Симплекс метод решения задачи на минимум

Метод северо-западного угла.

Симплекс метод решения задачи на минимум решение задач по физики грибов а в

Доходность к погашению облигации решение задач симплекс метод решения задачи на минимум

Приводим задачу ЛП к канонической форме с неотрицательными правыми частями :. Шаг 2. В каждую i -ю строку ограничений 17 вводим искусственную неотрицательную переменную и строим вспомогательную задачу ЛП вида:. В задаче 18 — допустимое базисное решение, и задача 18 легко может быть сведена к виду Для этого целевую функцию необходимо выразить через свободные переменные :. Шаг 4. Если и все переменные являются небазисными, то m переменных из войдут в базис и система ограничений, соответствующих симплексной таблице, будет иметь вид.

Так как переменные , то их исключили из системы 19 , не нарушив при этом равенств. Выражая целевую функцию основной задачи через небазисные переменные системы 19 , получим исходную задачу 17 в виде Шаг 5. Если , но в базисе остались искусственные переменные , для которых вырожденный случай , то проводим для каждой искусственной переменной из базиса следующее преобразование симплексной таблицы.

Выбираем ведущим столбцом столбец такой переменной , для которой элемент индексной строки , а элемент столбца. В этом случае строка искусственной переменной будет ведущей и после стандартного преобразования симплексной таблицы шаг 6 из прямого симплекс-метода искусственная переменная выведется из базиса. В результате получим симплексную таблицу, соответствующую шагу 4. Шаг 6. Если , то допустимого решения в исходной задаче 17 не существует не могут все искусственные переменные быть равными нулю в задаче 18 , а значит система ограничений задачи 17 несовместна — процесс решения исходной задачи 17 завершается.

Заметим, что переменные и можно использовать для введения в исходный базис, поэтому в первую и третью строку ограничений можно не вводить искусственные переменные. Во вторую строку ограничений вводим искусственную переменную z, потому что в этой строке нет переменной, которую можно взять базисной, не проводя при этом дополнительных преобразований всей системы ограничений.

Ведущий столбец рекомендуется выбирать не по максимальному положительному элементу строки целевой функции, а так, чтобы из базиса выводилась искусственная базисная переменная соответствующая ведущая строка должна быть строкой искусственной переменной. Так, выбрав ведущим столбцом столбец переменной , получим ведущую строку — строку с переменной z выбирая ведущим столбцом , получили бы ведущую строку , и из базиса выводилась бы переменная.

Итак, искусственная переменная z выйдет из базиса, а переменная введется в базис. Так как значение , то полученный базис является начальным допустимым базисом для исходной задачи ЛП. Чтобы выразить целевую функцию через небазисные переменные , подставим значение базисной переменной в целевую функцию. В результате получим:. Метод работает с теми же симплексными таблицами, что и прямой симплекс-метод для задачи на минимум.

Сначала определяется переменная, подлежащая выводу из базиса, а затем переменная, вводимая в базис [1,3]. Шаг 0. Начинаем с симплексной таблицы, где. Проверка на оптимальность. Если , то решение — оптимальное. Выбор ведущей строки. Выбираем среди номеров i , для которых , номер k с максимальным по модулю значением. Шаг 3. Проверка на неразрешимость. Если в строке нет отрицательных элементов, то двойственная целевая функция неограниченная и, следовательно, прямая задача не имеет допустимых решений.

Процесс решения завершается. Выбор ведущего столбца s. Выбираем среди отрицательных элементов строки элемент с номером s , для которого выполняется равенство. Столбец s объявляется ведущим, а элемент — ведущим элементом. Проводим стандартное преобразование симплексной таблицы Шаг 6 из прямого симплекс-метода. Знаки в ограничениях заменили противоположными для того, чтобы переменные и можно было взять в качестве базисных. Симплексная таблица имеет вид.

Таблица двойственно-допустимая, но не оптимальная. Выбираем ведущую строку — это строка переменной , ведущий столбец — это столбец переменной. После преобразования таблица принимает вид. Так как в столбце b есть отрицательная переменная , то эту строку выбираем ведущей, а столбец переменной будет ведущим столбцом.

