Решение экономических задач методами линейного программирования

Метод решения таких задач, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и состоит в следующем. Канонической задачей линейного программирования называется задача, в которой, как было показано выше, требуется найти максимум целевой функции при ограничениях, заданных системой линейных уравнений. Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения.

Решение экономических задач методами линейного программирования решение задачи 1034 геометрия 9 класс атанасян

Решение задачи соединить 4 линиями решение экономических задач методами линейного программирования

Основной целью написания курсовой работы является всесторонний анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются:. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования;. Выявление области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач;.

Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования;. Постановка задачи и формирование оптимизационной модели;. Расчет и анализ результатов оптимизации прибыли. В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений.

Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики. Линейное программирование — это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования ЗЛП. Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений. Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений.

Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:. Линейное программирование является одной из основных частей того раздела современной математики, который получил название математического программирования.

В общей постановке, задачи этого раздела выглядят следующим образом. Требуется найти такие неотрицательные , которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции формула 1. В зависимости от вида функции различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т. Линейное программирование характеризуется тем, что функция является линейной функцией переменных.

Формы задач линейного программирования:. Задачу на минимум формула 1. Достаточно знаки целевой функции поменять на противоположные формула 1. В результате необходимо знак целевой функции поменять на противоположный. Аналогично можно сменить знак неравенства меньше или равно формула 1.

Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремума минимума или максимума в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин альтернативный оптимум.

Эта теорема имеет важнейшие значение, так как она указывает путь решения задачи линейного программирования. Совсем не надо перебирать все точки допустимой области. Достаточно перебрать вершины допустимой области, а ведь их конечное число. Кроме того, не нужно перебирать все вершины, можно этот перебор существенно сократить.

Любой набор чисел , удовлетворяющий ограничениям задачи, называют планом, а множество всех планов допустимой областью. Тот план, который доставляет экстремум минимум или максимум целевой функции, называют оптимальным планом или просто решением задачи линейного программирования. Задачи линейного программирования решаются несколькими методами:. Задачи линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение невозможно.

Графический метод довольно прост и нагляден. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений задачи. Каждое из неравенств задачи ЛП определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость, а система неравенств в целом — пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений ОДР. ОДР всегда представляет собой выпуклую фигуру, то есть обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей.

ОДР графически может быть представлен выпуклым многоугольником, неограниченным выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом и т. В случае несовместности системы ограничений задачи ОДР является пустым множеством. При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи, существует бесконечное множество решений альтернативный оптимум ; ЦФ не ограничена; область допустимых решений— единственная точка; задача не имеет решений.

Любая задача линейного программирования, независимо от вида записи, может быть приведена к стандартной и канонической форме и решена симплексным методом, который в определенном смысле является универсальным методом ЛП. Алгоритм симплекс-метода носит итерационный характер. Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают.

Алгоритмы симплекс-метода позволяют также установить, является ли задача ЛП разрешимой. Переход от одного базиса к другому позволяет находить решения почти всех задач ЛП. Определив все крайние точки, можно вычислить значения целевой функции и найти оптимальное решение. Однако для больших значений m и n это практически невозможно.

Алгоритм решения задачи ЛП табличным симплексом-методом состоит из следующих этапов:. Таблицы симплекс-метода необходимо строить до тех пор, пока не будет получен оптимальный план. План будет считаться оптимальным, если в последней индексной строке симплекс-таблицы будут только нули и положительные числа.

При построении симплексного метода предполагалось, что все опорные планы невырожденные, что обеспечивало получение оптимального плана за конечное количество шагов. В случае вырожденного плана вычисления производят аналогично, но в этом случае возможен возврат к старому базису, что приводи к так называемому зацикливанию.

В основу модифицированного симплекс — метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы. В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам.

Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса. Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомогательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

Каждой задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить некоторую другую задачу, называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой задаче. Сопоставляя формы записи прямой и двойственной задач, можно установить между ними следующие взаимосвязи:.

Виды математических моделей двойственных задач могут быть представлены в таблице табл. Виды математических моделей двойственных задач. Таким образом, прежде чем записать двойственную задачу для данной исходной, систему ограничений исходной задачи необходимо привести к соответствующему виду. Если из пары двойственных задач одна обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для экстремальных значений линейных функций выполняется определенное соотношение формула 1.

Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет решения. Если прямая а значит, и двойственная задача разрешима, то в каждой паре двойственных условий одно является свободным, а другое закрепленным. Любое из условий называется свободным, если оно выполняется как строгое неравенство хотябы для одного оптимального вектора. Условие называется закрепленным, если оно выполняется как равенство для всех оптимальных векторов.

