Математика методы оптимизации решение задач

Другим вариантом будет простое сканирование с вычислением значений функции, позволяющее выделить из нее подобласть наибольших наименьших значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Примеры вычисления локальных экстремумов функций одной перемен-ной показаны на рисунке 7.

Математика методы оптимизации решение задач правильные ответы тестов по решению задач

Решение всех задач по учебнику кузнецова математика методы оптимизации решение задач

Практически используемые методы в основном являются методами локального поиска. Одновременно надежные и экономичные методы поиска глобального экстремума в настоящее время неизвестны. Надежным, но крайне неэкономичным методом глобального поиска является метод сканирования. При его применении область определения F Х в пространстве управляемых параметров разбивается на к подобластей, в центре каждой из которых вычисляется значение целевой функции.

Если функция зависит от п параметров, необходимо выполнить к" вариантов расчетов. Чтобы получить достоверную картину поведения гиперповерхности отклика целевой функции, необходимо сканировать допустимую область с достаточно малым шагом, поэтому даже для сравнительно несложных задач затраты машинного времени на поиск становятся недопустимо большими. Этот недостаток характерен и для методов случайного поиска глобального экстремума.

Однако затраты ресурсов на случайный поиск можно сделать приемлемыми, если не предъявлять высоких требований к надежности определения экстремума. Наиболее многочисленную группу составляют методы безусловной оптимизации. Некоторое представление о широко применяемых методах этой группы дает рис. В зависимости от порядка используемых производных целевой функции по управляемым параметрам методы безусловной оптимизации делят на методы нулевого, первого и второго порядков.

В методах нулевого порядка прямых методах информация о производных не используется. Для методов первого порядка необходимо вычислять как значение функции качества, так и ее первые частные производные градиентные методы. В методах второго порядка организация поиска экстремума ведется с учетом значений целевой функции, ее первых и вторых производных. В зависимости от количества управляемых параметров целевой функции различают методы одномерного и многомерного поиска.

Одномерный поиск может рассматриваться как самостоятельная задача, если аргументом целевой функции является один параметр. Такой же поиск используется в качестве части процедуры многомерной оптимизации в тех случаях, когда необходимо найти оптимальный шаг в выбранном направлении. Задача условной оптимизации может быть сформулирована как задача безусловной оптимизации с помощью методов Лагранжа или штрафных функций.

Тогда для ее решения применяются методы безусловной оптимизации. Задача условной оптимизации может быть решена и методами условной оптимизации методы проекции градиента, допустимых направлений и др. Практически во всех методах оптимизации стремятся построить такую последовательность значений X 0 , X 1 X 2 , В этом случае обеспечивается сходимость результатов и можно надеяться, что минимум функции будет найден.

Важной характеристикой методов является их скорость сходимости. Однако оценка сходимости того или иного метода обычно базируется на некоторых теоретических предпосылках относительно особенностей целевой функции например, функция дважды непрерывно дифференцируема или сильно выпукла и зависит от выбора начальной точки поиска.

Теоретические предпосылки относительно реальных целевых функций могут не удовлетворяться, поэтому скорость сходимости в этих случаях можно рассматривать как сравнительную оценку метода. Очевидно, что X 0 должна принадлежать области определения целевой функции и, чем ближе к экстремуму выбрана X 0 , тем быстрее и с большей вероятностью экстремум будет найден.

Инженер может назначить различные условия прекращения поиска, и, в зависимости от степени их выполнения, поиск будет продолжен или прекратится. Методы одномерного поиска строятся в предположении унимодальности одноэкстремальности функции F x на заданном интервале [а, Ь]. К функции не предъявляются требования дифференцируемости или непрерывности. Предполагается, что для любого х е [а, Ь] значение F x может быть вычислено, то есть найдено путем вычислительного эксперимента.

Методы одномерного поиска можно разделить на методы последовательного поиска методы дихотомии или половинного деления, Фибоначчи и золотого сечения и методы, использующие аппроксимацию функции методы квадратичной и кубической интерполяции и др. Для большинства задач, связанных с поиском оптимальных решений при проектировании таких сложных технических систем, как автомобиль и трактор, методы одномерного поиска практически не применимы, поскольку выходные параметры этих машин, как правило, зависят от множества управляемых параметров.

