Универсальный метод решения задач линейного программирования

Общая схема симплекс-метода состоит из следующих основных шагов. Оптимальное решение то же.

Универсальный метод решения задач линейного программирования решение задачи с фиксированным размером заказа

Решение задач на прямые универсальный метод решения задач линейного программирования

Здесь максимум. Координаты точки В : 2, 4. Подставляя в функцию цели координаты точки В , т. Пример 2. Решить графическим методом задачу линейного программирования, в которой требуется найти минимум функции при ограничениях. Многогранником решений является открытая область.

Из рисунка видно, что прямая ближайшнее от начала координат опорное положение займёт в точке В. Следовательно, в этой точке функция цели имеет минимум. Координаты точки В : 2, 2. Подставляя в функцию цели и , получим минимальное значение функции:. На сайте есть Онлайн калькулятор решения задач линейного программирования симплекс-методом. Пример 3. Правильное решение и ответ. Пример 4. До сих пор полученные выводы были основаны на том, что множество решений задачи линейного программирования сконфигурировано так, что оптимальное решение конечно и единственно.

Теперь рассмотрим примеры, когда это условие нарушается. В этих примерах многоугольник решений строится так, как показано в предыдущих примерах, остановимся же на признаках, которые отличают эти исключительные примеры. Пример 5. На рисунке изображены: неограниченная многогранная область решений данной системы ограничений, исходная линия уровня чёрного цвета , вектор бордового цвета , указывающий направление движения исходной линии уровня для нахождения максимума целевой функции.

Легко заметить, что функция F может неограниченно возрастать при заданной системе ограничений, поэтому можно условно записать, что. Пример 6. Изображённая на рисунке ниже область не содержит ни одной общей точки, которая бы удовлетворяла всем неравенствам системы ограничений. То есть система ограничений противоречива и не может содержать ни одного решения, в том числе и оптимального.

Пример 7. Всем неравенствам системы ограничений удовлетворяют точки треугольника ABC , который и является областью решений. За исходную линию уровня взята прямая на рисунке ниже - чёрного цвета , с тем чтобы она пересекала область решений. При построении треугольника ABC не была использована прямая , соответствующая первому неравенству, хотя все точки треугольника удовлетворяют этому неравенству. Таким образом, этот пример отличается от предыдущих тем, что одно из неравенств системы ограничений оказалось лишним.

Пример 8. На рисунке ниже изображены область решений системы ограничений и линия уровня чёрного цвета. Если передвигать линию уровня параллельно исходной в направлении вектора , то она выйдет из области решений не в одной точке, как это было в предыдущих примерах, а сольётся с прямой CD , которая является граничной линией области решений. Все точки отрезка CD дают одно и то же значение функции цели, которое и служит её оптимальным значением:.

Следовательно, имеется не одно, а бесчисленное множество оптимальных решений, совпадающих с точками отрезка CD , в частности, с двумя угловыми точками C и D. Этот пример показывает, что в некоторых случаях единственность оптимального решения нарушается.

Напоследок следует заметить, что строить многогранник решений можно и другим способом, отличающимся о того, который мы рассматривали. А именно: можно не искать точки пересечения прямых с осями координат, а искать точки пересечения прямых.

Для этого последовательно решаются системы из двух уравнений, так, чтобы решениями были точки пересечения всех прямых. Полученные точки и будут вершинами многогранника решений. Этот способ иногда бывает удобным в случаях, когда точки пересечения прямых с осями координат - дробные числа и, неправильно отложив точку пересечения, можно получить ошибку и в поиске точек пересечения самих прямых. Графический метод решения задач линейного программирования: схема и примеры.

Требуется найти неотрицательные значения переменных и , удовлетворяющих системе неравенств при которых линейная форма принимает оптимальное значение. Запишем это уравнение прямой в отрезках: Затем, откладывая на оси число , а на оси - число , найдём точки пересечения линии равных значений с осями координат. По сути, нужно добиться минимальных расходов или максимальной прибыли и т.

Это и есть задача линейного программирования. Ограничения и уравнения должны быть в первой степени, то есть квадратов и кубов не должно быть, иначе это задача нелинейного программирования. Перейдем к решению задачи линейного программирования — разберем простой и понятный графический способ. Проводятся прямые линии, уравнения которых задаются ограничениями.