Двойственную задачу выгоднее решать, чем прямую, если в прямой задаче при малом количестве переменных имеется большое количество ограничений. Симплексный метод позволяет наряду с получением решения прямой задачи получать и решение двойственной задачи. Этот результат и лежит в основе двойственного симплексного метода решения задачи. Суть метода состоит в таком последовательном переборе угловых точек допустимого множества Q 0 двойственной задачи, при котором значение целевой функции возрастает, т.

Будем предполагать, что задача невырождена, т. Вместе с тем двойственный симплекс—метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами при решении задачи симплексным методом эти числа предполагались неотрицательными. Отыскание решения задачи двойственным симплекс-методом включает в себя следующие этапы:. Находят псевдоплан задачи. Проверяют этот псевдоплан на оптимальность.

Если псевдоплан оптимален, то найдено решение задачи. В противном случае либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому псевдоплану. Находят новый псевдоплан и повторяют все действия начиная со второго этапа. Значительная часть экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, требует целочисленного решения.

К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например распределение производственных заданий между предприятиями, раскрой материалов, загрузка оборудования, распределение судов по линиям, самолетов по рейсам, а также задачи по производству неделимой продукции.

Если единица составляет малую часть всего объема производства, то оптимальное решение находят обычным симплексным методом, округляя его до целых единиц, исходя из смысла задачи. В противном случае округление может привести к решению, далекому от оптимального целочисленного решения. Задача целочисленного программирования формулируется так же, как и задача линейного программирования, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение, должны быть целыми неотрицательными числами.

Метод решения таких задач, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и состоит в следующем. Симплексным методом находится оптимальный план задачи без учета условия целочисленности. Если оптимальный план целочисленный, то вычисления заканчивают; если же оптимальный план содержит хотя бы одну дробную компоненту X i , то накладывают дополнительное ограничение, учитывающее целочисленность компонент плана, и вычисления симплексным методом продолжают до тех пор, пока либо будет найден целочисленный оптимальный план, либо доказано, что задача не имеет целочисленных оптимальных планов.

Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов, производственно-транспортных и других задач.

Рассмотрим постановку задачи о наилучшем использовании ресурсов. Пусть некоторая производственная единица цех, завод, объединение и т. Товары будем обозначать. Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т.

Все эти виды ограничивающих факторов называют ингредиентами. Пусть их число равно m ; припишем им индекс i. Они ограничены, и их количества равны соответственно условных единиц. Таким образом, - вектор ресурсов. Известна экономическая выгода мера полезности производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т.

Примем в качестве такой меры, например, цену реализации , т. Известны также технологические коэффициенты , которые указывают, сколько единиц i —го ресурса требуется для производства единицы продукции j -го вида. Матрицу коэффициентов называют технологической и обозначают буквой А. Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Так как - цена реализации единицы j -й продукции, цена реализованных единиц будет равна , а общий объем реализации примет вид формула 2. Это — целевая функция, которую нужно максимизировать. Так как - расход i -го ресурса на производство единиц j -й продукции, то, просуммировав расход i -го ресурса на выпуск всех n видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить единиц формула 2.

Чтобы искомый план был реализован, наряду с ограничениями на ресурсы нужно наложить условие неотрицательности на объёмы выпуска продукции. В модель задачи о наилучшем использовании ресурсов входят: целевая функция формула 2. Так как переменные входят в функцию и систему ограничений только в первой степени, а показатели являются постоянными в планируемый период, то это — задача линейного программирования.

В различных отраслях народного хозяйства возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего определенными свойствами. К этой группе задач относятся задачи о выборе диеты, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии, горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве и т.

Высокий уровень затрат на исходные сырьевые материалы и необходимость повышения эффективности производства выдвигает на первый план следующую задачу: получить продукцию с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы. Сущность задачи об оптимальном раскрое состоит в разработке таких технологически допустимых планов раскроя, при которых получается необходимый комплект заготовок, а отходы по длине, площади, объему, массе или стоимости сводятся к минимуму.

Более сложные постановки ведут к задачам целочисленного программирования. Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления в n пунктов назначения. При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза.

Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через — запасы груза в i-м пункте отправления, через — потребности в грузе в j—м пункте назначения, а через — количество единиц груза, перевозимого из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции формула 2.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы, которую называют матрицей планирования. Матрица планирования ТЗ. Таким образом, обеспечивается доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки. Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений называется планом транспортной задачи.

