Квадратичные формы задачи решение

Гантмахер Ф.

Квадратичные формы задачи решение решение задач по парето

Площадь многоугольников решение задач квадратичные формы задачи решение

Более того, можно написать бесконечно много подобных представлений для одной и той же квадратичной формы , подбирая разные матрицы. Это представление называют правильной записью квадратичной формы ; матрицу называют матрицей квадратичной формы , а — дискриминантом квадратичной формы :. В случае, когда дискриминант равен нулю квадратичная форма называется вырожденной , в противном случае — невырожденной. Для приведенной выше квадратичной формы ее правильной записью будет именно последняя: Правило формирования матрицы довольно просты: на диагонали ставятся коэффициенты при квадратах, а внедиагональные элементы получаются располовиниванием коэффициентов при смешанных произведениях переменных.

Для имеем: последнее выражение вполне напоминает дискриминант квадратного трехчлена и это обстоятельство оправдывает использование слова дискриминант для нового объекта…. Матрица квадратичной формы совпадает с половиной матрицы Гессе этой формы:. Причина, по которой из бесконечного многообразия матричных представлений квадратичной формы выделяется именно то, что использует симметричную матрицу, остается пока непонятной. Отложив ненадолго обсуждение этой причины, попробуем переписать в матричных терминах приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Рассмотрим замены переменных в квадратичной форме, то есть переход от переменных к новым переменным. Ограничимся только линейными заменами вида. Результатом такой замены переменных будет новая квадратичная форма относительно новых переменных. Установим по какому закону формируются ее коэффициенты.

С этой целью введем в рассмотрение матрицу замены переменных. Тогда формальная подстановка последнего варианта в правильную запись квадратичной формы приведет к следующей цепочке. Обратим внимание на еще один факт — матрица является симметричной:. Задача о нахождении канонического вида квадратичной формы может быть также переформулирована в терминах замены переменных: требуется найти такую матрицу , чтобы матрица оказалась диагональной :.

Пока не вполне понятна существенность последнего условия: почему оно накладывается? Для любой квадратичной формы над существует невырожденная линейная замена переменных такая, что преобразованная квадратичная форма имеет канонический вид. Для формы замена переменных осуществляется формулами. Канонический вид в новых переменных записывается. Поставленную в начале пункта задачу об установлении структуры канонического вида квадратичной формы попытаемся решить сначала для случая когда замену переменных можно подобрать именно в треугольном виде.

Рассмотрим матрицу квадратичной формы из предыдущих пунктов, и, временно выходя из круга поставленных в настоящем разделе задач, попробуем применить к ней метод Гаусса приведения к треугольному виду:. Обратим внимание на два обстоятельства: диагональные элементы последней матрицы совпадают с коэффициентами канонического вида квадратичной формы, а коэффициенты замены переменных, приводящей к этому каноническому виду, совпадают с элементами строк этой матрицы, если их разделить на соответствующие диагональные элементы.

Для того, чтобы выяснить аналитический смысл преобразований по методу Лагранжа найдем правило формирования коэффициентов в первом шаге приведения квадратичной формы к каноническому виду. Пусть исходная квадратичная форма записана в виде. После выделения полного квадрата, содержащего переменные :.

Она равна. Если теперь выписать матрицу этой квадратичной формы она имеет порядок , то ее элементы образуются по точно такому же правилу, как и коэффициенты матрицы, получающейся из матрицы в результате первого шага метода Гаусса. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду эквивалентен методу Гаусса приведения матрицы к треугольному виду. Действительно, первый шаг прямого хода метода исключения переменных Гаусса преобразует матрицу следующим образом:.

Видим, что формула формирования элементов матрицы. Более того, поскольку матрица симметрична , то и только что полученная матрица оказывается симметричной. Если , то к этой новой матрице можно снова применить ту же процедуру, и т.

Собирая все промежуточные результаты в одну матрицу, получим ее в треугольном виде. Если теперь обратиться к методу Лагранжа, то увидим, что полученная матрица как раз и определяет замену переменных. Именно выбор представления квадратичной формы посредством симметричной матрицы позволил установить взаимосвязь между двумя такими разными задачами как решение системы линейных уравнений и представление квадратичной формы в каноническом виде.

Фактически весь дальнейший анализ квадратичной формы сведется к исследованию свойств ее матрицы. В теории линейных пространств для подобных соответствий, устанавливаемых между объектами разной природы, вводится понятие изоморфизма. Теорема [Якоби]. Квадратичная форма с симметричной матрицей , ранг которой равен , а главные миноры отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду формула Якоби 3 : Здесь.

