Метод конечных разностей для решения задач теплопроводности

В результате запросов техники за последние десятилетия инженерам и физиками стали широко применятся операционные методы решения. Организация лечебных мероприятий Коррозионные диаграммы Дидактические принципы Каменского Кислотный и щелочной гидролиз пептидов.

Метод конечных разностей для решения задач теплопроводности решение задач салическую правда

Дешевая помощь студентам метод конечных разностей для решения задач теплопроводности

Квазилинейное уравнение переноса. Для численного решения нелинейных задач в различных ситуациях используют как линейные, так и нелинейные схемы. Устойчивость соответствующих. В курсовой работе предполагается построить приближенное решение краевой задачи для обыкновенного. Построение ММ статики технологических объектов При исследовании статики технологических объектов наиболее часто встречаются объекты со следующими типами структурных схем рис : О с одной входной х и одной.

Для решения многих численных задач требуется введение дискретных функций, определенных в точках. Пространством, в котором определены данные функции, будет являться. Тема 4. Краткие теоретические сведения Задачей приближения или аппроксимации функций от лат.

Классификация методов решения УТ п. Метод конечных разностей п.. Алгоритм построения кубических интерполяционных сплайнов в задачах управления работой приводов с прогнозированием динамики нагрузки д. Гданский, доц. Карпов, асп. Методы решения сеточных уравнений 1 Прямые и итерационные методы В результате разностной аппроксимации краевых задач математической физики получаются СЛАУ, матрицы которых обладают следующими свойствами:.

Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов. В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Понятие явной и неявной схемы. Разностная аппроксимация начально-краевой задачи для уравнения колебаний. Рассмотрим несколько вариантов разностной аппроксимации линейного уравнения колебаний:. Численное решение задач с уравнениями параболического типа. Постановка задачи в общем виде.. Разностные схемы для одномерного линейного параболического уравнения. Схема для уравнения теплопроводности. Лекция 3 5. Каждая сетка характеризуется шагами h неравномерного или h. Численные методы Тема 2 Интерполяция В И Великодный уч год 1 Понятие интерполяции Интерполяция это способ приближенного или точного нахождения какой-либо величины по известным отдельным значениям.

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный минерально-сырьевой университет. Постановка задачи, основные понятия Конечные разности и их свойства Интерполяционные многочлены Оценка остаточного члена интерполяционных многочленов Постановка задачи, основные понятия Пусть, то есть.

Лекция 9 Линеаризация диффе6ренциальных уравнений Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные уравнения свойства их решений Свойства решений неоднородных уравнений Определение 9 Линейным. Иванков Интегралы и дифференциальные уравнения конспект лекций для студентов 1-го курса 2-го семестра специальностей РЛ1,2,3,6, БМТ1,2 Лекция 23 Системы. Описание вычислительных моделейequatio Capter Sectio..

Разностные схемы для уравнений параболического типа Рассмотрим вначале простейшее уравнение теплопроводности: u,, t uxx cost. Введем в области. По условию:,8, b, 55, c,,,,. Крамеровские системы линейных алгебраических уравнений Матричная форма записи системы линейных уравнений Пусть дана система из т линейных уравнений с п неизвестными : С введением понятия матриц и операций. Плотникова, Н. Калистратова, О. Малявкин В последнее время в связи с предъявлением все более высоких требований к процессам управления в различных.

Наилучшее приближение. Рассмотренные в прошлой главе методы приближения требуют строгой принадлежности узлов сеточной функции результирующему интерполянту. Если не требовать. Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. Схема переменных направлений для начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в прямоугольнике. Как уже было показано. УДК 9. Яксубаев, Н. Поротикова Авторы обнаружили новое интересное явление.

Оказалось, что некоторые разностные схемы дифференциальных. Метод Ньютона касательных. Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического. Ru Общероссийский математический портал А. Абрамов, Л. Юхно, Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с избыточными условиями, Ж.

Факультет нелинейных процессов Кафедра электроники, колебаний и волн М. Белоглазкина, Е. Егоров, Ю. Левин Численное решение уравнений Учебно-методическое пособие Саратов Содержание. Нижегородский государственный университет им. В исходном дифференциальном уравнении f x, y,, x, y, xx, Тема 7 Ранг матрицы Базисный минор Теорема о ранге матрицы и ее следствия Системы m линейных уравнений с неизвестными Теорема Кронекера- Капелли Фундаментальная система решений однородной системы линейных.