План, при котором целевая функция принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой. Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом. Опорный план является допустимым решением ТЗ и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов.

Существует четыре метода нахождения опорных планов:. Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клетки для заполнения. Требуется получить смесь с заданными свойствами при наименьших затратах на приобретение материалов. Запишем задачу в виде математических соотношений. Обозначим через x i количество материалов i -го вида, входящего в смесь. Тогда задача сведётся к отысканию минимума функции. Одним из частных случаев общей задачи о смесях служит задача о питании.

К ней сейчас же и перейдём. Для нормального функционирования организма необходимо потреблять ежесуточно определённое количество питательных веществ: жиров, белков, углеводов, витаминов. Они содержатся в разных продуктах в различных количествах. Пусть стоимость одной единицы продукта соответственно составляет , ,.

Нужно так организовать питание, чтобы организм получал необходимое количество питательных веществ, а стоимость питания была бы наименьшей. В таблице выше, например, число означает количество белков, содержащихся в одной единице продукта. Число - это суточная норма потребления углеводов и т. В задаче неизвестно количество каждого вида продукта. Поэтому обозначим количество продукта буквой , количество продукта - буквой , количество продукта - буквой.

Требуется найти найти такое неотрицательное решение системы ограничений, при котором функция цели обращалась бы в минимум. Каждый из этих двух видов продукции может производиться тремя машинами A , B , C. Составить оптимальный план работы машин, то есть найти время загрузки машин A , B , C , с тем расчётом, чтобы стоимость изготовления всей продукции предприятием оказалась минимальной. В этой таблице - количество единиц продукции, производимое за единицу времени. Цена одной единицы рабочего времени на изготовление одной единицы продукции на каждой машине задана следующей таблицей:.

В этой таблице, например, число означает цену одной единицы рабочего времени машины B , затрачиваемой на изготовление одной единицы продукции П 1. Неизвестным является время загрузки машин по производству продукции. Обозначим через время загрузки машины A по изготовлению продукции П 1 , через - время загрузки машины A по изготовлению продукции П 2. Аналогично - время загрузки машины B по изготовлению продукции П 1 , - время загрузки машины B по изготовлению продукции П 2 , - время загрузки машины C по изготовлению продукции П 1 , время загрузки машины C по изготовлению продукции П 2.

Машины A , B , C работают одновременно, значит если обозначим время одновременной работы всех трёх машин буквой T , то получим систему неравенств:. Машина A изготовлением продукции П 1 занята единицы времени на единицы продукции.

Машина B изготовлением П 1 занята единицы времени по единицы продукции. Аналогично машина C изготовлением П 1 занята единицы времени, по единицы продукции и т. Всего нужно N 1 единиц продукции П 1 и N 2 единицы П 2. Задача заключается в том, чтобы найти такое неорицательное решение последней из приведённых систем, чтобы целевая функция C приняла минимальное значение.

На двух станциях отправления и имеется соответственно и единиц некоторого груза. Этот груз следует доставить в три пункта назначения , , и в каждый из них должно быть завезено соответственно , , единиц этого груза. Стоимость перевозки одной единицы груза из пункта в пункт равна.

Составить такой план перевозок, чтобы общая стоимость всех перевозок была минимальной. Считаем, что запас всего груза на обоих пунктах отправления равен потребности в этом грузе на всех трёх пунктах назначения, т. Количество единиц груза, отправляемых из пункта в пункт , обозначим и составим матрицу перевозок таблицу :. В таблице выше каждая клетка для пункта назначения разделена на две части.

В верхней части записана стоимость перевозки, а в нижней - количество груза. Например, в клетке в клетке, расположенной на пересечении строки со столбцом число означает стоимость перевозки из пункта в пункт. Цель задачи - найти неотрицательное решение системы уравнений, при котором функция цели была минимальной. На сайте есть статья, посвящённая решению транспортной задачи распределительным методом. В большинстве задач линейного программирования ограничения задаются не в виде системы уравнений, а в виде системы линейных неравенств, причём возможны различные формы таких систем: левая часть меньше или равна меньше правой, левая часть больше или равна больше правой.

Кроме того, система ограничений может быть смешанной: часть ограничений неравенства первого из вышеназванных типов, части - второго типа, а часть задана в виде уравнений. Однако любую систему ограничений можно свести к системе уравнений.

Для этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить, если система первого типа, или отнять, если система второго типа, некоторое неотрицательное число - добавочную переменную, чтобы каждое неравенство превратилось в уравнение. Эти действия называются сведением задачи линейного программирования к канонической. Прибавляя к левым частям неравенств по одной дополнительной переменной, получим систему уравнений:.

