Решение задач по методу коши

При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам.

Решение задач по методу коши решить задачи по реанимации

Задачи с кратким решением решение задач по методу коши

Множество переходных процессов в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Актуальность темы курсовой работы состоит в том, что ОДУ имеют аналитически сложное решение и составление программы, реализируещей численное решение облегчило бы эту задачу.

В курсовой работе решается задача разработки программы поиска решения системы дифференциальных уравнений методам Рунге-Кутта-Мерсона. Выбор метода решения системы дифференциальных уравнений объясняется тем, что метод Кутта-Мерсона сочетает хорошую точность и высокую скорость. Цель работы: составить программу для решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона на примере, проверить полученное решение в MathCad и проанализировать результаты.

Постановка задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши заключается в решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, представляемых в виде:. Решение системы 1 при заданных начальных условиях. Задача Коши сводиться к интегрированию дифференциальных уравнений. Порядок метода численного интегрирования при этом определяется и порядок метода решения. Метод Рунге-Кутта-Мерсона. Автоматическое изменение шага в ходе решения систем дифференциальных уравнений необходимо, если решение требуется получить с заданной точностью.

При высокой точности погрешность и решении в виде кривых с сильно различающейся крутизной автоматическое изменение шага обеспечивает уменьшение общего числа шагов в несколько раз, резко уменьшается вероятность числовой неустойчивости, даёт более равномерное расположение точек графика кривых решений при их выводе на печать. Данный метод обеспечивает приближённую оценку погрешностей на каждом шаге интегрирования. Погрешность интегрирования имеет порядок h 5.

Находим в последнем цикле значение 8 :. И погрешность. Проверяем выполнения условий. Если условие 10 не выполняется, то делим шаг h на 2 и повторяем вычисления. Если условие 11 не выполняется , шаг h увеличивается вдвое и вычисления повторяются. Алгоритм решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта-Мерсона.

В подпрограмме-процедуре задаём вид системы дифференциальных уравнений. В подпрограмме-функции задаём вид правой части уравнений. В последнем цикле находим решение системы дифференциальных уравнений по формуле 8 и погрешность по формуле 9. Проверка выполнение условий 10 и Вывести результаты вычислений в новом окне. Постановка задачи. Ставится задача составить программу решения системы дифференциальных уравнений на примере:. Начальные условия:. Требуется найти решение системы дифференциальных уравнений 12 с начальными условиями 13 методом Рунге-Кутта-Мерсона.

Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй - приближенное решение в этих узлах. По методу вариации произвольной постоянной заменим постоянную С на функцию C t и решим неоднородное уравнение:. Вывод: явный метод Эйлера - это численный метод 1-го порядка точности. Метод Рунге-Кутты - это метод 4-го порядка точности. Это означает, что при одном и том же значении шага, метод Рунге-Кутты даёт более точное значение.

Поэтому погрешности методов сильно на несколько порядков отличаются. В рассмотренном выше примере с помощью метода Рунге-Кутты было получено решение, которое совпадает с решением, полученным аналитическим путём. Здесь x t - смещение груза от положения равновесия, H - константа, характеризующая силу сопротивления среды, k -коэффициент упругости пружины, f t - внешняя сила. Промоделировать движение груза на временном отрезке [0,T] при заданных в индивидуальном варианте трех наборах I, II, III значений параметров задачи.

Для каждого набора по найденной таблице или графику решения задачи определить максимальное и минимальное значения функции x t и моменты времени, в которые эти значения достигаются. Предложить свой вариант задания параметров, при которых характер колебаний груза существенно отличается от рассмотренного ранее.

Для каждого варианта выбора параметров построить график найденного решения. Сравнить характер движения груза и дать интерпретацию полученного движения. Формирование вектора правой части системы ОДУ и вектора начальных условий для применения встроенной функции rkfixed:.

Набор параметров подобран таким образом, что затухающие колебания происходят подобно математическому маятнику - сопротивление среды останавливает со временем движение груза, происходящее по гармоническому закону. Вывод: дифференциальные уравнения второго порядка - часто используемый способ описания движения. Численное решение этих дифференциальных уравнений порой единственный способ нахождения закона движения.

Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера. Определить, для какой из задач явный метод неустойчив при данном шаге h. Какая из задач является жесткой? Составить программу-функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка с постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера.

Построить графики компонент полученного решения. Сравнить найденное значение шага. Объяснить различие поведения явного и неявного методов Эйлера при решении жесткой задачи. Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по явному методу Эйлера.

Описанная программа-функция возвращает таблицу решений, первый столбец которой - это значения аргумента в узлах равномерной сетки, а остальные столбцы - соответствующие значения компонент приближенного решения. Найдем собственные числа матриц. Следовательно, явный метод Эйлера неустойчив для решения системы, описанной матрицей В. Число жесткости системы gA мало т.

Число жесткости системы gB велико т. Опишем функцию нахождения решения системы ОДУ 1 порядка c постоянными коэффициентами по неявному методу Эйлера. В качестве параметров она принимает матрицу М системы, вектор начальных условий V o начало t o , конец отрезка интегрирования T и число узлов равномерной сетки N:. Для оценки результатов решения будем использовать встроенную функцию для решения жёстких систем stiffr.

Для её применения необходима матрица Якоби:. Вывод: явный метод Эйлера 1-го порядка точности дает приближённое решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами. При решении жестких систем ОДУ, метод может быть неустойчив при достаточно большом шаге вычислений. При уменьшении шага вычислений метод будет устойчив, но это требует дополнительных на некотором промежутке лишних вычислений. Устойчивое решение, получаемое при решении жёсткой системы уравнений неявным методом, требует в несколько десятков раз меньше итераций, чем решение, полученное по явному методу Эйлера.

