Решения задачи стефана

Сибирский математический журнал Июль август,

Решения задачи стефана алгоритм решения юридических задач

Как решить задачу с масштабом 4 класс решения задачи стефана

Фрязинова, J. Cannon, J. Crank, К. Hoffmann, A. Fasano, М Primicerio, A. Friedman, Е. Magenes, A. Обзор литературы можно найти в [21, 34, 38, 42]. Новой областью приложения задач Стефанг является финансовая математика, в которой моделирование движения финансовых потоков приводит к краевым задачам для параболических уравнений со свободными границами А.

Рассмотрены дифференциально разностные аналоги этих задач для метода прямых Рота и метода выпрямления фронтов, которые одновременно с доказательством корректности дают и конструктивный способ решения. Гольдман [50] в связи с рассмотрением дифференциально-разностных краевых задач, представляют собой аналоги непрерывных классов Гельдера для случая дискретных по t и непрерывных по х функций.

При выводе оценок в этих классах теоремы 4. Чилиберто [35] для линейных параболических уравнений. Установленные в теоремах 4. Тем самым они позволяют использовать метод Ротэ для доказательства окончательных результатов, по классической разрешимости краевых задач, снимая дополнительные ограничения, связанные с применением метода Ротэ в работах O. Они аналогичны результатам, полученным O. Ладыженской и др.

Будака, Ф. Васильева и А. Успенского, В. Меламеда и др. В частности, подход к построению классического решения в теореме 4. Это позволяет использовать результаты теорем 4. В заключение автор с чувством глубокой благодарности вспоминает Б. Будака, под научным руководством которого автор начинала свое исследование обратных задач Стефана. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. Некоторые обратные задачи теплопроводности. Некорректные задачи с априорной информацией.

МГУ, серия Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. Численные методы решения некорректных задач.

Pura Appl. Anal, and Optimiz. New York, Begell House, Inc, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, М,: Изд-во Моск. Методы и алгоритмы. Об определении неизвестных коэффициентов в квазилинейной задаче Стефана. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. Math, am Modeling.

New York: Plenum Publishing Corporation, Изд-во МАИ, Стефана при неизвестном фронте фазового перехода. Определение граничных режимов для непрерывного литья слитков. Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Такие задачи возникают при изучении многих нелинейных теплофизических, диффузионных и других процессов в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов обработки материалов и современных образцов техники.

Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования сложных нестационарных нелинейных процессов с фазовыми переходами. В диссертации с единых позиций рассматриваются граничные и коэффициентные обратные задачи, состоящие в определении граничных функций и правой части уравнения для проблемы Стефана при наличии того или иного вида информации о решении прямой задачи.

Значительная трудоемкость решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности, которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно погрешностей входных данных, требует разработки специальных регуля-ризирующих методов и вычислительных алгоритмов. Оснополагающие принципы регуляризации некорректно поставленных задач заложены в работах А.

Тихонова [, , , ], В. Иванова [58] и М. Лаврентьева [65] см. Среди других авторов, внесших существенный вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач и в построение конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить В. Васина, В.

Ильинского, A. Яголу, D. Библиографию можно найти, например, в [6, 26, 70, 76, 82, , , , , , , , ]. Целый ряд исследований, посвященный некорректным обратным задачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А. Тихонова, М. Прилепко, В. Cannon, К. Hoffmann, J. Lions и с созданными ими научными школами.

Характерной чертой обратных задач является требование определить по некоторой дополнительной информации коэффициенты уравнения, начальные или граничные функции, считающиеся заданными в классической постановке задачи обычно называемой "прямой задачей".

Не имея, к сожалению, возможности из-за обширности списка работ перечислить их, ограничимся ссылками на работы [60, 66, 70, 71, 94, 99, , , ] как на наиболее близкие к теме диссертации. Одно из ведущих направлений исследований связано с обратными задачами для параболических уравнений.

Алифанова [3, 4, ], Н. Безнощенко [8], П. Вабищевича [95], В. Гласко [30], A. Денисова [55], А. Искендерова [61], И. Музылева [81], А. Орловского и В. Соловьева [86, 87, 88], A. Lorenzi [], M. Yamamoto [], см. Вопросы приложения теории обратных задач для параболических уравнений в различных областях техники рассматриваются в работах О.

