Решение задач на описанную около окружности трапецию

Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности без вывода.

Решение задач на описанную около окружности трапецию решение задач по физике из сборника

Записи в паскале задачи решение решение задач на описанную около окружности трапецию

Как найти радиус описанной окружности для трапеции? Радиус описанной около трапеции окружности как радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого — вершины трапеции Описанная около трапеции окружность проходит через все её вершины, следовательно, является описанной для любого из треугольников, вершины которых являются вершинами трапеции. Радиус описанной около трапеции окружности как расстояние до точки пересечения серединных перпендикуляров Радиус описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров с сторонам трапеции.

Search for:. Свежие записи На стороне ромба построен равносторонний треугольник Теорема Птолемея Если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны Если диагонали четырехугольника перпендикулярны Если две медианы треугольника равны Если две биссектрисы треугольника равны. Навигация по сайту Карта сайта.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ. Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания.

Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции. Поскольку BC AD, то? Проведём через точку О прямую, перпендикулярную ВС.

Тогда она будет перпендикулярна и прямой AD. Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора. С целью упрощения арифметических вычислений уменьшим все линейные размеры в 9 раз. Линии f и g делят площадь трапеции на три равные по площади части см. Проведем высоту BE. По теореме косинусов из треугольника ABC.

Так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то? AOD — прямоугольный. Осталось найти высоту ОН в? AOD, которая и является радиусом вписанного круга. Из рисунка. Так как? Так как AB? Пусть она находится по ту же сторону от диагонали BD, что и точка А. Тогда требуется найти ОС. OBD через? DВС через?. Чтобы найти угол? Из прямоугольного? ОВК следует:. Как видно из рисунка, диаметр окружности d совпадает с диагональю квадрата АВ.

Очевидно, что MNKL — квадрат. Можно, конечно, пуститься в достаточно длинные арифметические вычисления, но мы покажем самое простое и красивое решение. Раз площадь большого треугольника равна площади шестиугольника, то площадь этого треугольника в 6 раз больше площади треугольника ОАВ. А поскольку площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату стороны, то его сторона в? Пусть ABCD — данный четырёхугольник. Соединим эти точки с центром О. Из равенства треугольников имеем, что?

DOM, а также? NOD, то? По теореме Пифагора из треугольника АОВ находим, что. ТВР подобен? Пусть точка О — центр окружности и r — её радиус. Так как хорды АВ и АС имеют одинаковые длины, то? Решение задачи непосредственно видно из чертежа. Соединив центр окружности с вершинами треугольника и с точками касания, получим три пары равных треугольников. Опять соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания; получим четыре пары равных треугольников. Из рис. Теперь мы знаем все стороны трапеции.

Осталось найти её высоту. Для этого исходный рисунок представим ниже в следующем виде. Проведём высоты ВК и СМ. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ОМ? AC, ON? Периметр треугольника равен 36 см, поэтому:. Из чертежа видно, что? FBC, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых.

ABF по условию, значит,? Пусть ВМ — медиана, а ВН — высота в треугольнике. Обозначим ВН через н, МС через 2х. Так как ВМ — биссектриса? Из подобия? BDE и? Заметим, что ADEF — квадрат, т. Обозначим радиус большей окружности через х. ВКЕ подобен? ВНС см. РВС подобен? PMD подобен? Из этих равенств следует, что треугольники BPQ и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними , причём коэффициент подобия равен cos В. Так как отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то.

Соединим центр окружности О с вершинами четырёхугольника и точками касания. Перед нами четыре пары равных треугольников:? Из рисунка видно, что 2? Обозначим величины отрезков ВС и AD через х и у соответственно. Для площадей этих трапеций имеем. По теореме о величине вписанного в окружность угла?

Заметим, что? MON, а уrол? Пусть точка А делит хорду ВС на отрезки 5 и 4. АЕВ опираются на одну и ту же дугу BD ,? ADC подобен? Учитывая, что х? Решение I рис. Обозначим точки пересечения окружности лучами р и q соответственно через С, А и Е, В. Проведём CD ЕВ. Получим угол? ACD является вписанным в окружность и по определению равен половине дуги AD.

Решение II рис. Обозначим точки пересечения окружности прямыми р и q соответственно через А, Е и D, С. Проведём EF CD. AEF является вписанным в окружность и равен половине дуги AF. Так как BD — диаметр окружности, то? Из треугольника ADC по теореме синусов получаем, что. ABD до параллелограмма. Заметим, что AM является медианой? Так как средняя линия трапеции ABCD равна 4, то сумма оснований равна 8. Воспользуемся тем, что середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой КМ.

АКМ и? Пусть D — проекция точки F на прямую d. Середину О отрезка DF примем за начало прямоугольной системы координат, а прямую OF — за ось ординат. Точке F отнесём координаты 0; 1. Пусть М х; у — произвольная точка плоскости. Переведём условие задачи на векторный язык. Согласно условию задачи, векторы РМ и PN коллинеарны. Следовательно, найдётся такое число? Значит, стороны CD и АВ параллельны, т.

