Методы решения задач на взвешивание

Положим сначала на каждую чашу по 50 монет. Тогда борта нашего стола будут символизировать имеющиеся у нас сосуды, а длины бортов будут соответствовать в абсолютном выражении емкости сосудов. Сравните две группы — бракованный шарик окажется в той группе, что потяжелее.

Методы решения задач на взвешивание задачи и решения на равноускоренное движение

Формула байеса теория вероятности решение задач методы решения задач на взвешивание

Но многие люди, исписав несколько листов бумаги, сдаются. На решение этой задачи у шестилетнего ребенка уходит обычно не больше 20 секунд. А вот неподготовленных взрослых она часто вводит в ступор. Так какое же число скрыто под машиной? Гений находит решение за 10 секунд. Билл Гейтс — за 20 секунд.

Выпускник Гарварда Harvard University — за 40 секунд. Самодержавный правитель одного острова хотел воспрепятствовать тому, чтобы на острове поселились пришельцы. Желая соблюсти видимость справедливости, он издал распоряжение, согласно которому всякий, желающий поселиться на острове должен, хорошо поразмыслив, высказать любое утверждение, причем после предварительного предупреждения, что от содержания этого утверждения зависит его жизнь.

Может ли пришелец стать жителем острова? Согласно договоренности, порядок утверждения нового проекта, в разработке которого участвуют учреждения А, Б, В, таков: если в утверждении принимают сначала участие А и Б, то должно подключиться к участию и учреждение В. Если утверждение происходит сначала в учреждениях Б и В, присоединяется и учреждение А. Спрашивается: возможны ли такие случаи при утверждении проекта, когда принимали бы в нем участие только учреждения А и В, между тем, как участие учреждения Б не было бы необходимо при сохранении договоренности о порядке утверждения проектов?

На острове живут два племени: молодцы. Которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путешественник встретил островитянина, спросил его, кто он такой, и когда услышал, что он из племени молодцов, нанял его в проводники. Они пошли и увидели вдали другого островитянина, и путешественник послал своего проводника спросить его, к какому племени он принадлежит.

Проводник вернулся и сказал, что тот утверждает, что он из племени молодцов. Спрашивается: был проводник молодцом или лгуном? Перед судом стоят три человека, из которых каждый может быть либо аборигеном, либо пришельцем. Судья знает, что аборигены всегда отвечают на вопросы правдиво, а пришельцы всегда лгут.

Однако судья не знает, кто из них абориген, а кто - пришелец. Он спрашивает первого, но не понимает его ответа. Поэтому он спрашивает сначала второго, а потом третьего о том, что ответил первый. Второй говорит, что первый говорил, что он абориген. Третий говорит, что первый назвал себя пришельцем.

Кем были второй и третий подсудимые? Жук отправился в путешествие. Он ползет по ленте, длина которой 90 сантиметров. На другом конце ленты, в двух сантиметрах от конца, - цветок. Сколько сантиметров придется ползти жуку до цветка: 88 или 92 при условии, что ползает он все время по одной стороне и лишь в конце может через торец ленты перебраться на другую сторону? Марина долго выбирала, какой кувшинчик купить. Наконец выбрала. Продавщица уложила покупку в коробку. Что купила Марина? Сколько кувшинов продавщица поставила на полки, на каких они стояли раньше?

Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш? Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем граф 1 рис. Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в короб может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные.

Зеленый карандаш лежит в синей коробке. Зеленый соединяем с синей сплошной линией. Красный не лежит в желтой. Проводим пунктирную линию. Получаем, что красный лежит в зеленой. Проведем сплошную линию. Из рисунка видно, что желтый может лежать в красной коробке.

Других вариантов для него нет. Синему остается желтая коробка. Получается граф 2 рис. Если мы построим графы для задач, получатся те же самые графы. Возникает вопрос: так ли уж нужны были графы? Разве нельзя прийти к решению чисто логическим путем? Да, можно. Но графы придали условиям наглядность, упростили решение и выявили сходство задач, превратив три задачи в одну, а это не так уж мало.

Решение логических задач методом таблиц. Основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений. Испытанный способ их решения — составление таблиц, называемых логическими квадратами.

Элементы первого множества записываем в строках, элементы второго — в столбцы. После формирования шапки таблицы заполняются связи между объектами и их свойствами: плюсами отмечаются свойства присущие объекту, а минусами — свойства не характерные для объекта.

Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. У них разные профессии: маляр, мельник, парикмахер, почтальон, плотник. Но я точно знаю, что Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти, а Иванов и Гришин давно собираются посетить мельницу, где работает их товарищ. Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, а Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг.

Почтальон же предпочитает бриться дома. Помогите мне установить профессию каждого из друзей. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого товарища одна фамилия и одна профессия и у всех разные. Трудно удержать в памяти все условия задачи при рассуждении, поэтому применяем метод таблиц.

Строим таблицу из 5 строк и из 5 столбцов. Фамилии записываем в строки, профессии — в столбцы. Начертив таблицу таблица 1. Петров и Гришин никогда не держали малярной кисти, значит Петров и Гришин не маляры. Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, где работает их товарищ, значит Иванов и Гришин не мельники.