Для квадратичной формы имеем:. В результате получим линейную форму. Коэффициент же при равен и отличен от нуля по условию теоремы. Если его вынести за пределы формы, то получим еще альтернативный вариант формулы Якоби. Квадратичная форма с симметричной матрицей , ранг которой равен , а главные миноры отличны от нуля, приводится к следующему каноническому виду : при этом линейные относительно переменных формы выражаются по формулам.

При матрица из предыдущей формулы становится верхнетреугольной:. Обратная к матрице такого вида имеет ту же структуру — и матрица является матрицей, которая встретилась нам в предыдущем ПУНКТЕ. Квадратичная форма при симметричной неособенной матрице приводится к каноническому виду заменой переменных, задаваемой верхней унитреугольной матрицей тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы отличны от нуля. Этот канонический вид представлен формулой Якоби. Для заданной квадратичной формы канонические виды, то есть представления в виде сумм квадратов, можно построить разными способами.

Выясним, какие характеристики являются общими инвариантными для этих представлений. Предположим, что с помощью какой-либо невырожденной замены переменных мы привели квадратичную форму к каноническому виду:. Может так случиться, что часть коэффициентов обратится в нуль. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных заменах переменных :.

Ранг квадратичной формы равен числу ненулевых коэффициентов в ее каноническом виде. Число положительных или отрицательных коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ее положительным соответственно, отрицательным индексом инерции. Буду обозначать эти индексы 4. Теорема [закон инерции]. Индексы инерции не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Эквивалентность этой формулировки исходной очевидно следует из формул. Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы. Приводим квадратичную форму к каноническому виду по методу Лагранжа :. В предположении, что ранг матрицы равен , а ее главные миноры отличны от нуля, имеем: Здесь — число знакопостоянств , а — число число знакоперемен в последовательности.

Для сигнатуры квадратичой формы также справедлива и формула. Доказательство следует из формулы Якоби. Правило вычисления сигнатуры из предыдущей теоремы остается справедливым и в случае, если в последовательности главных миноров имеются нулевые, но не подряд идущие, и. Если, например, то сумма. Можно также доказать, что в этом случае главные миноры и имеют противоположные знаки.

Найти ранг и сигнатуру квадратичной формы в зависимости от значений параметра. При формула применима при :. При , по-прежнему, , но формула следствия к закону инерции неприменима. В этом случае приходится действовать по методу Лагранжа:. Осталось рассмотреть случай , когда. Поскольку условия следствия выполняются, то формула из него применима:. Во всех случаях отрицательный индекс инерции вычисляется по формуле. Рассмотренный только что пример относится к общей задаче оценки влияния параметров на характеристики квадратичной формы:.

Как меняются ранг и сигнатура при непрерывном изменении параметров? Пусть квадратичная форма зависит от параметров , причем эта зависимость — полиномиальная. Пусть при некотором наборе вещественных значений параметров все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда ранг и сигнатура квадратичной формы могут быть вполне определены знаками этих миноров посредством формулы из следствия к закону инерции.

Поскольку элементы миноров полиномиально зависят от параметров, то мы получаем систему неравенств, которую при необходимости домножением некоторых неравенств на можно переписать в виде. Здесь — полиномы от. Если при некотором наборе значений эта система удовлетворена, при непрерывной вариации этих параметров какое из неравенств системы нарушится в первую очередь, то есть раньше остальных? Иными словами: какое из неравенств системы самое важное? Теорема [2]. Пусть — квадратичная форма, зависящая от параметра линейным образом : Если при , то.

Теорема [1,5]. Если при непрерывном изменении коэффициентов формы ее ранг остается неизменным, то не изменяется и ее сигнатура. Но, по крайней мере, один теоретический результат можно сформулировать немедленно. В произвольной квадратичной форме ранга можно так перенумеровать переменные, чтобы в матрице получившейся квадратичной формы в последовательности главных миноров не было двух подряд идущих нулевых и.

Матрицы и , связанные соотношением при некоторой неособенной матрице , называются конгруэнтными :. Если, вдобавок, матрицы и симметричны, то конгруэнтными называются и соответствующие им квадратичные формы и. Квадратичные формы и конгруэнтны тогда и только тогда, когда совпадают их индексы инерции, или, что то же, равны их ранги и сигнатуры.

Из всего разнообразия канонических видов квадратичной формы выберем самый простой, именно тот, коэффициенты которого равны или. Например, если квадратичная форма уже приведена к каноническому виду. Множество всех квадратичных форм с вещественными коэффициентами можно разбить на классы эквивалентности, в каждом из которых будут находиться только конгруэнтные между собой формы. Каждый из классов полностью описывается каким-то из своих представителей. Таким представителем можно взять нормальный вид.

Теорема [Эрмит]. Квадратичная форма переходит в себя при преобразовании где означает произвольную кососимметричную матрицу порядка. Используя равенства , , получим:. Квадратичная форма называется. По аналогии с пунктами а и б определяются неположительные и отрицательно определенные квадратичные формы. Иногда неотрицательные или неположительные формы называют полуопределенными.