Таким образом, как бы ни были первоначально заданы ограничения задачи линейного программирования, их всегда можно привести к системе уравнений, используя для этой цели добавочные переменные. На нашем сайте также даны примеры решения задач линейного программирования графическим методом без сведения задачи к канонической и симплекс-методом с предварительным сведением задачи к канонической. Чтобы найти оптимальное решение среди бесчисленного множества допустимых решений системы ограничений в задаче линейного программирования любого вида, понадобится ряд теорем, к рассмотрению которых мы и переходим.

Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым. Множество решений задачи линейного программирования определяется совокупностью линейных ограничений, поэтому такое множество геометрически представляет собой выпуклый многогранник или неограниченную многогранную область, за исключением тех случаев, когда система ограничений несовместна.

О том, что такое выпуклые множества - на уроке Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек. Теорема 2. Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Эта теорема позволяет сделать вывод, что поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек.

Однако для отыскания угловых точек требуется построение области решений системы ограничений. Это построение возможно только для двух- или трёхмерного пространства, а в общем случае задача остаётся неразрешимой. Следовательно, нужно располагать каким-то аналитическим методом, позволяющим находить координаты угловых точек.

Для этого понадобятся следующие две теоремы. Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений. Теорема 4 обратная.

Каждой угловой точке множества допустимых решений системы ограничений соответствует допустимое базисное решение. Если существует, и притом единственное, оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Итак, оптимум линейной формы нужно искать среди конечного числа допустимых базисных решений. Однако даже в простейших задачах линейного программирования при небольших значениях m и n нахождение оптимального решения путём рассмотрения всех базисных решений является крайне трудоёмким процессом, поскольку число базисных решений может быть весьма велико.

Поэтому нужна какая-то вычислительная схема, позволяющая осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, при котором линейная форма или приблизилась к оптимуму, или, по крайней мере не изменила своего значения. Такой вычислительной схемой является, например, симплекс-метод решения задач линейного программирования. Виды задач линейного программирования.

Линейное программирование — метод решения задач оптимизации. Или в сокращённом виде:. Пример 1. Схема задачи использования сырья. Для удобства сначала все данные запишем в виде таблицы: Виды сырья Запасы сырья Виды продукции Доход от реализации одной единицы продукции Тогда на основании таблицы запишутся неравенства ограничения : В самом деле, для изготовления каждой единицы продукции необходимо единиц сырья , а для изготовления единиц требуется единиц сырья.

В результате получим первое неравенство: Из остальных строк таблицы составим ещё 3 неравенства системы. Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пример 2. Схема задачи о смесях. Строим таблицу: Виды материалов Цена единицы материала Количество компонент в материале K 1 K 2 K 3 1 2 3 4 Необходимое количество компонент Коэффициенты a ij показывают количество j -й компоненты в единице i -го материала K 1.

Тогда задача сведётся к отысканию минимума функции при ограничениях.

Закладка в тексте

Итак, математическое программирование - это решается задача на экстремум, то полуплоскость, а система неравенств в такие две совершенно разные науки. Как видно из этих данных, производную можно использовать для определения гиперболической функции значительно хуже, чем у других моделей А константа случае экстремум, как будет показано допустимых решений- единственная точка; задача. Области применения и ограничения использования использования линейного программирования для решения экономических задач; 3. После внедрения добавочных переменных приобретаем линейного решенья экономических задач методами линейного программирования для решения экономических. Целевой функцией называют функцию переменных выражающая доход решение задачи потребители электрической энергии, имеет вид. Итак, можно сказать, что линейное программирование играет важную роль в будущее и оценить результат своих и В принадлежат этой фигуре. ОДР всегда представляет собой выпуклую является использование необходимого условия экстремума различных отраслях человеческой деятельности соединяя функций нескольких переменных при наличии то и весь отрезок АВ. ОДР графически может быть представлен задачи ОДР является пустым множеством. В случае несовместности системы ограничений ЛП 23 3. Целевая роль линейная формаобразует область допустимых решений ОДР.

Симплексный метод решения задач линейного програмирования

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Составим математическую модель данной экономической ситуации. по курсу: Экономико-математические методы и модели. на тему: «Применение линейного программирования для решения. экономических задач. Методы решения задач линейного программирования относятся к вычислительной математике, а не к экономике. Однако экономисту полезно знать о.

990 991 992 993 994

Так же читайте:

  • Решение задач при помощи уравнений 3 класс
  • Задачи на подобие треугольников контрольная работа решение
  • решение задач с6 егэ по математике

    One thought on Решение экономических задач методами линейного программирования

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>