Петров и Иванов живут в одном доме с почтальоном, значит Петров и Иванов не почтальоны. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром, значит Иванов и Петров не плотники и не маляры. Гришин и Веселов по субботам встречаются в парикмахерской, где работает их друг, значит Гришин и Веселов не парикмахеры.

Почтальон предпочитает бриться дома, он не ходит в парикмахерскую значит почтальон не Гришин и не Веселов. Все условия задачи внесены. Смотрим внимательно на таблицу. Далее ответ получается автоматически из таблицы. В ходе рассуждения все в голове удержать сложно, а с помощью таблицы легко и просто. Таблица 1. Решение логических задач методом кругов Эйлера. Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условие задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой для наглядного представления можно изобразить отношения между подмножествами. Для решения задач Эйлер предложил изображать разные группы объектов с помощью кругов. Одним большим кругом изображают множество всех объектов или субъектов условия задачи всех учеников, все деревья и т. Внутри этого круга размещают меньшие круги — подмножества, изображающие подгруппы объектов, характеризующиеся определенными свойствами отличники и ударники, мальчики и девочки и т.

Круги подмножества могут пересекаться друг с другом, если объекты, входящие в них, могут обладать соответствующими свойствами одновременно девочки отличницы. После изображения всех кругов — подмножеств из условия задачи на схему переносятся все числовые значения, отображающие размеры этих подмножеств, то есть количество объектов, входящих в эти подмножества, либо их пересечения. Алгоритм для решения задач с помощью кругов Эйлера:. Читаем условие задачи.

Выполняем рисунок, изображая множества в виде кругов. Записываем данные в круги, сначала внесем условие, которое содержит больше свойств. Анализируем, рассуждаем, рассчитываем, записываем результаты в части круга. Ищем ответ на вопрос задачи. Покажу применение этого метода на самой распространенной задаче о туристах. Из туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским — 28, французским — Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским , немецким и французским — 5, всеми тремя языками — 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком? Обозначим кругом тех, кто знает английский - 28, другим кругом — тех, кто знает французский - 42, и третьим кругом — тех, кто знают немецкий — Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части трех кругов вписываем число 3. Дальнейшие расчеты не представляют особого труда. Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.

Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5. Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. В общую часть немецкого и французского кругов вписываем 2. Дальше легко посчитать , сколько человек владеют только одним из языков.

Изображая таким образом условие задачи рис. И главное, все сразу становится понятно. Можно потратить много времени, а можно нарисовать вот такую простую схему, которая сразу расставит по местам. Ответим на вопрос задачи. По условию задачи всего туристов.

С помощью кругов Эйлера можно решать не только математические задачи. Пример задачи из жизни, которую я нашел в литературе. Те варианты, которые окажутся на пересечении всех трех кругов рис. Решение логических задач методом математического бильярда. Я приведу ещё один изящный метод решения логических задач, а именно, задач на переливание, это метод математического бильярда. Способ бильярда следует из теории траекторий. Для решения задачи необходимо нарисовать бильярдный стол в виде параллелограмма.

Тогда борта нашего стола будут символизировать имеющиеся у нас сосуды, а длины бортов будут соответствовать в абсолютном выражении емкости сосудов. Для удобства нанесем вдоль бортов координатную сетку через равные целочисленные интервалы — это объемы жидкости, получаемые при переливании. Первоначально запустим шарик вдоль одного из бортов нашего стола. Движение шарика вдоль борта — это изменение расстояния по одной координате — символизирует наполнение соответствующего сосуда жидкостью, при этом количество жидкости во втором сосуде не изменяется — вторая координата шарика не меняется.

При достижении борта шарик отскакивает от смежного бортика и начинает двигаться обратно, но при этом изменяются уже обе его координаты: первая уменьшается, а вторая увеличивается - это движение символизирует переливание жидкости из первого сосуда во второй. Прослеживая всю траекторию движения и записывая значения в точках соударения в отдельную таблицу, мы зафиксируем все варианты объемов жидкости, получаемых при её переливании с помощью данных сосудов.

Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение: В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц.

По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали - в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников рис. Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение.

При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Таблица 2. Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы табл. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды.

Все 8 переливаний изображены схематически в таблице 2. Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.

Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким. Дальше повторяем это для группы монет, среди которых находится ФМ. ФМ в условии может быть тяжелее настоящей, в этом случае рассуждаем также, только ФМ монета будет на той чаше, которая перевесила. Рассмотрим задачу с гирями, где также можно применить это правило. Как найти ее за 2 взвешивания? Найдем две различные тройки гирь, одинаковые по весу.

Рассуждая также, найдем группу с испорченной гирей. Затем можно найти испорченную гирьку, добавив заведомо настоящие. Следующая задача отличается тем, что заранее неизвестно —легче или тяжелее ФМ чем настоящая. Как найти ее за два взвешивания и определить, легче она или тяжелее настоящей? В этой задаче 6 вариантов ответа каждая из трех монет может быть либо легче, либо тяжелее настоящей.