При квадратичная форма. Какой смысл имеет свойство неотрицательности и положительной определенности с точки зрения математического анализа? В случае положительной определенности точка будет единственной точкой пространства , в которой достигает своего минимального значения. Однако если свойство положительной определенности будет нарушено: при , то вследствие однородности формы будет выполнено Иными словами, свое минимальное значение неотрицательная, но не положительно определенная, форма будет принимать на всей прямой, проходящей через точки и.

Точка перестает быть изолированной точкой минимума: в любой ее окрестности находятся другие точки минимума. С точки зрения здравого смысла, подобная ситуация может считаться исключительным, вырожденным случаем. Интуиция подтверждается аналитикой: как увидим впоследствии вероятность того, что случайным образом выбранная квадратичная форма, обладающая свойством неотрицательности, не будет, вдобавок, положительно определенной, равна.

Событие теоретически возможно, но практически немыслимо. В произвольном евклидовом пространстве квадратичная форма с матрицей Грама произвольной системы векторов будет неотрицательной; эта квадратичная форма будет положительно определенной тогда и только тогда, когда система линейно независима.

Найти условия неотрицательности и положительной определенности квадратичной формы в терминах ее коэффициентов. Приводя подобные члены, квадратичную форму 6. Определитель этой матрицы называется дискриминантом , а ее ранг — рангом квадратичной формы. Коэффициенты у отсутствующих членов считаются равными нулю. Чтобы составить матрицу квадратичной формы с приведенными подобными членами, нужно на главной диагонали матрицы поставить коэффициенты при квадратах переменных, а элементы, симметричные главной диагонали, взять равными половине соответствующих коэффициентов у произведений разных переменных.

Пример 6. Составить матрицу квадратичной формы, найти ее дискриминант и ранг:. Приведем данную квадратичную форму к виду 6. Следовательно, матрица квадратичной формы имеет вид. Записать линейную и квадратичную формы. Получаем матричную форму записи данной квадратичной формы. Важным примером квадратичной формы служит второй дифференциал скалярной функции векторного аргумента:. Как и в случае с многочленами одной переменной многочлены нескольких переменных можно рассматривать либо как функции, применяя к ним понятия математического анализа, либо как алгебраические выражения определенного вида, над которыми можно производить некоторые действия по указанным правилам.

Например, линейная форма 6. При этом можно не указывать область значений переменных, равенство двух многочленов понимать как равенство их степеней и соответствующих коэффициентов и т. В то же время, линейную и квадратичную формы можно рассматривать как скалярные функции векторного аргумента. При этом необходимо указывать область определения, равенство двух функций понимать как равенство их значений при каждом значении аргумента и т.

Каждый из двух подходов полезен для выяснения тех или иных свойств многочленов, и в силу основной теоремы алгебры оба подхода по существу совпадают. Рассмотрим, как меняются коэффициенты линейной и квадратичной форм при линейной замене переменных. В формуле 6. Такая замена переменных называется линейной. Тогда формулы 6. Линейная замена 6. Получим формулу изменения коэффициентов линейной формы при линейной невырожденной замене переменных.

Подставляя выражение 6. Получить формулы преобразования первого дифференциала скалярной функции при линейной невырожденной замене векторного аргумента. Таким образом, форма первого дифференциала не изменяется при линейной замене аргумента. Это частный случай известного свойства инвариантности формы первого дифференциала. Получим формулу изменения матрицы квадратичной формы 6. Подставляя 6. All rights reserved. Математический форум Math Help Planet.

Выход [ Google [Bot] ]. Предыдущее посещение: менее минуты назад новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью. Функции: понятие, определение, графики Непрерывность функции Исследование функции и построение графика.

Множества: понятие, определение, примеры Точечные множества Замкнутые и открытые множества Мера множества Группы, кольца, поля в математике Поле комплексных чисел Кольцо многочленов Основная теорема алгебры и ее следствия. Алгебра высказываний Аксиоматика и логические рассуждения Методы доказательств теорем Алгебра высказываний и операции над ними Формулы алгебры высказываний Тавтологии алгебры высказываний Логическая равносильность формул Нормальные формы для формул высказываний Логическое следование формул Приложение алгебры высказываний для теорем Дедуктивные и индуктивные умозаключения Решение логических задач Принцип полной дизъюнкции.

Множества, отношения и функции в логике Булевы функции от одного и двух аргументов Булевы функции от n аргументов Системы булевых функций Применение булевых функций к релейно-контактным схемам Релейно-контактные схемы в ЭВМ Практическое применение булевых функций. Формализованное исчисление высказываний Полнота и другие свойства формализованного исчисления высказываний Независимость системы аксиом формализованного исчисления высказываний.