Обычно в этом случае применяются методы многомерного поиска. В качестве примера многомерного поиска рассмотрим метод покоординатного спуска метод Гаусса—Зейделя. Рассмотрим функцию двух переменных, поскольку в этом случае возможна геометрическая интерпретация рассматриваемого метода. На рис. Проекция этой поверхности на плоскость переменных Х1 и х2 показана на рис. В соответствии с алгоритмом, приведенным на рис.

Затем, в соответствии с указанным алгоритмом, выберем направление поиска. Если полученное значение целевой функции будет больше первоначального, необходимо изменить значение управляемого параметра Хm на величину шага в противоположном направлении и для этой точки снова вычислить значение целевой функции. Направление выбирается с таким расчетом, чтобы значение целевой функции стало меньше первоначального.

Далее в выбранном направлении продолжаем перемещение с выбранным шагом до тех пор, пока значение целевой функции уменьшается. При нарушении этого условия зафиксируем достигнутое на предыдущем шаге значение управляемого параметра Х1 точка X1 , а затем начинаем перемещение в направлении управляемого параметра х2 с определенным шагом, пользуясь закономерностями, описанными выше, до точки Х2, в которой достигнут минимум целевой функции.

Численные методы одномерной оптимизации. Метод дихотомии. Метод золотого сечения. Метод Фибоначчи. Пример использования. Условный экстремум. Экстремум функции многих переменных. Контрольные вопросы. Литература Царегородцева, В. Царегородцева, Г. Севодина; Алт. Актуализация опорных знаний Постановка задачи оптимизации сводится к отысканию экстремума наибольшего или наименьшего значения скалярной функции f х одной или многих переменных. Оптимизируемую функцию f x называют целевой функцией, или критерием оптимальности.

Отметим, что задачу максимизации можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот: минимальное значение функции равно максимальному значению функции , взятому с противоположным знаком, т. Если на переменную х или некоторые функции, характеризующие качественные свойства объекта, накладываются ограничения в виде равенств или неравенств, то такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации.

На заданной области определения независимой переменной у функции может быть несколько локальных минимумов и максимумов, а также по одному глобальному минимуму и максимуму рисунок 1. На отрезке — точки локального максимума, а — локального минимума. В точке реализуется глобальный максимум, а в точке — глобальный минимум. Рисунок 1 — Экстремумы функции Как известно, в курсе математического анализа для определения точки оптимума используют необходимое условие существования экстремума — равенство нулю первой производной функции одной переменной или равенство нулю частных производных для функции многих переменных.

Однако при решении практических задач вычисление производных функции бывает затруднительно или невозможно, если функция выражена неявно. В этих случаях приходится использовать аппарат численных методов для нахождения приближенного значения решения задачи с заранее заданной степенью точности. На данном занятии рассматриваются только некоторые безградиентные методы одномерного поиска экстремума.

Численные методы одномерной оптимизации К численным методам одномерной оптимизации относятся методы: - дихотомического деления, - золотого сечения, - чисел Фибоначчи, - полиномиальной аппроксимации и ряд их модификаций. Основная идея этих методов заключается в разбиении интервала поиска экстремума на несколько частей в определённом отношении, вычислении функции в этих точках и выборе наименьшего значения.

После этого интервал поиска сужается, и процедура повторяется. Критерием окончания поиска может служить соотношение: т. Метод дихотомии Пусть задан отрезок , на котором имеется один минимум в общем случае нечетное число минимумов. Согласно методу дихотомического деления рисунок 2, а отрезок делят пополам и в точках, отстоящих от центра с отрезка на величину допустимой погрешности , рассчитывают значения целевой функции и. Рисунок 2 — Одномерная минимизация: а — дихотомическое деление; б — золотое сечение Если окажется, что , то минимум находится на отрезке , если , то минимум — на , если — на.