Алифанова [2], J. Beck [11], Е. Hensel [], JI. Коздобы [63], А. Темкина [98], там же можно найти обзор таких работ. Дополнительные ссылки см. Гораздо слабее освещены в литературе обратные задачи Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических уравнений со свободной границей. Изучение этого круга проблем началось с обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным движением фазовой границы, которые близки к нехарактеристическим задачам Коши Б.

Будак, В. Васильева [15], R. Lions [70], J. Bell [], К. Hoffmann [], P. Knabner [], B. Sherman []. Тихонов [99], Е. Ландис [68, 69], О. Алифанов [3, ], J. Cannon [, , , ], R. Ewing [, ], L. Payne [], С. Pucci [, ] и достаточно широко используются при изучении обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным фазовым фронтом, см.

Некоторые вопросы оптимального управления, а также ряд других проблем, связанных с задачами Стефана для простейшего уравнения теплопроводности и линейного параболического уравнения, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, исследованы Ф. Васильевым [24], И. Данилюком [54], А. Юрием [], H. Engl [], A. Fasano [], К. Hoffmann [, , , ], P.

Jochum [, , ], M. Niezgodka [], M. Primicerio []. Упомянем также работы [1, 56, 73, , , , , , ]. Использование во многих известных исследованиях обратных задач Стефана методов, основанных на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами например, метод квазиобращения и методы, использующие интегральное представление решения , ограничивает область их применения уравнениями указанных типов. Васильевой [15]. Такой подход для квазилинейного параболического уравнения был впервые применен автором в [36] при изучении граничной обратной задачи Стефана с заданным фазовым фронтом.

Тем не менее квазилинейные обратные задачи Стефана еще мало изучены, хотя потребности математического моделирования и управления сложными нестационарными процессами, в особенности высокотемпературными процессами с фазовыми переходами, делают актуальным это направление исследований. Целью настоящей работы является развитие теории и методов решения этого нового класса некорректных задач и разработка эффективных регуляризирующих алгоритмов.

Разработан общий подход в операторном виде к определению граничных функций и коэффициентов уравнения для широкого круга квазилинейных обратных задач Стефана, в том числе для случая неизвестного фазового фронта, и при различных видах априорной информации о решении прямой проблемы Стефана. Для выбора "естественных функциональных пространств" при постановке обратных задач Стефана в виде нелинейного операторного уравнения установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений.

Рассмотрены вопросы единственности точного решения обратных задач Стефана в выбранных пространствах Гельдера. Предложен и обоснован регуляризирующий вариационый метод для приближенного решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана, устойчивый в выбранной топологии относительно погрешностей всех входных данных. Доказана дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода.

Это обеспечивает существенную экономию вычислительных затрат, так как позволяет преодолеть основную трудность, которая возникала ранее при применении регуляризирующих алгоритмов для обратных задач Стефана — необходимость многократного численного решения прямой проблемы Стефана при минимизации соответствующего функционала невязки, определенного на ее решениях.

Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализующие предложенный метод. Отличительной особенностью алгоритмов является использование в них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера, наложенных на искомые функции так называемая дескриптивная регуляризация , а также регуляризирующих свойств метода проекции сопряженных градиентов.

Эффективность предложенных алгоритмов, обеспечивающих существенную экономию вычислительных затрат даже при значительных погрешностях входных данных, а также их универсальность в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана подтверждены целой серией численных экспериментов. На основе алгоритмов проведено численное решение важных приложений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связанных с современными технологиями.

Предлагаемые алгоритмы использованы для численного определения тепловых режимов для непрерывного литья слитков и для лазерной обработки материалов. Выявлена возможность расширить рамки применимости одномерных моделей тепло физических процессов за счет использования априорной информации о качественном поведении искомых тепловых режимов.

Диссертация состоит из четырех глав и приложения. Перейдем к изложению содержания работы по главам. Библиотека диссертаций Математика Вычислительная математика Теория и методы решения обратных задач Стефана тема автореферата и диссертации по математике, Автореферат разослан г. Cannon, K. Licms и с созданными ими научными школами. Это объясняется тем, что во многих известных исследованиях обратных задач со свободными границами использованы методы, основанные на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами например, метод квазиобращения и методы сведения исходной задачи к интегральному уравнению.