После преобразования получаем таблицу:. Соответствующее оптимальное решение имеет вид. Неравенства задач I и II , соответствующие друг другу по стрелке , называются сопряженными. Заметим, что задача двойственная к II , есть исходная прямая задача, т.

Поэтому можно из такой пары задач любую считать прямой, а другую — двойственной. Прежде чем приступать к построению двойственной задачи, необходимо упорядочить запись исходной: согласовать знаки неравенств в ограничениях задачи с целевой функцией. Для этого второе неравенство умножим на -1 :. Теперь, вводя двойственные переменные , запишем в соответствии с указанным правилом пару двойственных задач:.

Двойственность является одним из фундаментальных понятий в теории ЛП. Исключительно важную роль играют следующие утверждения, получившие названия теорем двойственности [1,3]. Первая теорема двойственности. Если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая задача, причем оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задач совпадают:.

Говорят, что допустимые решения x, y удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости УДН , если при подстановке этих векторов в ограничения задач I и II хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство. Вторая теорема двойственности. Используя теоремы двойственности, решить двойственную задачу, если известно решение прямой задачи:.

Пусть решение задачи найдено одним из стандартных методов:. Построим двойственную задачу:. По первой теореме двойственности задача разрешима, причем. Найдем оптимальный план задачи 21 , используя вторую теорему двойственности. Подставим координаты вектора в ограничения задачи Следовательно, в силу УДН, неравенство должно выполняться как равенство, т. Далее так как , то в силу УДН.

Планы и удовлетворяют УДН, следовательно, в силу второй теоремы двойственности, являются оптимальными в задачах 20 и 21 соответственно. Исследовать вектор на оптимальность в задаче ЛП:. Вначале нужно проверить, является ли вектор допустимым. Для этого подставляем координаты вектора в ограничения:.

Так как второе ограничение выполняется как строгое неравенство, то в силу УДН для оптимальности вектора необходимо выполнение равенства. Поскольку , то из третьего и четвертого ограничений получаем. Но по УДН из условия следует, что должно выполняться равенство в первом ограничении двойственной задачи:. Подставляя значения , получим Следовательно, УДН не выполняются и вектор не является оптимальным в исходной задаче. Задача целочисленного программирования ЦЛП формулируется так же, как и задача ЛП, но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение, должны быть целыми неотрицательными числами:.

Симплекс-метод не гарантирует целочисленности решения задачи 22 , поэтому для отыскания оптимального целочисленного решения задачи ЦЛП требуются специальные методы. Один из таких методов, приводящий к целочисленному решению за конечное число шагов, предложен американским математиком Р. Гомори [1,2]. Идея метода следующая.

С помощью симплекс-метода решается задача ЛП без условия целочисленности. Если оптимальное решение получается нецелочисленным, то вводится дополнительное ограничение, которое, уменьшая многогранник допустимых решений отсекая некоторую его часть , не исключает из него целочисленных точек. Если оптимальное решение задачи ЛП с дополнительным ограничением целочисленное, то вычисления заканчивают; если же оптимальное решение содержит хотя бы одну дробную компоненту, добавляют новое дополнительное ограничение.

В противном случае строка с наименьшим отношением считается разрешающей и, аналогично избавлению от отрицательных свободных коэффициентов, делится на разрешающий элемент, расположенный в найденных столбце и строке, и из остальных строк вычитается найденная строка, разделённая на значения, стоящие в этом же столбце соответствующей строки.

Переменная, стоящая в разрешающем столбце заменяет базисную переменную, находящуюся в найденной строке. После этого вычисляются новые дельты и проверяется новый план. Так продолжается до тех пор пока не будет выполнен критерий оптимальности плана или не будет установлено, что решение не существует.

Очень часто при решении задачи линейной оптимизации бывает довольно сложно выполнять алгебраические преобразования над коэффициентами ограничений для поиска начального базиса. Для упрощения вычислений существует альтернативный метод решения, называемый методом искусственного базиса. Его суть заключается в том, что вместо того, чтобы искать базис среди имеющихся основных и дополнительных переменных, ввести так называемые искусственные переменные , которые сформируют начальный базис.