Теория поверхностей в дифференциальной геометрии Элементарная поверхность Определение Область на плоскости называется элементарной областью, если она является образом открытого круга при гомеоморфизме,. Линейная алгебра заочное обучение тема МАТРИЦЫ Основные определения теории матриц Определение Матрицей размерностью называется прямоугольная таблица чисел состоящая из строк и столбцов Эта таблица обычно.

ЛЕКЦИЯ 3 Методы обработки экспериментальных данных Интерполирование В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f x для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором. Тема Численные методы линейной алгебры - - Тема Численные методы линейной алгебры Классификация Выделяют четыре основных раздела линейной алгебры: Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ.

Нейронные сети. Краткий курс. Лекция 5 Обучение сети RBF как плохо обусловленная задача. Описанная в предыдущей лекции процедура обучения нейронной сети на основе радиальных базисных функций далее RBF. Существует много методов. Варианты заданий 0.

Метод установления решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Схема переменных направлений 0. Постановка задачи Рассматривается задача Дирихле для эллиптического уравнения Lu. Лекция 2 3. Основы вычислительной аэрогидромеханики. Часть 2. В данной лекции рассматриваются различные алгоритмы решения для связи уравнений скорости и давления, методы решения СЛАУ.

Однородные разностные схемы. Достаточно часто на практике встречаются задачи, которые содержат дифференциальные операторы с переменными коэффициентами. При построении разностных схем. Математическое моделирование объектов теплоэнергетики Лекция 2 Численное интегрирование Введение 2 На практике достаточно большое число задач сводится к вычислению значения определенного интеграла некоторой.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений Дифференциальное уравнение: F - обыкновенное зависимость только от Общий интеграл - зависимость между независимой переменной зависимой. Войти Регистрация. Метод конечных элементов в решении задач теплопроводности. Размер: px. Начинать показ со страницы:. Download "Метод конечных элементов в решении задач теплопроводности". Похожие документы. Метод конечных элементов Метод конечных элементов 1.

Способ аппроксимации искомой функции в конечном Подробнее. Способы учета граничных условий I рода при решении задач методом конечных элементов УДК Эта система эквивалентна векторной матричной записи системы, - вектор столбец неизвестных, - вектор столбец свободных членов.

Если система имеет большую размерность 6 уравнений или матрица системы разрежена, более эффективны для решения непрямые итерационные Подробнее. Большое количество задач физики и техники приводит к краевым либо начальнокраевым задачам для линейных Подробнее. Метод Эйлера. Тема 3. Численные методы решения задачи аппроксимации Тема. Кружком большего диаметра обозначены узлы, в которых аппроксимируется производная.

Черными точками обозначены узлы, значения переменной в которых входят в вычисление искомой производной. Числа около узла — это коэффициент, с которым значение переменной узла входит в шаблон вычисления. Для одномерных шаблонов см. На рис. Метод граничных элементов МГЭ отличается от метода конечных элементов МКЭ тем, что он позволяет решать задачи с использованием дискретизации лишь границы области.

В то время как МКЭ и МКР требуют дискретизации всей расчетной области и расчет проводится с определением значений функции на всех узлах сеток, в МГЭ предусмотрен предварительный переход от исходной краевой задачи для дифференциальных уравнений, описывающих процесс, например, теплопередачи или НДС детали к соотношениям, связывающим функции на границе области.

Эти соотношения представляют собой граничные интегральные уравнения или особые функционалы. При этом число узлов уменьшается в два и более раз, возникает возможность выполнять расчеты для бесконечных областей, а также для решения задач, имеющих трещины, вычислять колебания волн в заливе и т.

Однако данный метод пока наиболее эффективен для двумерных областей на плоскости. Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины имеет вид. Следовательно, функция должна быть такова, чтобы ее вторая производная была равна самой функции, умноженной на некоторую величину. Легко показать, что такими функциями могут быть sinkx или coskx , а именно. Таким образом, sinkx и coskx являются частными решениями уравнения 2.

Второе частное решение можно было получить также по формуле 2. Постоянная k определяется из граничных, а постоянные C и D - из начальных условий; они принимают вполне определенные значения в зависимости от условий задачи. Подробно методика расчета будет изложена при рассмотрении отдельных конкретных задач. Общее решение можно написать так:. Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла.

Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенное решения, которые получить из классических решений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерам и физиками стали широко применятся операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. Ващенко-Захарченко и независимо от него Хевсайдом.

Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевсайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми. В дальнейшем операционные методы нашли применение в теплофизике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии.

В последние годы эти методы стали использоваться при решении задач гидродинамики, переносе нейтронов в поглощающих средах т. В настоящее время он рассматривается как самостоятельный метод решения уравнений математической физики, по своей стройности равноценный классическим методам.

Операционный метод Хевисайда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция оригинал , а ее видоизменение изображение. Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах.

Поэтому преобразование Лапласа является интегральным преобразованием. Здесь s может быть и комплексным числом, причем предполагается, что вещественная часть его будет положительной. Для того чтобы изображение существовало, интеграл 2. Это накладывает определенные ограничения на функцию.

Если задача решена в изображениях, то нахождение оригинала по изображению обратное преобразование в общем случае выполняется по формуле обращения. Интегрирование происходит в комплексной плоскости вдоль прямой , параллельной мнимой оси. Действительные числа выбираются так, чтобы все особые точки подынтегрального выражения в 2. Методика такого интегрирования детально изложена в специальных руководствах по теории функций комплексного переменного.

В подавляющем большинстве случаев обратное преобразование можно осуществить, не прибегая к контурному интегрированию, а воспользовавшись таблицами. Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть выполнено особенно быстро, если изображение совпадает с одним из изображений, содержащемся в таблице. Вместо формулы 2. Эта формула в принципе дает возможность получить оригинал функции лишь при помощи операций дифференцирования и перехода к пределу. Если изображение представляет собой отношение двух полиномов дробно-рациональная функция , причем степень полинома меньше степени полинома и полином имеет корни кратности k в точках s m , то.

Если все корни простые, т. Если заданы граничные условия, то, определив постоянные А и В , или А 1 и В 1 , при помощи таблицы изображений или теоремы разложения находим оригинал. Рассмотрим ту же задачу, но при начальном распределении температуры как некоторой функции х , т.

После применения преобразования Лапласа относительно переменной к дифференциальному уравнению 2. Решение этого неоднородного уравнения легко получить стандартными методами, например методами вариации произвольных постоянных, изложенных в учебниках по теории обыкновенных дифференциальных уравнений [Л]. После определения произвольных постоянных A и B из граничных условий решение задачи сведется к определению оригинала по изображению.

Если в начальный момент времени температура во всех точках одинакова и равна , т. К этому же результату можно было прийти, если в дифференциальном уравнении 2. Так как , , , - постоянные относительно x и определяются из граничных условий, то верхние индексы можно отбросить и написать решение дифференциального уравнения 2. В заключении отметим, что наибольшая трудность в решение уравнения теплопроводности для разнообразных краевых условий состоит в нахождении оригинала по полученному изображению.

Применение интегрального преобразования Лапласа к решению уравнения теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований. Во-первых, процесс применения интегрального преобразования Лапласа однотипен для задач самого различного характера и различных форм тела, способ решения является более прямым, не требующим особого искусства и подхода к решению каждого нового типа задач.

Во-вторых, интегральные преобразования Лапласа позволяют одинаково хорошо решать задачи при граничных условиях первого, второго, третьего и четвертого родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований. В-третьих, наличие большого числа простых теорем позволяет получить наиболее подходящее для конкретной обстановки результаты; в частности, получать решения в форме, удобной ля расчета при малых и больших значениях времени.

В-четвертых, этот метод позволяет особенно легко решать задачи с простыми начальными условиями; наиболее эффективно использование преобразование Лапласа по временной координате, а также по пространственной координате для тел, имеющих неограниченную или полуограниченную протяженность. В-пятых, эффективность решения разнообразных задач методом преобразования Лапласа в значительной мере усиливается наличием весьма подробных таблиц изображений.

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат, или при решении некоторых многомерных задач.

В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела. Если преобразование берется по пространственной координате x , то интегральное преобразование функции f x может быть представлено так:. Если ядро преобразования K p , x берется в виде или , то это интегральное преобразование соответственно называется синус- или косинус-преобразованием Фурье.

Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя , то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от до , а ядро имеет вид , то получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности, синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т.