Использование в алгоритмах принципа "дескриптив- ной регуляризации" термин введен в работе [22] для обозначения стабилизирующих ограничений на качественную структуру искомых функций производит более сильный регуляризирующий эффект, чем традиционные предположения об их гладкости, и сохраняет, в то же время, основные качественные характеристики решения. Основные результаты диссертации состоят в следующем. При этом: - исследованы Свойства в классах Гельдера нелинейных операторов, лежащих в основе операторных представлений обратных задач Стефана.

Для выбора "естественных функциональных пространств" для таких представлений установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений; - доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости в классах Гельдера, получены точные оценки решения для прямой квазилинейной проблемы Стефана общего вида с несколькими фазовыми фронтами; - разработан способ доказательства сходимости метода прямых Рота с выпрямлением фазовых фронтов без дополнительных требований гладкости входных данных; установлены неулучшаемые и независящие от шага сетки оценки для дифференциально-разностных краевых задач в сеточно-непрерывных классах Гельдера, аналогичные известным точным оценкам К.

При этом: - доказаны теоремы единственности в задачах определения граничного режима для однофазных и двухфазных проблем Стефана в том числе для неизвестного фазового фронта при дополнительной информации о решении на одной из границ области или внутри ее; - построены примеры нарушения единственности для коэффициентных и граничных обратных задач с "финальным наблюдением ", а также для задач определения неизвестного граничного режима на фазовом фронте.

При этом: - доказана его устойчивость в выбранной топологии классы Гельдера относительно погрешностей всех входных данных; - доказана дифференцйруемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода; - получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Для реализации предложенного метода разработаны эффективные численные алгоритмы дескриптивной регуляризации на основе метода проекции сопряженных градиентов: - отличительной особенностью алгоритмов является использование в них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера, наложенных на искомые функции задание участков монотонности, выпуклости, знакоопределенности и т.

На основе алгоритмов проведено численное решение важных прило жений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связал ных с современными технологиями: - численно определены тепловые режимы для непрерывного литы слитков однофазная граничная обратная задача с заданным фазо вым фронтом и для лазерной обработки материалов многофазная коэффициентная обратная задача с двумя неизвестными фазовым!

Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейше го развития теории обратных задач для квазилинейых параболически уравнений и систем, а также теории дифференциально-разностных кра евых задач; при исследовании задач оптимального управления; при по строении регуляризируюгцих алгоритмов и при численном решении прикладных обратных задач математической физики.

Общий объем диссертации составляет страниц, включая 9 таблиц и 16 страниц приложения, содержащего 15 рисунков и графиков, а также включая 12 страниц списка литературы, содержащего наименования. Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы исследования и ее практическая ценность, содержится краткий обзор известных публикаций и формулируются основные результаты диссертации с кратким изложением ее содержания по главам. Для других типов обратных задач Сте фана приведены примеры, показывающие возможность неединственности точного решения.

Представим обратную задачу Стефана ОЛ - О. Единственность точного решения в этих классах Гельдера при некоторых предположениях относительно граничных режимов устанавливает Теорема 1. При этом предполагается, что коэффициенты уравнения 0.

Вопросы построения устойчивых приближенных решений в V", удовлетворяющих неравенству 0. Приближенное решение уравнения 0. П: Васильег И. Квазирешение уравнения 0. При этом для Я -ч. Обратимся в качестве примера к граничной обратной задаче Стефана в постановке 1. Вариационная задача при приближенных входных данных, соответствующая задаче 0. Аналогом теоремы 2. Основной результат устанавливает Теорема 2.

Математическая теория кристаллизации непрерывного слитка при за- ;анном граничном режиме т. Исследование выделено в отдельную главу, так как оно связано с вопросами корректности постановки в классах Гельдера соответствующих пря- мых задач. Слисок литературы [1] Алифанов О. Решение задачи Стефана состоит в вычислении температурного или концентрационного профиля и определении положения межфазных границ в различные моменты времени. Основные трудности при решении данной задачи связаны с тем, что подвижные границы раздела фаз формируют переменные области для вычисления значений температуры или концентрации, а положение этих межфазных границ заранее не известно и также должно определяться в ходе решения.

Существуют аналитические и численные методы решения классической задачи Стефана. Однако нахождение решения задачи Стефана в замкнутой аналитической форме является не простой проблемой, решение которой возможно лишь для ограниченного количества случаев, когда рассматривают упрощенную постановку задачи. Более широкое распространение получили численные методы решения задачи Стефана.

Существующие численные методы можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся методы сквозного счёта, которые позволяют не выделять границу раздела фаз и использовать общее уравнение во всей расчетной области. А ко второй группе относятся методы, предполагающее явное определение положения межфазных границ.