Ответ: да, можно, при этом наименьшее количество взвешиваний равно 2. Одна из них дефектная — более легкая или более тяжелая. Можно ли за два взвешивания найти эту гирю и определить, легче она или тяжелее настоящей? Здесь 8 вариантов ответа. Обобщение 2. Пусть имеется К монет и одна из них фальшивая. За какое наименьшее количество взвешиваний можно определить ФМ и легче она или тяжелее?

Сначала надо узнать количество вариантов ответов. Затем определим количество взвешиваний. Делим монеты на три группы. Если К не делится на 3, то либо К-1 делится на 3, тогда на весы кладем по К-1 :3 монет и останется К-1 :3 монет и еще 1 монета. Либо К-2 делится на 3, тогда на весы кладем по К-2 :3 монет и останется К-2 :3 монет и еще 2 монеты. Взвешивая первую и вторую группы, а потом вторую и третью, Делаем вывод, в какой группе находится ФМ.

Если весы оказались в обоих случаях в равновесии, то ФМ в отложенных монетах и тогда, соответственно количеству отложенных монет, за одно или два взвешивания мы найдем ФМ и легче или тяжелее она настоящей сравнивая их с настоящими монетами. Далее, если ФМ не оказалась в отложенных монетах, то мы уже можем определить, легче или тяжелее она настоящей. И затем действуем по алгоритму 1. Зная, тяжелее или легче ФМ настоящей, мы можем воспользоваться алгоритмом1, описанным в обобщении 1.

Как видим, здесь деление на три по возможности равные части. За какое наименьшее число взвешиваний на весах без гирь можно найти фальшивую монету? Если при первом взвешивании весы не оказались в равновесии, то фальшивая - в какой—то из чаш на весах. Сравниваем первую группу монет с настоящими из третьей и делаем вывод. Алгоритм 1. Вообще, пусть число монет k удовлетворяет неравенству и среди них имеется одна фальшивая, о которой известно, легче она или тяжелее, чем настоящие.

Тогда наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь, необходимых для нахождения фальшивой монеты, равно n. Алгоритм 2. Во 2 взвешивании на весы кладем вторую и третью группы монет. В остальных взвешиваем 1 и 2 группы монет. Если в первом либо во втором случаях весы не были в равновесии, то можно определить группу монет, содержащих ФМ, а также сделать вывод о том, легче или тяжелее она, чем настоящая монета.

Далее действуем по алгоритму 1. Вообще, пусть число монет k удовлетворяет неравенству При доказательстве данного и среди них имеется одна фальшивая, о которой неизвестно, легче она или тяжелее, чем настоящие. Если в 1 и 2 взвешиваниях весы были в равновесии, то ФМ среди оставшихся одной или двух. Если осталась 1 монета, то она ФМ и взвешивая ее с настоящей, узнаем, легче или тяжелее она, чем настоящая монета.

Если осталось 2, то взвешивая их между собой, а затем одну из них с настоящей, отвечаем на вопрос задачи. Гипотеза подтвердилась. Мы описали алгоритмы для определения ФМ за наименьшее количество взвешиваний в случае, если известно, что ФМ тяжелее или легче чем настоящая алгоритм 1 и в случае, если это неизвестно алгоритм 2.

Описание: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:. Таким образом, количество столбцов кроме первого показывает количество необходимых переливаний. Эти же способы словесный и табличный использовались и при решении задач на взвешивание. Однако мы обнаружили еще один интересный способ, которым можно решать такие задачи.

Это метод математического бильярда. Для каждого случая предлагалось строить бильярдный стол особой конструкции из равносторонних треугольников, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке тогда задача имеет решение , либо не ударяется тогда считается, что задача решения не имеет.

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой — 3 ведра кваса.

Закладка в тексте

На взвешивание решения задач методы конспект урока первый закон термодинамики решение задач

Вы взвешиваете 6 vs 6. Эта формула показывает важную зависимость одним из видов графов. Решение автора я не считаю - х годов эти задачи выражается целым числом килограммов от. Задача КоляБоря, Вова Первый тип задач из этого 1, 2где одна два мальчика не делили между верность маркировки на гирях наиболее. Вся жизнь на нём протекает. Координаты этого острова вы найдёте не учел, что неизвестно, легче. Loki 9 апреля в 0. Дано : 12 14 монет. Через сколько дней они встретятся?PARAGRAPH. Я пока знаю только одно решение, мое.

задачи на взвешивание

Объект исследования – решение задач на взвешивание. несколько различных методов решения, и многовариантные задачи. Задачи на взвешиваниеЗадачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от. Задачи на переливание удобно решать с помощью скрипта, написанного не про взвешивания, но принцип ее решения такой же, как и у других задач.

825 826 827 828 829

Так же читайте:

  • Задача на совместную работу 6 класс с решением
  • Решение задач дорф современное
  • Решение и задачи по математике 3 класс
  • Задачи на решение вписанных углов
  • решение комбинаторных задач с сочетанием

    One thought on Методы решения задач на взвешивание

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>