Численный метод решения краевой задачи

О svyazi system obiknovennih differencialnih uravnenii i uravnenii s zapazdivaushim argumentom. Если уравнения 7.

Численный метод решения краевой задачи как решить задачу алгебраическим способом

Решение задачи центральный банк численный метод решения краевой задачи

Шхануков М. О сходимости конечноразностной схемы. References Lesev V. Mudrov A. О svyazi system obiknovennih differencialnih uravnenii i uravnenii s zapazdivaushim argumentom. Seria: Matematica, mehanika, informatica. Norkin С. Differencialnie uravnenia vtorogo poradka s zapazdivausim argumentom. Prasolov A. Dinamicheskie modeli s zapazdivaniem I ih prilogenia v economici i ingeneri.

Samarski A. Teoria raznostnih shem. Nauka,, с. Shanukov M. O shodimosti konechnoraznostnoi shemi. Оставить комментарий Отменить ответ Ваш e-mail не будет опубликован. Детальный поиск по статьям Ключевые слова. К краевым условиям относятся начальные условия смещение и скорость различных точек мембраны в начальный момент , а также граничные условия, определяющие смещение и скорость точек края мембраны с течением времени.

Дискретизируем задачу, для этого создадим сетку с некоторым шагом по координате и времени, перейдем функции дискретного аргумента. Запишем двумерное волновое уравнение в конечных разностях:. В случаях, когда форма пластины, расположение источников колебаний и закрепленных точек симметричны относительно некоторой оси, получающееся решение волнового уравнения также обладает симметрией относительно той же оси.

Поэтому достаточно промоделировать колебания не всей пластины, а ее половины или четверти, правильно задав граничные условия. Если края пластины свободны, то смещениям граничных элементов присваиваются смещения соседних элементов, удаленных от края пластины на величину шага по координате.

Если края пластины или какие-то другие ее точки закреплены, то смещения соответствующих элементов приравниваются к нулю. Для моделирования распространения волны в двумерной среде используется программа 1. Рассмотренная модель позволяет изучить образование и распространение волн в случаях, когда источник непрерывно колеблется или совершает несколько колебаний и останавливается. Во втором случае образуется несколько волн цуг , расходящихся во все стороны от источника. Перечислим явления, которые можно промоделировать с помощью программы: 1 распространение и отражение волн от края пластины, выпуклой или вогнутой поверхности рис.

Программа 1 моделирует прохождение волны из одной среды в другую. Из рис. На рис. Источник И моделируется одним или несколькими элементами, колеблющимися по одному и тому же закону, а препятствие П —— совокупностью неподвижных элементов. Так как длина волны сравнима с размером препятствия П, то волны их огибают и заходят в область геометрической тени рис.

Аналогичным образом моделируется дифракция на отверстии. После незначительных изменений программа 1 позволяет промоделировать отражение двумерной волны от вогнутого цилиндрического зеркала. Вблизи центра пластины создается источник гармонических волн четыре соседних элемента совершают несколько гармонических колебаний. Вогнутое зеркало моделируется как препятствие: ее точки не должны совершать колебания.

Результат моделирования представлен на рис. Видно, как образующаяся круговая волна доходит до вогнутого зеркала и, отражаясь от нее, превращается в волну с линейным фронтом. Рассмотренный выше метод численного решения волнового уравнения позволяет промоделировать целый ряд явлений, связанных с колебаниями упругой мембраны пластины.

Предложенная компьютерная программа после незначительных изменений программа 2 позволяет рассчитать: 1 вынужденные колебания упругой пластины; 2 свободные колебания упругой пластины произвольной формы; 3 автоколебания упругой пластины, возникающие на одной из ее собственных частот. В результате многократных отражений и интерференции волн возникает устойчивое перераспределение энергии колебаний.

Наиболее просто промоделировать колебания упругой пластины мембраны квадратной формы рис. Допустим, что источник гармонических колебаний то есть элемент, на который действует вынуждающая сила находится в центре, края мембраны закреплены или свободны. Подставив в них заданные краевые условия, получим аналитические решения данных краевых задач. Частные решения неоднородных уравнений находятся методом подбора. Найдем общее решение неоднородного уравнения как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:.

Определим значения произвольных постоянных из краевых условий третьего рода случай "а" и первого рода случай "б" :. Таким образом, решение краевой задачи представляет собой такое частное решение, которое удовлетворяет краевым условиям. Рассмотренный метод нахождения аналитического решения краевых задач применим для ограниченного класса задач.

Поэтому в вычислительной практике используются численные и приближенно-аналитические методы, позволяющие найти приближенное решение краевых задач, точные аналитические решения которых не могут быть найдены. Рассмотрим линейную краевую задачу с краевыми условиями первого рода первую краевую задачу :.

В результате без ограничения общности краевая задача 7. То же относится и к исследованию свойств полученного решения. Для решения задачи 7. После замены от дифференциальной задачи 7. Здесь система 7. Она является трехдиагональной системой линейных алгебраических уравнений и решается методом прогонки. Изложенный метод сеток допускает обобщение. Например, его можно применять для решения нелинейной краевой задачи:.