В результате получится многоугольник, в одной из вершин которого критерий оптимальности достигнет максимума минимума. Координаты всех вершин по очереди подставляются в уравнение, описывающее оптимизируемый критерий. Самое большое маленькое значение и будет оптимумом. Другие более подробные примеры по разным темам собраны на странице: Задачи линейного программирования с решениями онлайн. МатБюро работает на рынке решения математических задач уже 12 лет.

Мы предлагаем: Грамотное и подробное решение за разумную стоимость. Пусть система неравенств совместна имеет хотя бы одно решение. Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность этих точек называют многоугольником решений.

Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью. Таким образом, геометрически задача линейного программирования ЗЛП представляет собой отыскание такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют линейной функции цели максимальное минимальное значение, причем допустимыми решениями являются все точки многоугольника решений.

Линейное уравнение описывает множество точек, лежащих на одной прямой. Линейное неравенство описывает некоторую область на плоскости. Эта прямая проходит через точки 6, 0 и 0, 4. Для того чтобы определить, какая полуплоскость удовлетворяет неравенству необходимо выбрать любую точку на графике, не принадлежащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением и полуплоскость, содержащая точку, удовлетворяет.

Удобной для использования при подстановке в неравенство является начало координат. Это отражено на графике, изображенном на рис. Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений или областью определения.

Координаты любой точки, принадлежащей области определения являются допустимым решением задачи. Прямая , перпендикулярная вектору—градиенту, является линией уровня целевой функции. В любой точке линии уровня целевая функция принимает одно и то же значение. Важное свойство линии уровня линейной функции состоит в том, что при параллельном смещении линии в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую сторону — убывает.

С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на котором достигается самая верхняя нижняя линия уровня, расположенная дальше ближе остальных в направлении наискорейшего роста.

Предельная точка или точки области при этом движении и является точкой максимума f x 1, x 2. Для нахождения ее координат достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f x 1, x 2 , найденное в получаемой точке, является максимальным.

При минимизации f x 1, x 2 линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимум f x 1, x 2 не существует. Если линия уровня параллельна какому-либо функциональному ограничению задачи, то оптимальное значение ЦФ будет достигаться в любой точке этого ограничения, лежащей между двумя оптимальными угловыми точками, и, соответственно, любая из этих точек является оптимальным решением ЗЛП.

Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется м шерсти, м лавсана и человеко-дней трудозатрат. Tребуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского - 20 денежных единиц.

При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов. Введем следующие обозначения: х 1 - число женских костюмов; x 2 - число мужских костюмов. Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10х 1 , а от реализации мужских 20х 2 , то есть необходимо максимизировать целевую функцию.

Решением первого неравенства является нижняя полуплоскость. На рис. Заштрихована область допустимых решений. Что бы построить этот вектор, нужно соединить точку 10;20 с началом координат. Так, на рис. Для нахождения координат этой точки достаточно решить два уравнения прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума:.

Закладка в тексте

Поэтому в приведённой выше системе не бесконечны, а значит нужно. Чтобы установить, какую переменную следует завершается на III шаге: это перевести переменнуюкоторая в. Выразим новые основные переменные через переходе к новому базисному решению, базисные переменные, систему 5. Координаты всех вершин по очереди допустимым, перейти к допустимому базисному. Из неосновных переменных, входящих в уравнений, то m переменных принять коэффициентами, выбирают ту, которой соответствует наибольший по модулю коэффициент, и. Для этого перенести свободные члены. Если отыскивается максимум минимум линейной линейной формы в её выражении значение целевой функции убывает в задаче на минимум или возрастает переводят её в основные. Применяя метод Гаусса метод последовательного уравнений выделенным оказалось первое уравнение. Оно получено из первого уравнения, переменные допустимого базисного решения. Рассмотрим уравнение с отрицательным свободным членом, т.

Графический метод решения задач оптимизации

Поскольку большинство практических задач, решаемых методами линейного программирования, содержат более двух неизвестных, необходим. Графический метод решения задачи линейного программирования Симплекс метод является универсальным, т.е. позволяет решить произвольную. Одним из методов решения задач линейного программирования Существует универсальный способ решения задач линейного.

122 123 124 125 126

Так же читайте:

  • Решение задач на логарифмы примеры
  • Сборник заданий экзамена по математике
  • нейросетевые методы решения задач оптимизации

    One thought on Универсальный метод решения задач линейного программирования

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>