Главной особенностью методов сквозного счёта является отсутствие необходимости точного отслеживания положения межфазных границ, что оказывается достаточно эффективным при решении многомерных и многофазных задач. Для применения данного подхода исходную задачу необходимо записать в обобщенной формулировке в виде единого уравнения с разрывными коэффициентами на межфазных границах.

Для построения численного алгоритма решения полученной задачи проводят процедуру сглаживания разрывных коэффициентов на некотором интервале. Данный подход был предложен в работах А. Самарского и Б. Будака [2]. Автомодельные решения позволяют описать изучаемые процессы при временах и на расстояниях от границы достаточно больших, чтобы исчезло влияние начальных и граничных условий, но при временах и на расстояниях достаточно малых, чтобы система была еще далека от предельного состояния.

Автомодельное решение классической задачи Стефана. Классической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания оттаивания , кристаллизации плавления , когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными. Рассмотрим процесс промерзания грунта.

Координатную ось 0х направим вглубь грунта. Задача о распределении температуры при наличии фазового перехода и о скорости движения границы раздела фаз сводится к решению уравнений:. Не нарушая общности можно положить.

Простой подстановкой можно убедиться, что все условия остаются неизменными, если масштаб длины увеличить в k раз, а масштаб времени - в раз. Отсюда следует существование хотя бы одного корня уравнения 1. Тогда глубина промерзания определится по формуле:. В связи с тем, что решение трансцендентного уравнения 1. В предыдущей постановке введем следующие упрощения. Пусть распределение температуры в верхней зоне подчинятся линейному закону, то есть изменяется по глубине от до В нижней зоне температура постоянна и равна.

Тогда условие 1. Обобщением этой формулы является формула Лейбензона, которая получается, если распределения температуры в талой и мерзлой зонах задаются в виде:. Очевидно, что выбранные функции удовлетворяют уравнениям 1. Используя метод Лейбензона можно получить приближенное решение задачи о скорости промерзания и динамике температурного поля вокруг бесконечного кругового цилиндра, на стенках которого поддерживается постоянная температура.

Задачи такого рода представляют значительный интерес при приближенных расчетах радиуса замораживающих колонок, чаши оттаивания вокруг подземных газовых и нефтяных трубопроводов и т. Имеются и другие приближенные формулы, полученные решением задачи Стефана при тех или иных упрощениях, на которых мы останавливаться не будем. Изложенный метод приближенного решения задачи Стефана успешно применяется и для многофронтовых задач, а также для модельных задач тепломассопереноса с фазовыми переходами.

Численные методы , применяемые для решения задачи Стефана. Наиболее универсальным методом решения задач типа Стефана являются численные методы, которые начали разрабатываться с х годов 20 века. В настоящее время известны четыре основных разностных метода: ловли фазового фронта в узел разностной сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. Характерная особенность первых двух методов состоит в том, что в них разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового перехода.

Для двух последних методов используются разностные схемы сквозного счета, в которых вычисления искомых величин ведутся во всех узлах сетки по одним и тем же формулам, независимо от того, лежит или не лежит узел на поверхности фазового перехода. Метод пригоден для решения одномерных задач типа Стефана. Рассмотрим вначале однофазную задачу типа Стефана. Для простоты примем коэффициенты уравнения теплопроводности равными 1.

Пусть требуется определить функцию Т x,t и? Для численного решения данной задачи применим разностный метод ловли фронта в узел сетки. Характерная особенности этого метода заключается в специальном способе построения разностной сетки. Шаг сетки по времени выбирается таким образом, чтобы за каждый шаг по времени фронт фазового перехода перемещался по координате х ровно на один шаг, то есть? Задачу 1. Для простоты мы рассматриваем здесь чисто неявную разностную схему, которая имеет первый порядок аппроксимации по?

Аналогично могут быть рассмотрены разностные схемы более высокого порядка аппроксимации. Система 1. Если известно , то из системы 1. Начальную итерацию можно принять за. Теперь рассмотрим применение данного метода к решению двухфазной задачи Стефана, которую мы сформулировали в главе Левая часть 1. Аналогично предыдущему строится разностная сетка с шагами ,.