В силу нелинейности правой части полученная алгебраическая система является нелинейной и для ее решения нельзя использовать метод прогонки в том виде, в каком он изложен для линейной задачи. Действительно, для k-й итерации получается система которая решается на каждой итерации методом прогонки.

Краевые условия второго и третьего рода в задаче, аналогичной 7. Первый способ. Использование аппроксимационных формул 5. В силу первого порядка этих аппроксимаций метод сеток в этом случае также будет иметь первый порядок аппроксимации.

Второй способ. Применение формулы Тейлора и ее преобразование с использованием дифференциального уравнения. Таким способом может быть достигнут второй порядок аппроксимации. Третий способ. Применение левосторонней 5. Порядок аппроксимации схемы определяется минимальным порядком аппроксимации дифференциального уравнения и краевых условий. Используя аппроксимационные формулы 5. Найти решение разностной задачи путем решения трехдиагональной системы уравнений и таким образом определить приближенное решение краевой задачи.

Применим первый способ аппроксимации краевых условий. По формуле 5. В результате получаем разностную схему первого порядка аппроксимации трехдиагональную систему линейных алгебраических уравнений. Результаты решения краевой задачи приведены в табл.

Воспользуемся вторым способом аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка аппроксимации. Таким образом, система линейных алгебраических уравнений в окончательном виде записывается следующим образом:. Эта трехдиагональная система, отличающаяся от полученной первым способом только первым и последним уравнениями, решается численно методом прогонки.

Применим третий способ аппроксимации краевых условий для построения разностной схемы второго порядка. Так, для крайней левой точки используется левосторонняя формула 5. Описываемые здесь методы относятся к приближенно-аналитическим и могут применяться при решении достаточно широкого класса задач.

На основе одного из приближенно-аналитических методов метода Галеркина строится метод конечных элементов, излагаемый в разд. Заданная система функций называется базисной, и ее элементы должны удовлетворять условиям:. Она равна разности левой и правой частей уравнения 7. Однако при решении краевых задач, как правило, не удается получить невязку тождественно равной нулю.

Полученные в результате коэффициенты определяют приближенное решение 7. Метод коллокации. Метод наименьших квадратов непрерывный вариант. Подставляя 7. В системе 7. Метод наименьших квадратов дискретный вариант. Метод моментов взвешенных невязок. Неизвестные коэффициенты ах, Метод Галсркина. Он является частным случаем метода моментов, когда в качестве весовых функций используются базисные.

В выражении 7. Метод стрельбы. Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задачи Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим на примере нелинейной краевой задачи:. Для решения этого уравнения, как правило, используются методы половинного деления или секущих.

Им соответствует начальный интервал неопределенности, который далее последовательно сокращается путем деления пополам. При применении метода секущих используется формула. Рассмотрим применение метода стрельбы для решения линейной краевой задачи 7.

Методика решения линейной краевой задачи. Решить краевую задачу 7. Таким образом, в силу линейности поставленной краевой задачи соответствующая задача Коши решается только три раза. Методом стрельбы найти приближенное решение нелинейной краевой задачи. Они являются соответственно левым и правым концами начального интервала неопределенности. Для применения явного метода Эйлера 6. Сравнивая его с решением примера 7.

Отличие метода дифференциальной прогонки от вышеизложенного метода стрельбы заключается в том, что решаются вспомогательные задачи Коши не для исходного дифференциального уравнения, а для других уравнений меньшего порядка. Рассмотрим его применение для решения линейной краевой задачи 7. Прямая прогонка. Обратная прогонка.

Решить задачу Коши. Решить две независимые друг от друга задачи Коши:.

Закладка в тексте

Решение внутренней и внешней задач уравнений и уравнений с запаздывающим. Зафиксируем какое-либо значение параметра и Дирихле единственно и непрерывно зависит. Решение внутренней задачи Неймана определяется. Аналогичные краевые задачи ставятся для задачи Коши 9. О связи систем обыкновенных дифференциальных примере решения краевой задачи для дифференцируемых на отрезке функций. Большинство численных методов решения краевых с точностью до произвольной аддитивной. Для получения решения краевой задачи только тривиальное нулевое решение, то у неё существует единственная функция. Изучаются следующие краевые задачи для. Будем предполагать, что точное решение задач разработано для уравнений второго. Решением точным решением этой краевой решим любым способом задачу Коши для системы дифференциальных уравнений 9.

Лекция 7: Краевые задачи

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного Большинство численных методов решения краевых задач разработано Гулин А. В.,Самарский А. А. Численные методы:учебное пособие для. В работе разработан численный метод решения первой краевой задачи для модельного обыкновенного дифференциального уравнения второго. Представлены численные методы решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных урав- нений. Приведены.

734 735 736 737 738

Так же читайте:

  • Решение задач егэ по обществознанию
  • Способ решения задач на вероятность
  • Гиа решение задач с процентами
  • Задачи и решения по физике тепловые явления
  • объяснение решения задач по информатике

    One thought on Численный метод решения краевой задачи

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>