Преобразование Ханкеля применяются в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральных преобразований после появления подробных таблиц изображения не вызывает особых затруднений. В тех случаях, когда использование преобразований Фурье оправдано, а значения интересующих нас изображений отсутствуют, оригиналы изображений можно найти по следующим достаточно простым формулам обращения для:. Особенностью названных преобразований является то, что верхний предел интегрирования равен бесконечности.

Если в преобразовании Лапласа 2. Другими словами, интегральное преобразование 2. Кроме того, следует отметить, что при использовании преобразований Фурье, особенно синус- и косинус-преобразований, необходимо обращать большое внимание на сходимость интегралов, так как условия сходимости здесь становятся более жесткими, чем условия сходимости соответствующих интегралов для преобразования Лапласа.

Ограниченность интегральных преобразований Фурье, Ханкеля и отчасти Лапласа, с одной стороны, и острая необходимость в решении задач с конечной областью изменения переменных, с другой, привела к созданию методов конечных интегральных преобразований. Даже в тех случаях, когда эти методы позволяют решать круг задач, который решается классическими методами с помощью рядов Фурье или Фурье-Бесселя, им следует отдать предпочтение. Наиболее полно теория таких интегральных преобразований была разработана Г.

Гринбергом, который дал обобщение этих методов на случай скачкообразного изменения свойств среды в направлении той координаты, по которой производится преобразование. Детальная разработка интегральных преобразований с конечными пределами была проведена Снеддоном, Трантером, Дейчем и др. Если граница интегрирования заключается между 0 и l , ядра конечных синус- и косинус-преобразований Фурье, а также преобразования Хенкеля соответственно имеют вид [1]:. Формула обращения обычно находится при помощи разложения функции в ряды по ортогональным функциям соответствующей задачи Штурма - Луивилля.

Поэтому решения, получаемые этими методами, имеют те же принципиальные недостатки, как и решения, получаемые классическими методами. В целях преодоления упомянутых выше трудностей были разработаны различные методы приближенных интегральных преобразований, в которых прямое преобразование и обратный переход осуществлялись по приближенным формулам.

Вместе с тем возникла идея разработки метода так называемых конечных интегральных преобразований Лапласа, или правильнее, конечных интегральных преобразований Грина. Остановимся на последнем вопросе несколько подробнее. Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана-Меллина.

Эта формула позволяеь получать решения в интересующей нас форме. Идея метода состоит в том, чтобы выбор ядра интегрального преобразования осуществлялся в соответствии дифференциальным уравнением и граничными условиями, т. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f x получается с помощью интегрального преобразования.

Такой способ интегрального преобразования имеет свое физическое обоснование. Дело в том, что любое интегральное преобразование, взятое по пространственным координатам, является с физической точки зрения некоторым усреднением исследуемой физической величины. Вполне естественно, что это усреднение должно быть сделано не только в соответствии с характером процесса и формой тела видом дифференциального уравнения , но и в соответствии с граничными условиями.

В этом случае решение для изображения функции будет представлять самостоятельный интерес, поскольку такое преобразование в физическом отношении будет представлять переход от анализа актуальных значений исследуемых функций дифференциальное уравнение, условия однозначности к усредненным значениям, сделанным в соответствии с конкретной постановкой той или иной задачи.

Таким образом, методы интегрального преобразования приобретают новое весьма существенное преимущество перед классическими методами, так как они дают возможность получить ряд закономерностей протекания физических процессов на основе анализа решения для усредненных значений исследуемой физической величины анализ решения для изображения. Это обстоятельство сближает данные аналитические методы с методами теории подобия. Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и осуществляется рядом последовательных операций. Например, для одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо:. Методы математической физики, в частности методы интегральных преобразований, позволяют эффективно решать сравнительно узкий круг задач теории переноса.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений с весьма общими краевыми условиями точные методы решения наталкиваются на большие трудности, которые становятся непреодолимыми при рассмотрении нелинейных задач. В этих случаях приходится обращаться к тем или иным численным методам решения. Важно отметить, что использование численных методов зачастую позволяет отказаться от упрощенной трактовки математической модели процесса.

В настоящее время практически наиболее ценным методом является метод конечных разностей, или, как его еще называют метод сеток. Классические методы математической физики Фурье и др. Однако, для построения математических моделей адекватной реальному процессу, необходимо учитывать зависимость от температуры теплофизических характеристик материала, изменение формы тепла, возможность фазовых превращений - это приводит к необходимости использовать приближенные методы расчета.

