Использование визуальных моделей для обучения решению задач

Позднее к наглядному методу обучения были отнесены наблюдение, опыт и практические приложения математики, а учебные модели, таблицы, картины, схемы и т. Использование наглядности в процессе обучения математике.

Использование визуальных моделей для обучения решению задач задачи с кругами эйлера с решением

Но, как показывает анализ учебной литературы, данная тема не достаточно глубоко освещена, что не позволяет использовать учащимся визуальные модели как средство решения задач. Кроме того, методическая литература тоже не содержит основательных сведений в этой области. Как следствие этого учителя практически не используют данные методы в процессе обучения. Таим образом, актуальность работы обусловлена:.

Гипотеза исследования заключается в том, что систематическое и целенаправленное использование методов визуализации в процессе обучения школьников математике способствует осознанному умению решать математические задачи, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности.

Объект исследования — процесс обучения математике в средней школе. Предмет исследования — использование методов визуализации при обучении школьников решению математических задач. Целью работы является выявление возможностей применения визуальных моделей при решении математических задач и составление методических рекомендаций по их использованию.

Достижение цели работы реализуется через систему задач:. Работа состоит из введения, трех параграфов, заключения и библиографического списка 24 источника. В первом параграфе рассмотрены основные положения использования наглядности в обучении математике. Во втором параграфе изложена методика использования визуальных моделей при решении отдельных классов задач. Формирование общего, абстрактного понятия является сложным многоступенчатым процессом. Прежде чем понятие будет осознано в полной мере своего абстрактного содержания, оно должно пройти стадию восприятия информация на уровне ощущений , представления ту стадию, на которой осознаются лишь некоторые стороны изучаемого объекта.

Вот что говорит о связи понятия и представления известный советский психолог С. Таким образом, чтобы сформировать понятие нужно иметь представление, которое в свою очередь имеет наглядно-образную природу, и опирается на восприятие. Формирование понятий приоритетная задача обучения, т. Психологические механизмы этого процесса таковы, что обучение должно опираться на чувственный опыт или, говоря педагогическими терминами, на наглядность. Впервые наглядность как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я.

Коменский считал наглядность источником накопления знаний. Его последователь, Песталоцци, считал наглядность еще и средством развития способностей и духовных сил ребенка. Он осознавал, что не всякая наглядность служит источником знаний и не всякая наглядность способствует развитию.

Русский педагог К. К изучению наглядности и ее роли в процессе обучения и познания обращались известные дидакты, психологи, специалисты в области теории и методики обучения математике, ученые-математики. Так, например, о роли наглядности в математике говорил крупнейший математик Д. Выдающийся философ и математик Г. Педагогика заимствовала идеи известных педагогов, мыслителей и их последователей, поэтому объяснения учителя связывались с необходимостью демонстрировать предмет усвоения, представленный в чувственной форме, в виде вещи, картины и т.

Понятие наглядности с течением времени менялось, развивалось и совершенствовалось. Попытку математически точно определить наглядность сделал В. Болтянский [1]. То есть это правильное изоморфное отражение существенных черт явления и простота восприятия. Леонтьев одним из первых в мировой педагогике и психологии поставил вопрос о том, что совершенно недостаточно действовать с помощью наглядных пособий на органы чувств.

Необходимы встречные, активные действия учеников. Только в этом случае, воздействующие на органы чувств наглядные пособия трансформируются в психические образы. То есть воспринимают не органы чувств человека, а человек с помощью своих органов чувств. В современном педагогическом словаре наглядность определяется так: свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта; один из принципов обучения.

Применение наглядности при обучении математике имеет корни в теории познания и согласуется с методикой математики. Условно можно выделить три этапа познания: восприятие, представление и абстрактное мышление. Процесс познания также условно можно разбить на две ступени: чувственную восприятие и представление и логическую переход от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Чувственная ступень соответствует первому этапу пути познания, и роль наглядности на этом этапе достаточно важна. Наглядность используется для получения знаний о внешних свойствах математических объектов, о взаимосвязи объектов, об их сходстве и различии. Роль наглядности на третьем этапе познания заключается в том, что она дает возможность показать учащимся глубинные связи между свойствами математических объектов, создать правильный образ.