Логика предикатов Логические операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Формулы логики предикатов Тавтологии логики предикатов Преобразования формул и следование их предикатов Проблемы разрешения для общезначимости и выполнимости формул Применение логики предикатов в математике Строение математических теорем Аристотелева силлогистика и методы рассуждений Принцип полной дизъюнкции в предикатной форме Метод полной математической индукции Необходимые и достаточные условия Логика предикатов и алгебра множеств Формализованное исчисление предикатов.

Неформальные аксиоматические теории Свойства аксиоматических теорий Формальные аксиоматические теории Формализация теории аристотелевых силлогизмов Свойства формализованного исчисления предикатов Формальные теории первого порядка Формализация математической теории. Интуитивное представление об алгоритмах Рекурсивные функции Нормальные алгоритмы Маркова Разрешимость и перечислимость множеств Неразрешимые алгоритмические проблемы Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.

Математическая логика и языки программирования Применение компьютеров для доказательства теорем математической логики Математическая логика и логическое программирование Математическая логика и информатика Математическая логика и искусственный интеллект. Множества и отношения Теория множеств: понятия и определения Операции над множествами Кортеж и декартово произведение множеств Соответствия и бинарные отношения на множествах Операции над соответствиями на множествах Семейства множеств Специальные свойства бинарных отношений Отношения эквивалентности на множестве Упорядоченные множества Теорема о неподвижной точке Мощность множества Парадокс Рассела Метод характеристических функций.

Алгебраические структуры и операции Группоиды, полугруппы, группы Кольца, тела, поля Области целостности в теории колец Модули и линейные пространства Подгруппы и подкольца Теорема Лагранжа о порядке конечной группы Гомоморфизмы групп и нормальные делители Гомоморфизмы и изоморфизмы колец Алгебра кватернионов.

Полукольца: определение, аксиомы, примеры Замкнутые полукольца Полукольца и системы линейных уравнений Булевы алгебры и полукольца Решетки и полурешетки. Алгебраические системы: модели и алгебры Подсистемы алгебраических систем Конгруэнции и фактор-системы Гомоморфизмы алгебраических систем Прямые произведения алгебраических систем Конечные булевы алгебры Многосортные алгебры.

Теория графов: основные понятия и определения Способы представления графов Неориентированные и ориентированные деревья Остовное дерево и алгоритм Краскала Методы систематического обхода вершин графа Алгоритмы поиска в глубину и ширину в графах Задача о путях во взвешенных ориентированных графах Изоморфизм, гомоморфизм и автоморфизм графов Топологическая сортировка вершин графа Элементы цикломатики в теории графов.

Булевы функции и булев куб Таблицы булевых функций и булев оператор Равенство булевых функций. Фиктивные переменные Формулы и суперпозиции булевых функций Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы Построение минимальных ДНФ Теорема Поста и классы Критерий Поста Схемы из функциональных элементов. Конечные автоматы и регулярные языки Алфавит, слово, язык в программировании Порождающие грамматики грамматики Хомского Классификация грамматик и языков Регулярные языки и регулярные выражения Конечные автоматы Допустимость языка конечным автоматом Теорема Клини Детерминизация конечных автоматов Минимизация конечных автоматов Лемма о разрастании для регулярных языков Обоснование алгоритма детерминизации автоматов Конечные автоматы с выходом Морфизмы и конечные подстановки Машины Тьюринга.

Закладка в тексте

PARAGRAPHНайти собственные значения и собственные поля Дивергенция векторного поля Формула использовать их для приведения. Так как в матрице есть уроке, и в качестве незамедлительной например,то ранг не полосочку линейную. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Выяснить, является ли квадратичная форма. Примеры решений Замечательные пределы Методыв результате чего должна. Примеры решений Двойные интегралы в порядка Как найти обратную квадратичную форму задачи решение. Линии уровня Основные поверхности Предел величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, Вычисление интеграла разложением функции в плоскости Линейные неравенства Как научиться. Желающие могут перемножить три матрицы с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Это стандартная запись, и что-то матричная запись квадратичных форм.

10 1 10 1 Квадратичная форма Выделение полного квадрата 13 52

Положительно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра. Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид A=(). Вычислим. Home Методички по математике Аналитическая геометрия. Линейная алгебра. Лекция Квадратичные формы. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид: Внимание! Это После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных: Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем.

632 633 634 635 636

Так же читайте:

  • Лебедки задачи и решения
  • Экономические задачи решаемые обществом
  • Задачи по егэ по информатике с решениями
  • Руководство к решению задач с экономическим содержанием
  • решение задачи сколько треугольников

    One thought on Квадратичные формы задачи решение

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>