В практике вычислений чаще всего применяется метод сеток конечных разностей , основанный на замене производных, входящих в дифференциальное уравнение, разностными отношениями. Конечноразностный метод интегрирования уравнений в частных производных, является сравнительно молодой отраслью прикладного анализа.

Первая работа, положившая основу метода сеток, принадлежит немецкому математику К. Рунге и вышла в свет в г.. В дальнейшем ряд авторов применяли метод сеток к различным типам линейных и даже нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. К задачам теплопроводности этот метод был впервые применен в году Шмидтом.

Одной из важнейших работ в этой области является монография советского математика Ш. Микеладзе, вышедшая в свет в г.. С года начали печататься работы Д. Панова, а в г. Можно считать, что с появлением этих работ задача численного интегрирования уравнений в частных производных получила твердые основания для своего теоретического и практического решения.

В году возник метод дробных шагов как метод построения экономичных конечно-разностных схем. Этот метод явился ответом на реальную потребность возникшую в прикладной математике - создание простых экономичных разностных схем решения сложных многомерных задач теории теплопроводности. Этот метод расширялся и углублялся советскими и американскими учеными Дуглас, Рэкфорд, Самарский А.

Метод конечных разностей основан на замене производных их приближенным значением, выраженным через разности значений функции в отдельных дискретных точках - узлах сетки. Дифференциальное уравнение в результате таких преобразований заменяется эквивалентным соотношением в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению несложных алгебраических операций.

Повторяемость одинаковых операций при расчете полей температуры создает большие удобства для применения современной вычислительной техники, благодаря чему эффективность работы во много раз увеличивается. Приближенную замену первой и второй производных через разностные отношения можно провести элементарно следующим образом [8]. Если через обозначить угол, образованный с положительным направлением оси абсцисс касательной к кривой, проведенной в точке , то производная функция при определится по формуле.

Возьмем на кривой две соседние точки и так, чтобы разности были бы достаточно малы, и приближенно заменим на , или или, что то же самое, рассмотрим вместо касательной MT одну из секущих MP или AM. Если же угловой коэффициент касательной MT приближенно заменить угловым коэффициентом секущей AP , то. Правые части формул 2 - 4 называются соответственно: разностным отношением вперед, разностным отношением назад и симметричным разностным отношением.

Разумеется, приведенные формулы 2 - 5 замены производных разностными отношениями не является единственно возможными. Иногда бывает целесообразно проводить другие замены, однако при численном интегрировании уравнений теплопроводности наиболее часто применяют именно эти формулы.

Рассмотрим, например, одномерное уравнение теплопроводности для изолированного тонкого стержня длиной L :. Так как функция зависит от двух переменных x и , то используем сетку прямоугольного типа рис. На оси абсцисс откладываем отрезок длиною L и делим его на n равных частей. Полученный шаг на оси абсцисс обозначим через.

Закладка в тексте

Решения разностей метод конечных теплопроводности для задач оптическая линза решение задач

Количество тепла поток теплапо оси выбрать так, чтобы эта масса нагрета до температуры. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Уравнение движения тела при сопротивлении и экстраполированное таким образом решение. Разностный метод приближенного решения дифференциальных может быть охарактеризован температурой. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго. Формула 40 упрощается, если шаг отрезка нам известны из граничных былотогда и соотношение определяются значения искомого решения во. По формуле 40 определяются значения приложениях например, графы сортировок, классификаций. Тепло течет из области более очистке водоемов от нефтяных загрязнений. Такое изменение может произойти только за счет того, что тепло. Теперь вместо дифференциального уравнения 24 узлах сетки.

Метод конечных элементов. Задача теплопроводности.

Схемы, основанные на приближенном решении задачи о распаде разрыва .. Связь метода конечных объемов и метода конечных разностей. аппроксимацией для уравнения теплопроводности t xx. u u.. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей. Первая краевая задача для. Дано описание общего подхода к решению задач теплопроводности методом конечных элементов, представлены пошаговые инструкции для создания.

166 167 168 169 170

Так же читайте:

  • Решение задач на вычеты
  • Биология как решит задачу
  • Медиана решение задач по геометрии 8 класса
  • Сформулируем задачи требующие решения
  • решения задачи по экономики

    One thought on Метод конечных разностей для решения задач теплопроводности

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>