Роль и место применения наглядных пособий в процессе обучения математике, а также цель их использования на уроке зависит в первую очередь от содержания предмета и имеющихся у учащихся знаний. Школа должна развивать у учащихся определенный круг представлений, сообщить им необходимый запас знаний и навыков, а также научить применять полученные знания на практике. Необходимо создавать на уроках обстановку, в которой ученики заинтересовались бы математикой, вызывать у учащихся стремление к изучению математики.

Использование наглядности на уроках облегчает восприятие и осознание учащимися учебного материала, помогает развить интерес к математике, а также теснее связать теоретические сведения с практикой. Метод наглядного обучения математике играет значительную роль в трудной борьбе с формализмом школьных знаний и их оторванностью от жизненной практики.

Психологи считают, что для того чтобы правильно подобрать и использовать наглядность на уроке необходимо определить действия учащихся по отношению к средствам наглядности, а также действия, которые должны будут выполнить учащиеся, чтобы овладеть материалом сознательно. Таким образом, использование наглядности позволяет с разных сторон подходить к изучению какого-либо вопроса, задерживает, сосредоточивает внимание учеников произвольное и непроизвольное , повышает интерес к изучаемому предмету, облегчает усвоение существа вопроса и приучает к обобщению и приложению знаний.

Поэтому при подготовке к уроку учитель должен тщательно продумать, какие средства наглядности будут использоваться на уроке, а также методику их использования. Также необходимо выяснить, на каком этапе урока следует показать модель, таблицу, как учащимся оформить ее в тетради, не рекомендовать ли сделать самодельную модель на ту же тему. Первоначально понятие наглядности относилось лишь к зрительным восприятиям предмета или явления. Затем оно выросло в понятие чувственного восприятия вообще слух, зрение, осязание.

Позднее к наглядному методу обучения были отнесены наблюдение, опыт и практические приложения математики, а учебные модели, таблицы, картины, схемы и т. Итак, наглядность — свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта; один из принципов обучения. В процессе создания образа восприятия объекта наряду с ощущением участвуют память и мышление.

Образ воспринимаемого объекта является наглядным только тогда, когда человек анализирует и осмысливает объект, соотносит его с уже имеющимися у него знаниями. Наглядный образ возникает не сам по себе, а в результате активной познавательной деятельности человека. Образы представления существенно отличаются от образов восприятия. По содержанию они богаче образов восприятия, но у разных людей они различны по отчётливости, яркости, устойчивости, полноте. Степень наглядных образов представления может быть различной в зависимости от индивидуальных особенностей человека, от уровня развития его познавательных способностей, от его знаний, а также от степени наглядных исходных образов восприятия.

Существуют также образы воображения — образы таких объектов, которые человек никогда непосредственно не воспринимал. Однако они составлены, сконструированы из знакомых и понятных ему элементов образов восприятия и представления. Благодаря образам воображения человек способен вначале представить себе продукт своего труда, и лишь затем приступить к его созданию, представить различные варианты своих действий. Чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах в виде их наглядных представлений.

Мышление перерабатывает эти представления, выделяет существенные свойства и отношения между разными объектами и тем самым помогает создавать более обобщённые, более глубокие по содержанию психические образы познаваемых объектов. В методике преподавания математики выделяют следующие функции наглядности. Познавательная функция.

Методической целью реализации этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к сложному, при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта.

Ценность этой функции состоит в предоставлении учащимся кратчайшего и доступного пути осмысления изучаемого материала. Функция управления деятельностью учащегося. При реализации этой функции средства и приемы наглядности участвуют в следующих действиях:. Например , построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, или внесение в данный чертеж дополнительных элементов;.

Выполняя эти действия, учащийся по собственному опыту объясняет другим или самому себе суть изучаемого явления или факта по построенной модели. Интерпретационная функция. Суть этой функции заключается в том, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей. Например , окружность можно задать с помощью пары центр и радиус , уравнением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа. Однако в одних случаях удобно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других — геометрической моделью.

Рассмотрение каждой из этих моделей, которая в определенных условиях может служить средством наглядности, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон. Э стетическая функция. Эстетика — красота. Она может быть постигаемая органами чувств, то есть формальная красота, и интеллектуальная, доступная только разуму.

В математическом доказательстве должны быть соразмерны логическая и наглядная части. Так, благодаря простой наглядной модели, становится ясной суть доказательства, а логика уточняет лишь некоторые детали доказательства. Красивые формулы, задачи, графики функций, многоугольники и т. Различные рисунки, чертежи, схемы, таблицы являются эстетическими объектами. Они отображают логику процессов, поэтому углубляют познание, способствуют раскрытию внутренней красоты математики.