При решении различных уравнений были изучены встроенные функции пакета MATHCAD , а так же запрограммированы пользовательские функции, позволяющие реализовать иные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а также обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В ходе работы были определены погрешности решений используемых методов, найдены способы увеличения точности получаемых результатов. Вычислительные методы для инженеров. Понятие о голоморфном решении задачи Коши.

Теорема Коши о существовании и единственности голоморфного решения задачи Коши. Дальнейшие итерации не приводят к повышению порядка точности по h ; B то же время иногда главный член погрешности уменьшается при переходе от к. Если такое уменьшение погрешности компенсирует возрастание вычислительных затрат на шаге, то оно целесообразно.

Можно предложить теоретически обоснованный критерий, позволяющий при малых h выбирать каждый раз наиболее целесообразное число итераций. Однако его использование требует очень большого объема дополнительных вычислений. Поэтому выбор между числом итераций, равным 1 или 2, обычно осуществляется на основе предшествующего опыта, вычислительного эксперимента или просто "волевым" образом.

Построим другую пару формул c погрешностью на шаге такого же порядка. Интеграл в правой части 2 заменим по формуле прямоугольников:. Этим соотношениям соответствует пара расчетных формул. Полученные методы относятся к семейству методов Рунге-Кутта, имеющих следующий вид. В процессе вычислений фиксированы некоторые числа. Рассмотрим вопрос о выборе параметров. Если f x , y - достаточно гладкая функция своих аргументов, то и - гладкие функции параметра h.

Предположим, что f x , y настолько гладкая, что существуют производные , а выбраны так, что. Кроме того, предположим, что существует некоторая гладкая функция , для которой соответствующее значение. Согласно формуле Тейлора выполняется равенство. Величина называется погрешностью метода на шаге, а s - порядком погрешности метода. Равенство выполняется для всех гладких функций f x , y лишь в случае. Этому значению соответствует метод Эйлера.

Для погрешности этого метода на шаге, согласно 8 получаем выражение. Таким образом, при всех f x , y , если выполнены три указанных выше соотношения 10 , 11 относительно четырех параметров. Задавая произвольно один из параметров, получим различные методы Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости по h. Например, при получаем , что соответствует паре расчетных формул 6. При получаем , что соответствует паре расчетных формул 7.

У формул одинакового порядка точности по h главные члены погрешности на шаге часто оказываются непропорциональными. Например, вследствие 8 , 9 главный член погрешности формулы 6 равен. Поэтому можно указать два уравнения таких, что для первого уравнения меньшую погрешность дает методом 6 , а для второго уравнениям метод 7.

В подобной ситуации рекомендации в пользу того или другого метода должны основываться на "волевом решении", принятом с учетом традиций и практики использования методов. Понятие практики вычислительной работы является довольно неопределенным. Число различных классов реально i встречающихся дифференциальных уравнений существенно превосходит число задач, на которых производится сравнение методов их численного решения, поэтому суждения "с позиций практики" не всегда объективны.

Однако несмотря на такую неопределенность, критерий практики часто несет в себе определенную положительную информацию, которая зачастую на данном этапе развития науки не может быть формализована или обоснована. Если исторически первый из методов рассматриваемого класса оказался приемлемым, то в дальнейшем пользователи привыкают к нему. Замена этого метода на другой, даже более эффективный метод требует определенных затрат времени на "привыкание" пользователей к новому методу а следовательно, и определенных психологических затрат.

Чтобы широкий круг пользователей согласился на подобную перестройку, необходимо существенное преимущество нового метода по какой-либо из характеристик. При дальнейшем рассмотрении для нас будет существенно, что погрешность метода на шаге имеет главный член, а именно справедливо представление вида.

Наметим основные этапы доказательства этого соотношения. Согласно формуле. Аналогично устанавливается, что величина равномерно ограничена при. Таким образом, соотношение 12 имеет место. Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля.

Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка.

Закладка в тексте

Метод Чебышева построения итераций высших. Построение итераций высших порядков с сайте Обратная связь Приложения для. Итерационные методы отыскания собственных значений. Общий вид: Уравнениеформула: еще вернемся в дальнейшем уже формулы имеет вид: 6 Распишем первые два шага:. Метод Хичкока выделения квадратного множителя. К вопросу выбора сетки мы нормированном пространстве их связь. Для краткости приведены не все. Отыскание собственных векторов матрицы. Учитывая замену, следует сравнивать столбцы трансцендентных уравнений 2. Итерационные методы решения алгебраических и.

Математика без Ху%!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.

Метод сеток для решения задачи Коши. Проведем два семейства параллельных прямых: т. е. покроем полуплоскость сеткой прямоугольников со. Пример 1: Найти приближённое решение задачи Коши методом Эйлера на заданном отрезке с шагом h = 0,1. Решение: Для начала, найдем точное. Второй недостаток его состоит в том, что здесь требуется проведение операции интегрирования. Пример 1. Найти решение задачи Коши методом.

449 450 451 452 453

Так же читайте:

  • Решение задач по сопромату кручение вала
  • Решение задач умф чудесенко
  • Реши задачи разными способами три бригады рабочих
  • Решение задач по динамике наклонная плоскость
  • Решения задач по механике 10 класс
  • решение всех задач по физике 10 класс

    One thought on Решение задач по методу коши

    • Юдин Василий Васильевич says:

      решение задач расстояния между скрещивающимися прямыми

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>