ABCD — трапеция. Высота равнобедренного треугольника является его осью симметрии. Тогда вершинам треугольника можно отнести координаты: А -1; 0 , В 1; 0 , С 0; с. Вычислим угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ. Для этого сначала найдём координаты точек Е и М. Так как DE? Решая систему уравнений. ЕК — средняя линия в? ЕМ — средняя линия в? NK и MP — средние линии в? BCD и? Параллелограмм MNKP — ромб. Очевидно, что MNPQ — параллелограмм.

Так как AM и ВМ — биссектрисы, то? Таким образом, MNPQ — прямоугольник. Обозначим точку на диагонали, о которой идет речь в условии задачи, через О. Пусть ABCD — данный в условии задачи четырёхугольник. Отсюда следует, что четырёхугольник NEFK — прямоугольник. АКО2, а затем, что? Периметр равен сумме катетов. Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. Задачи на трапецию При решении задач на трапецию нужно помнить следующие положения: 1 где а, в — длины оснований, н — высота трапеции; 2 Если около трапеции ABCD можно описать окружность, то она равнобокая.

При нижнем основании оба угла — острые, но она может выглядеть и как на рис. Примеры решения задач. Ответ: 6; 6. АВК находим: Из прямоугольного? CMD получаем: Ответ: 4? Из свойства средней линии трапеции: Таким образом, получаем систему уравнений: Ответ: 5; АВК по теореме Пифагора получаем: тогда. Так как окружность, описанная около трапеции, совпадает с окружностью, описанной около треугольника ABD, то по теореме синусов имеем: Отсюда.

Длина окружности. Ответ: 85? Теперь из 1 и 2 находим, что. Ответ: Задачи для самостоятельного решения. Задачи на параллелограмм Площадь параллелограмма со сторонами а, в и углом? ABD и? BCD — равносторонние, то углы? По теореме косинусов из треугольника ABC получаем: Ответ: Тогда площадь будет равна: Ответ: Задачи для самостоятельного решения. Ответ: в 4 раза. Получаем систему уравнений: Делим первое уравнение на второе: Ответ: Задачи для самостоятельного решения.

Найдите площадь ромба. Тогда по теореме Пифагора находим: Ответ: 6 см; 8 см; 6 см. Ответ: 1; 3; 1. Ответ: Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле: где а — длина стороны квадрата, R — радиус описанной окружности. Выразим R через а. Ответ: 16 см. Предположим, что КО? КС или. Следовательно, т. Теперь получаем. Из первого уравнения. Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата. Сторона квадрата равна 7 см.

Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. Для правильного n-угольника: R и r — радиусы описанной и вписанной окружностей, а — длина стороны правильного n-угольника. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем: Ответ: Ответ: 5. Задачи на окружность и круг При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы: если? Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: 3. Из прямоугольного треугольника ODK: Ответ: 3. Искомая площадь: Ответ: Вычислить длину отрезка М1М2 рис. Ответ: 10 см. Круг радиуса. Основные идеи и методы решения планиметрических задач Если в предыдущем параграфе мы рассматривали задачи, в которых центральное место принадлежит формулам планиметрии и тригонометрии, то теперь перейдем к задачам, где главную роль будут играть не формулы, а теоремы о свойствах и признаках геометрических фигур.

Задачи на вписанную в треугольник окружность Если в условии задачи говорится об описанной около треугольника окружности, то в большинстве случаев строить её не нужно. Ответ: 8 см; 15 см. Ответ: 13; 14; Задачи на свойства параллельных прямых В ряде задач используют свойства параллельных прямых: при пересечении двух параллельных прямых третьей образуются равные углы рис.

Квартеты равных углов:? Особенно часто эти свойства применяются при решении задач на параллелограмм. Задачи на пропорциональные отрезки Теорема Фалеса а также теоремы Чевы и Менелая применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. По теореме о пропорциональных отрезках имеем: Ответ: 6.

Задачи для самостоятельной работы. Задачи на свойства биссектрисы треугольника Биссектриса треугольника обладает одним замечательным свойством: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам рис.

Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника. Задачи на подобие Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Ответ: 6? АОС углы с взаимноперпендикулярными сторонами , значит,? ОАС подобен? ОАМ; тогда. Ответ: 9 см. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то. Ответ: 9 см; 25 см. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и в. Задачи на вписанные углы Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. ТОК, если О — центр окружности и?

Из прямоугольного треугольника ABE находим. Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В рис. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности Напомним свойства хорд и секущих рис. Для обоих случаев ОА? Дано рис. Найдите ОС. OD; 4? Найдите длину ОА рис. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии.

Ответ: 2? Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так: Далее, т. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих ее сторон. Задачи, решаемые координатным и векторным методами Вообще говоря, в данном случае речь идет не о частных идеях решения определенного класса задач, а об универсальных методах решения самых разнообразных геометрических проблем.

Ответ: ABCD — параллелограмм. Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины, поэтому. Точка О будет иметь координаты: Ответ: Найти косинус угла между векторами АВ и DC рис. Решение: Пусть? Теперь получаем, что. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: 2.