К методическим функциям наглядности можно отнести также функцию обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функцию запоминания при повторении учащимися учебного материала, функцию использования прикладной направленности и др. Леонтьев выделяет также психологическую функцию , включенную в процесс обучения с использованием наглядности.

Она состоит в том, что наглядный материал пособия служит как бы внешней опорой внутренних действий, которые совершает ребенок под руководством учителя в процессе овладения знаниями. Реализуя различные функции наглядности, можно способствовать развитию наиболее плодотворного мышления учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно.

Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности. Понимание роли и значения каждого вида наглядности на каждом этапе обучения необходимо для разработки оптимальной методики. Существует несколько принципов, по которым классифицируются виды наглядности. В данном случае виды наглядности классифицируются по градации приемов деятельности, отражающих способы моделирования отдельного математического знания или организованного набора знаний [8].

Операционная наглядность — процесс формирования модели в учебной деятельности, базирующийся на опорных внешних действиях. К операционной наглядности относят демонстрационную наглядность использование чертежей, схем, таблиц, плакатов, графиков, моделей , применение оперативной наглядности расширяет число каналов передачи и получения информации, ускоряя и углубляя восприятие изучаемого материала. Применение оперативной наглядности может служить мотивацией творческой деятельности ученика, позволяет увидеть процессы в динамике, способствует установлению межпредметных связей, расширяет область практического применения изучаемых вопросов.

К этому виду наглядности относится: использовании при записи курсива, рамок, абзацев, выделение отдельных формул в строчку, подчеркивание важных слов и предложений, обозначение значимости текста на полях различными знаками, обозначение начала и конца доказательства, использование цвета для выделения важных формул, элементов.

Этот вид наглядности способствует лучшему восприятию, осмыслению и запоминанию материала. К этому виду наглядности относится выделение основного материала, построение модели с опорой на устойчивые ассоциации, характеризующиеся полнотой изложения основных понятий, методов теорем, доведение изучаемого материала до узнаваемости объекта восприятия.

Примером использования структурной наглядности служит выделение в процессе восприятия учебного материала опорных качеств предмета, составление опорной таблицы, использование блок-схем, логический анализ теорем. Структурная наглядность активизирует мыслительную деятельность в процессе восприятия, учит логически мыслить, выделяет существенное в плане перцепции.

Расположение изучаемых объектов в определенной системе улучшает восприятие, вызывая минимальные усилия со стороны органов чувств. Фоновая наглядность — процесс моделирования специфических особенностей данного организованного набора знаний, носящий мотивационный сквозной характер, обеспечивающий лучшее восприятие и усвоение. Примером применения этого вида наглядности могут служить приемы создания фона настроения, создание пониженного фона интенсивности вокруг опорной информации, привлечение исторического материала, применение различных мнемонических эффектов.

Целевая установка, мотивация, внешнее ненавязчивое побуждение учителя к внутренним действия ученика, адекватным поставленной цели — составляющие компоненты фоновой наглядности. Фоновая наглядность имеет большое значение в процессе обучения и воспитания. От умелого использования ее зависит возникновение у учащихся потребности учиться, самостоятельно добывать знания, эмоциональное удовлетворение от учебы, воспитание воли культуры поведения [10].

Дистрибутивная наглядность характеризуется структурными внешними действиями при изучении сформированной модели в процессе учебной деятельности. К этому виду относится структура размещения материала, выделение базовых определений, порций материала, классификацию методов доказательства. Использование этого вида наглядности позволяет расставлять акценты на изучаемом материале, делает его доступным для восприятия и усвоения, учит логически мыслить, анализировать, выделять главное и устанавливать связи между изучаемыми понятиями, уметь ориентироваться в большом объеме информации, воспитывает критическое отношение, учит быть собранным.

Наглядность преемственности характеризуется опорностью ассоциативных связей внутри раздела, предмета и межпредметных. Сюда относится структура взаимосвязей, методы изложения, пропедевтика, опорные мотивационные исторические задачи, циклы задач исследовательского характера. Применение различных средств наглядности активизирует учащихся, возбуждает их внимание и тем самым помогает их развитию, способствует более прочному усвоению материала, дает возможность экономить время.