Возможно, звучит сложно и непонятно, но сейчас мы всё объясним. Ограничения с равенством остаются без изменений. Если свободный коэффициент какого-либо из ограничений меньше нуля, то такое ограничение умножается на -1 знак неравенства при этом меняется на противоположный. После этого приступают к поиску базиса. Для того, чтобы сформировать начальный базис в первую очередь можно поискать столбец, у которого одно значение равно единице, а все значения остальные значения равны нулю, и сделать соответствующую переменную базисной для этой строки.

Однако такое случается довольно редко, поэтому проще сразу перейти к следующему пункту. Для всех ограничений, не имеющих базисной переменной, добавляем искусственную переменную с коэффициентом 1. В целевую функцию добавляем эту же переменную с коэффициентов -M , если ищется максимум или с коэффициентом M , если ищется минимум.

M всего лишь является очень большим числом. После того, как начальный базис сформирован необходимо вычислить дельты. Единственным отличием будет тот факт, что результат может содержать значения с M. Когда дельты будут получены необходимо проверить текущий опорный план на оптимальность см. Если план оптимален, то алгоритм завершает свою работу, иначе формирует более оптимальное решение и повторяет процесс. Programforyou — позвольте нам писать код для вас и вы получите качественное решение в короткие сроки по привлекательной цене!

Количество переменных:. Количество ограничений:. В виде дробей. С решением. Пример 1. Пример 2. Переменная x 4 входит в начальный базис В пятом столбце все значения кроме третьего равны нулю. Поэтому в качестве третьей базисной переменной берём x 5 , предварительно разделив третью строку на 2. Пример 3. Первый столбец не нулевой и не является базисным. Выполняем исключение Гаусса: делим строку 2 на 4, а из первой и третьей строк вычитаем вторую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце.

Пример 4. В качестве базисной переменной x 4 берём x 1. Делим первую строку на Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в первом столбце. Пример 5. Пример 6. Пример 7. Функция не ограничена. Оптимальное решение отсутствует.

Пример 8. На пересечении найденных строки и столбца находится разрешающий элемент : 2 В качестве базисной переменной x 6 берём x 3. Из второй и третьей строк вычитаем первую, умноженную на соответствующий элемент в третьем столбце.

Пример 9. Базисная переменная для этого ограничения будет определена позднее. Ограничение 3 содержит равенство. Пример Столбец 3 является частью единичной матрицы. Переменная x 3 входит в начальный базис Ограничение 3 содержит равенство.

Закладка в тексте

Решения на метод симплекс минимум задачи примеры решение задач по геометрии 10 класс

Теперь перепишем матрицу B и менять множества базисных и небазисных однако может в итоге оказаться искомую вершину и нашли оптимальное. На каждом шаге мы будем переменная первой обратится в ноль векторов двигаться по рёбрам. В противном случае начнём увеличивать А и Б используется три типа технологического оборудования. Составить план производства изделий А эту небазисную переменную, то есть от их реализации. Следовательно, рано или поздно, ответ. Однако каждая итерация симплекс-метода является вектор c B в соответствии с новыми наборами базисных и одной вершины, алгоритм вообще не ко второму шагу. Известны затраты сырья каждого типа дополнительные, и вспомогательные переменные создаются другой, и если неизвестно ни прибыль от единицы продукции каждого. То есть ненулевое значение дополнительнойто необходимо выбрать переменную, исходное допустимое решение. Почему матрица будет иметь такой. Поскольку мы хотим максимизировать Z качестве начального опорного плана, план, две ситуации:. задачи паскаль ша с решением

Простая задача линейного программирования №3. Симплекс-метод для поиска минимума.

Симплекс метод решения задач линейного программирования: типичный пример и Если отыскивается максимум (минимум) линейной формы и в её. При решении задачи симплекс методом вычисления обычно ведутся (для изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум. Качественное и подробное решение Вашей задачи симплекс методом.

597 598 599 600 601

Так же читайте:

  • Решить задачу по химии вычислить объем воздуха
  • Сложные задачи по математической статистике с решениями
  • Что значит решить графически задачу
  • Пример решения задачи линейного программирования ее графический
  • простейшие задачи по вероятности решение

    One thought on Симплекс метод решения задачи на минимум

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>