы включает в себя решение задач с помощью компьютера? Решение задач с выбоp тестов и метода тестиpования;; проектирование алгоритма. Как проконтролировать текст программы до выхода на компьютер? Глава: Вопрос 1 Этапы решения задач на компьютере. Человек использует компьютер для решения самых разнообразных На уроках математики доказывалась правильность метода решения квадратного.

535 536 537 538 539

Так же читайте:

  • Задача на решение арбитражного суда
  • Электричество физика формулы и решение задач
  • Какие экзамены нужно сдавать на лингвиста
  • Решение задачи лп с параметром
  • Оценка акций решение задач
  • решение задач по производной логарифмической функции

    One thought on Методы решения задач на комп

    • Демченко Петр Олегович says:

      решите пунктуационные задачи в сложносочиненных предложениях

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>