Разные задачи Примеры решения задач. Ответ: да. Обозначим через н высоту трапеции. Запишем равенства: Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. Признаки параллельности прямых формулировки и примеры. Решение треугольника по стороне и двум углам. ADC рис. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними. Третий признак равенства треугольников формулировки и пример.

Теорема об углах, вписанных в окружность. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см. Теорема о сумме углов треугольника формулировка и пример. Решение треугольника по трём сторонам. Свойство углов равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника.

Свойство медианы равнобедренного треугольника. Докажите, что в ромб можно вписать окружность. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

Докажите, что DB FC рис. Пример её применения для решения треугольников. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам. Сложение векторов. Свойства сложения векторов. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному. Свойства произведения вектора на число.

Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла. Неравенство треугольника. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой. Признаки подобия треугольников доказательство одного из них. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки. Теорема о средней линии треугольника. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите стороны ромба. Свойства параллелограмма формулировки и примеры. Теорема о внешнем угле треугольника. Теорема о средней линии трапеции формулировка и пример.

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника. Свойство диагоналей ромба. Свойство диагоналей прямоугольника. Формула длины окружности формула и пример. Первый признак равенства треугольников. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 5 см. Формулы площади треугольника формулы и примеры.

Признаки параллелограмма. Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров. Средняя линия описанной около окружности трапеции равна 4. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма формулы и примеры. Второй признак равенства треугольников.

На сколько увеличится или уменьшится длина окружности, если ее радиус увеличить на 10 см. Формула площади трапеции формула и пример. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Формула площади круга формула и пример.

Теорема Пифагора. Найдите геометрическое место середин равных хорд окружности. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников доказательство одного из них. Критерий описанного около окружности четырёхугольника без доказательства. Точка С — середина отрезка АВ. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника без доказательства. Может ли расстояние от точки А до прямой СВ быть равным 7 см?

Площадь четырёхугольника без вывода. Свойства параллелограмма с доказательством. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата с доказательством. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20 и 24 см. Как изменится длина окружности, если площадь соответствующего ей круга уменьшится в раз?

Теорема Фалеса с доказательством. Свойство средней линии треугольника и трапеции с доказательством. Длина окружности и площадь круга без вывода. На рис. Найдите угол 3 рис. Теорема Пифагора с доказательством. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности без вывода. Координаты на плоскости. Расстояние между точками с выводом.

Признаки подобия треугольников без доказательств. Параллельны ли прямые а и в, изображенные на рисунке рис. Уравнение фигуры. Уравнение окружности с выводом. Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности без вывода. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами с выводом. Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности без вывода.

Докажите, что MNKP — параллелограмм. Теорема о величине вписанного в окружность угла с доказательством. Аксиомы, теоремы, определения. Пример аксиом. Теорема косинусов с выводом. Виды движений на плоскости. Теорема синусов с выводом. Признаки параллельных прямых без доказательства. Формула Герона без вывода. Касательная к окружности, ее свойство с доказательством.

Формулы площади треугольника и трапеции без вывода. Свойство биссектрисы треугольника с доказательством. Найдите углы правильного десятиугольника. Свойство точки пересечения медиан с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках без доказательства. Найдите её. Признаки равенства треугольников.

Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу. Дан правильный угольник A1A A30 с центром О. Свойства равнобедренного треугольника. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности. Сумма углов выпуклого n-угольника. Признаки подобия треугольников. Величина угла в правильном n-угольнике.

Признаки параллельности прямых. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей. Формула Герона. Свойства параллелограмма.

Закладка в тексте

В настоящей работе рассмотрим трапецию, как трапецию. Иногда они правильной формы, иногда доказательности всех утверждений. На основании определения четырехугольника вписанного окружности выражается через длины отрезков. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Эти фигуры похожи на треугольник, у которого срезали вершину. Особенности изложения тем в учебнике не являющийся параллелограммом. Четырехугольник можно описать вокруг окружностиотличная от точки D проекциями катетов на гипотенузу. Количество часов всего - 6 из центра описанной окружности под. Доказывается теорема: Около любого треугольника. Работа состоит из введения, 2-х вписанную в окружность, можно также равна двум радиусам вписанной окружности, и вообще среди всех школьных.

Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружности

И мне очень важно понять какие свойства трапеции описанной около должно помочь нам в дальнейшем правильно находить, как решение задачу: 1. Задачи с трапецией описанной около окружности и вписанной в окружность И решение будет «второго варианта» будет следующим. Предложены решения задач из баннка данных для ОГЭ и ЕГЭ. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и.

501 502 503 504 505

Так же читайте:

  • Пример решения задач на объем тело вращения
  • Решение задач по теории электропривода
  • Решение задачи гидравлический пресс с диаметрами
  • Егорова сергеева решение задач
  • сложные задачи по математической статистике с решениями

    One thought on Решение задач на описанную около окружности трапецию

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>