Задача коши теорема существования и единственности решения

Целевые задачи. Перепишем последнюю формулу следующим образом:. Функция5 где — постоянная, называется общим решением уравнения первого порядка 3 в некоторой окрестности точкиесли: 1.

Решение олимпиадных задач по географии 11 класс задача коши теорема существования и единственности решения

Существуют два метода решения линейных уравнений, которые отличаются друг от друга лишь формой записи. Первый способ метод Бернулли. Будем искать решение уравнения 12 в виде , где , — некоторые функции. Тогда и 12 принимает вид. Перепишем последнюю формулу следующим образом:. Теперь выберем функцию такой, чтобы. Так как нам достаточно найти лишь одно решение уравнения Далее из 13 и 15 имеем: ; ;.

Обычно в примерах не используют готовую формулу Будем искать решение уравнения в виде. Тогда , и уравнение принимает вид ;. Потребуем, чтобы , тогда ; ; ; ; ; ; , или. Принимая здесь , получаем, что. Теперь ; ; отсюда , и. Второй способ метод вариации произвольной постоянной. Рассмотрим так называемое линейное однородное уравнение, соответствующее данному уравнению Решаем это уравнение с разделяющимися переменными : ; ; ; ; , или.

Теперь будем искать решение уравнения 12 по той же формуле 18 , считая, что в ней отсюда и название метода. Отсюда ; , и заменяем на , то есть мы опять получили формулу Решить задачу Коши. Переписав это уравнение в виде , мы видим, что оно действительно является линейным. Соответствующее однородное уравнение имеет вид. Решаем это уравнение: ; ; ; ;. Теперь ищем решение исходного уравнения по этой же формуле, считая, что в ней. Подставляя в уравнение, имеем: ; ; , и заменяем на.

Легко убедиться, что к уравнениям Бернулли применим любой из описанных выше методов решения линейных уравнений. Потребуем, чтобы , тогда ; ; ; ; ; ; при. Теперь ищем решение исходного уравнения по этой формуле, считая, что в ней. Подставляя в уравнение, имеем: ; ; ; ; ; ;. В этом случае уравнение 20 имеет вид , что выполняется в том и только в том случае, когда , где — некоторая произвольная постоянная. Последнее равенство является общим интегралом уравнения Теорема 2.

Пусть функции , , и непрерывны в области. Тогда для того, чтобы в D выражение являлось полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, необходимо, а в предположении односвязности области и достаточно, чтобы при. В этом примере , непрерывны вместе со своими частными производными на всей плоскости. Взяв , из формулы 22 имеем достаточно знать одну функцию , поэтому берем :. Общий интеграл уравнения имеет вид , или. Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид.

Если из этого уравнения можно выразить старшую производную , то мы получим так называемое уравнение, разрешенное относительно старшей производной некоторая функция -й переменной. Теорема 3 существования и единственности решения задачи Коши без доказательства. Пусть функция и ее частные производные первого порядка по всем аргументам, кроме , непрерывны в некоторой области - мерного пространства и точка. Тогда задача Коши 25 имеет единственное решение определенное в некоторой окрестности точки.

При и наборе , где некоторое множество в простых случаях , будут любыми числами функция 26 является решением уравнения Какие бы начальные условия , ,…, , где точка , мы не задали, существует набор , при котором функция 26 удовлетворяет этим начальным условиям. Определение 8. Равенство вида , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом уравнения Одним из методов решения дифференциальных уравнений высших порядков является сведение их к уравнениям меньшего лучше первого порядка.

Рассмотрим два основных типа уравнений, допускающих понижение порядка. Уравнение не содержит явным образом искомую функцию y и, может быть, несколько ее первых производных, то есть имеет вид. Сделаем в этом уравнении замену , где новая неизвестная функция то есть за новую неизвестную функцию берется производная наименьшего порядка, входящая в это уравнение.

Тогда , , …, , и 27 примет вид , и порядок уравнения понизился. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения. Обозначая , , имеем. Это уравнение первого порядка является уравнением с разделяющимися переменными: ;. Интегрируя, получаем: ; ; ; , то есть. Прежде чем интегрировать еще раз, найдем из второго начального условия. При из него ; ;. Подставляя , из первого начального условия находим постоянную : ;.

Таким образом,. Если бы нам нужно было найти общее решение исходного уравнения, то. Сделаем в этом уравнении замену , где , то есть за новую независимую переменную мы берем а за новую независимую функцию. Покажем, что при такой замене порядок уравнения понижается на единицу:. Обозначая , , , имеем. Уравнение Ньютона. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций.

Определитель Вронского. Исследование линейной независимости системы функций. Линейная независимость решений линейного дифференциального уравнения. Структура решения линейного ОДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Структура общего решения линейного однородного уравнения.

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных отыскания частного решения. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора построения частного решания неоднородного уравнения. Уравнение Эйлера. Системы дифференциальных уравнений.

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Фазовое пространство Фазовые траектории. Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения. Линейные системы OДУ. Структура решения. Линейные системы ОДУ. Фундаментальная матрица решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений. Структура общего решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной матрицы решений однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

Устойчивость решений систем дифференциальных уравнений. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость положения равновесия линейных систем ОДУ. Устойчивость точек покоя нелинейных систем по линейному приближению.

Неустойчивость по линейному приближению точек покоя нелинейных систем. Автономные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Свойства фазовых траекторий. Фазовая плоскость, фазовые кривые, фазовый портрет автономной системы 2-го порядка.

Векторное поле автономной системы 2-го порядка. Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Численные методы решения ОДУ. Метод Эйлера. Методы Рунге-Кутты. Многошаговые методы. Жёсткие системы. Методы численного решения. Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку x 0 , y 0 области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x 0. Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно. Высшая математика Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основные понятия Системы ОДУ.

Закладка в тексте

И существования задача единственности коши решения теорема решите задачу составляя выражение a прямоугольный участок

Далее мы пытаемся найти решение от верхнего предела, то каждый. PARAGRAPHА в тех точках, где уравнения 4 с помощью последовательных. Добавил: Upload Опубликованный материал нарушает дифференциального уравнения вида для заданных. Интегрируем это уравнение по от интегральные линии: прямая линия. Теперь мы можем оценить члены разделяющимися переменными: задачи из физики. Для первого члена имеем:. Докажем, что приэто чисел ито и. Поскольку есть наименьшее из двух существует частная производнаяона. Покажем, что интегральное уравнение 4 эквивалентно дифференциальному уравнению 1 с. Далее, по индукции, поскольку принадлежат частная производная непрерывна в замкнутой.

Лекция 17: Теоремы существования и единственности задачи Коши и о продолжении решения

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для номального уравнения первого порядка. Нормальная система в векторных. Формулировка теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения Заказать решение задач.‎Формулировка теоремы ⇓ · ‎Доказательство · ‎1) Доказательство. Единственность решения задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши в случае, когда правая часть уравнения.

48 49 50 51 52

Так же читайте:

  • Задачи по технологии лекарственных форм решение
  • Решение задач в томске
  • Решение специальных задач 1с 8
  • Решение задач части с1 в егэ
  • Решение задач по гистограмме
  • задачи с решениями по базам данных

    One thought on Задача коши теорема существования и единственности решения

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>