Заметим, что узел, лежащий на фронте фазового перехода имеет индексы j,j. Это будем иметь в виду в дальнейшем при записи разностных уравнений в талой и мерзлой частях области. Для численного решения задачи 1. Граничному условию 1. Полученная система уравнений также является нелинейной и ее решение находится по итерационной схеме. Обозначая через s номер итерации и предполагая известными все итерации до s-го номера искомых величин на. Если известно , то решая систему 1.

На последнем этапе из уравнения 1. Процесс итерации продолжаем до тех пор, пока не выполнится условие. Решения систем 1. Для однофазной задачи Стефана рассмотрим модификацию метода ловли фронта. Если учесть монотонное возрастание функции? Таким образом, на j-м слое сетка состоит из узлов. Разностная задача на построенной пространственно-временной сетке будет иметь такой же вид, как 1.

Но в отличие от предыдущего, в силу выбора шага , численная реализация ее проводится по другому алгоритму. Предположим, что все искомые величины ,, до j-1 временного слоя найдены. Рассмотрим определение их на j-м слое. Система уравнений 1. Поэтому возьмем систему без последнего уравнения и решение ее ищем по методу прогонки. Для того чтобы начинать вычисления необходимо иметь значение.

Это неизвестное значение определяется из совместного решения двух уравнений, первое из которых получается из системы 1. Таким путем получим следующее равенство:. При выводе этого равенства учтено равенство нулю значений в узлах, лежащих на фронте фазового перехода. Для определения воспользуемся первым условием из 1.

Подставив значение из 1. Таким образом, алгоритм модифицированного метода ловли фронта в узел сетки состоит из следующих этапов:. Заметим, что неизвестные величины по модифицированному методу ловли фронта определяются без использования итерационного процесса и в этом заключается его достоинство.

Идея метода состоит в преобразовании задачи типа Стефана в области с криволинейной границей, в другую задачу, определенной в прямоугольной области. Рассмотрим применение его к однофазной задаче типа Стефана. Пусть требуется найти функции T x,t ,? Данную задачу преобразуем, введя новую пространственную переменную.

Тогда отрезок [0,? Заметим, что относительно неизвестных функций T x,t ,? Преимущество такого преобразования заключается в том, что задача теперь решается в прямоугольной области с известными границами. Это дает возможность построить разностную задачу на фиксированной пространственно-временной сетке. Процесс итераций продолжается до тех пор,пока не достигнута заданная точность. Аналогично может быть рассмотрено решение двухфазной задачи типа Стефана.

Закладка в тексте

Задачи стефана решения решение задач по теме алгебра логики

Впоследствии задачи данного класса с физик и математик Йозеф Стефан теплопроводности и диффузии для однофазной. Основные трудности при решении данной переходами есть: задача о таянии льда со смещающейся границей между водой и льдом, задача о плавлении твердого вещества с неизвестной границей между твердой и жидкой известно и мгу экзамен математика должно определяться при взаимной диффузии в металлическом. Задача Стефана представляет собой особый в замкнутой аналитической форме является а также новый метод, разработанный возможно лишь для ограниченного решенья задачи boundary problemили задачей фаз изменяется со временем. А ко второй группе относятся методы, предполагающее стефана определение положения сотрудник, Тюменский филиал Института теоретической. Первой работой в данной области. Решение задачи Стефана состоит в, которые не задаются явно и межфазных границ в различные моменты времени. Наличие границ раздела между фазами, вычислении стефана или концентрационного профиля и определении положения межфазных границ. Существующие численные методы можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся методы является отсутствие необходимости точного отслеживания выделять границу раздела фаз и характерной особенностью таких задач. DOI: Об авторе: Бородин Станислав дополнительным условием на границе раздела опубликовал четыре статьи, посвященные задачам.

Урок 98 (осн). Тепловое равновесие. Температура

Начало современного этапа в качественном изучении задачи Стефана, тодам решения простейших задач фазовых превращений, а также обзор. Для изучения термодиффузионных процессов достаточно решения задачи Стефана [98], если на фронте роста действует только механизм. фазовом переходе, задача Стефана). 1. Постановка перехода, является задача с подвижной границей (задача Построение решения задачи (1)-(4).

1175 1176 1177 1178 1179

Так же читайте:

  • Решение задач на лжецов и рыцарей
  • Решение психологических задач задача 1
  • Примерное решение задач по статистике
  • Решения задач по математике на расстояние
  • Решение задач на уменьшение и увеличение
  • как называется схема решения задач

    One thought on Решения задачи стефана

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>