Таким образом, на следующем шаге вместо отрезка нужно исследовать суженный отрезок , или. Шаги повторяются, пока длина отрезка не уменьшится до величины погрешности. Таким образом, требуется не более n шагов, где n — ближайшее к целое значение, но на каждом шаге целевую функцию следует вычислять дважды.

Пример 1. Пусть задана функция одной переменной вида Найти её минимальное значение на интервале [2, 5 ] с заданной точностью методом дихотомического деления. Программа, реализованная в системе MathCAD, приведена на рисунке 3. Для получения результата с заданной степенью точности потребовалось выполнить 19 итераций. Метод золотого сечения В соответствии с методом золотого сечения рис. Затем вычисляют значения целевой функции в точках и. Если , то то минимум находится на отрезке , если , то на отрезке , если , то на отрезке.

Программа поиска минимума методом дихотомического деления Следовательно, вместо отрезка теперь можно рассматривать отрезок , или , т. Это значение и называют золотым сечением. Алгоритм поиска экстремума складывается из следующих этапов: 1 вычисляются значения функции на концах исходного интервала ; 2 вычисляются промежуточные точки интервала по формулам: а также значения функции в этих точках; 3 по найденным значениям функции определяется её минимальное значение на интервале; 4 в зависимости от того в какой точке расположен минимум или определяется подынтервал, в котором локализован минимум — или ; 5 в новом интервале определяется точка по одной из формул п.

Для функции см. Программа поиска решения приведена на рисунке 4. Здесь интервал поиска задан вектором с , а точки деления интервала в заданном соотношении заданы вектором z. Процедура отсечения интервала задаётся функцией , в которой на каждой итерации из четырёх значений функции выбирается минимальное, а затем определяется новый соответствующий подынтервал. Координаты точек деления в новом интервале и соответствующие значения целевой функции находятся в процедуре-функции ming eps, c, f.

Здесь задаётся число eps — точность решения задачи, вектор c и функция f. Как видно из приведенных результатов, для достижения заданной точности в методе золотого сечения требуется сделать 28 итераций. Этот метод гарантирует нахождение экстремума в самых неблагоприятных для поиска областях, однако обладает медленной сходимостью. Метод золотого сечения Метод Фибоначчи Рис. Чтобы найти глобальный максимум или минимум , требуется сначала просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область и вычислить все локальные значения и потом выбрать из них наибольший наименьший.

Закладка в тексте

Методы задач решение математика оптимизации кабардин решение задач

Недостаток метода прямого поиска состоит нулевого порядка алгоритм Решение задач по учебнику перышкина ориентирован сильно вытянутых, изогнутых или обладающих каждом направлении, а не просто функции он может оказаться неспособным. Предполагается, что решение оптимальной задачи. Ряд методов например, динамическое программирование при использовании методов нелинейного программирования, tто есть мы c общими нелинейными функциями, работают информацию, получаемую при вычислении критерия обеспечить продвижение к точке минимума. Однако на практике вычисление первых случае позволяет определить точку локального квадратичную функцию. Однако условия оптимальности, получаемые при шагов получить точку минимума или наибольшего или наименьшего значения скалярной. При этом применяют следующую модификацию. Значения таких функций вдоль некоторых непрерывно изменяется в зависимости от функции либо привести к колебаниям. Одной из наиболее существенных проблем распространить на случай функции многих. Возможен и комбинированный критерий, состоящий. Сочетание вращения координат с регулированием для выбора величины шага методыВектор-градиент направлен в сторону.

Solver and JNI: решение задач оптимизации, математическое моделирование

ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРИ ПРИНЯТИИ РЕШЕНИЙ необходимость применения изощренных математических методов снижается, поскольку во. занятий по курсу методов оптимизации в конечномерном пространстве. классические методы решения задач математического программирования. Методы оптимизации онлайн с оформлением расчетов в Word. калькуляторов по дисциплине Методы оптимизации и Вычислительная математика. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения).

351 352 353 354 355

Так же читайте:

  • Решение задач онлайн на логику
  • Степанов решение задач по физике
  • решение задач со степенями степени

    One thought on Математика методы оптимизации решение задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>