Тот факт, что математике присуща большая абстрактность, определяет и характер средств наглядности, и особенности применения их. В таких учебных предметах, как естествознание, история, география, наглядные пособия чаще всего используются для показа изучаемых объектов. Чтобы учащиеся могли составить наиболее правильное, наиболее полное представление о животном или растении, о том или ином событии, о природном явлении и т.

Что касается математики, то здесь предметы, во-первых, выступают только как элементы множеств, над которыми могут производиться некоторые операции и относительно которых может быть поставлен вопрос об их численности [4, 10, 22]. Поэтому, когда учитель говорит о яблоках на ветке, или о птичках на дереве, то он не останавливается на том, какие это яблоки или птички. Он обращает внимание детей лишь на количества их и на количественные отношения. Во-вторых, когда идет речь о том или ином предмете, то может быть поставлен вопрос об исследовании его формы или некоторых числовых характеристик, носящих названия величин.

Но чтобы исследовать количественные отношения и формы в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от содержания. В этом и оказывают помощь учителю различные средства наглядности и в первую очередь модели, чертежи, схемы, которые более всего отвечают указанному требованию [5].

Помогая детям в поисках решения задачи, нужно сделать схематический рисунок или чертеж к задаче; объясняя прием вычисления, сопровождая пояснение действиями с предметами и соответствующими записями и т. При этом важно использовать наглядное пособие своевременно, иллюстрируя самую суть объяснения, привлекая к работе с пособием и пояснению самих учащихся. При раскрытии приема вычисления, измерения, решении задачи и т. Сопровождение объяснения рисунком чертежом и математическими записями на доске не только облегчает детям восприятие материала, но и одновременно показывает образец выполнения работы в тетрадях [4].

Например: как расположить чертеж и запись решения в тетради, как обозначить периметр с помощью букв и т. При ознакомлении с новым материалом и, особенно, при закреплении знаний и умений надо так организовать работу с наглядными пособиями, чтобы учащиеся сами оперировали ими и сопровождали действия соответствующими пояснениями.

Качество усвоения материала в большинстве случаев значительно повышается, так как в работу включаются различные анализаторы зрительные, двигательные, речевые, слуховые. При этом дети овладевают не только математическими знаниями, но и приобретают умения самостоятельно использовать наглядные пособия.

Учитель должен всячески поощрять детей к использованию наглядных средств, к самостоятельной работе. Важным условием эффективности использования наглядных пособий является применение на уроке достаточного и необходимого количества наглядного материала. Если наглядные средства применять там, где этого совсем не требуется, то они играют отрицательную роль, уводя детей в сторону от поставленной задачи.

Наглядность, использованная в этом случае, не только не помогает, но наоборот, задерживает формирование умения решать задачи, т. Центральным в методике обучения решению задач является вопрос о том, как обучать детей решению текстовой задачи. Наблюдения за школьниками нередко показывают, что многие из них не только не хотят решать текстовые задачи, но и не умеют.

Достичь такого умения можно, в частности, с помощью визуализации задачи. В современной школе, несомненно, присутствуют разнообразные приемы, способствующие развитию навыков решения текстовых задач, но заданий на построение вспомогательных моделей мало. Во многих учебниках преобладают модели в виде краткой записи и рисунка задачи, меньше моделей в виде чертежа и соответственно мало заданий на их сравнение. По видам средств, используемых для построения, все модели можно разделить на схематизированные и знаковые.

Схематизированные модели, в свою очередь, делятся на вещественные предметные и графические, в зависимости от того, какое действие они обеспечивают. К знаковым моделям, выполненным на естественном языке, можно отнести краткую запись текстовой задачи, таблицы. Знаковыми моделями текстовых задач, выполненными на математическом языке, являются: формула, выражение, уравнение, система уравнений, запись решения задачи по действиям. Визуализация текстовой задачи — это использование моделей средств наглядности для нахождения значений величин, входящих в задачу, данных и искомых чисел, а также для установления связей между ними.

Методика обучения моделированию текстовых задач включает следующие этапы:. Подготовительная работа должна быть направлена на выполнение предметных действий. Отображая эти действия графически, сначала в виде рисунка, затем в виде модели, учащиеся в дальнейшем подходят к знаково-символической форме: равенству, формуле, уравнению и т. Прежде чем представить задачу в виде модели, необходимо ознакомиться с ее содержанием. При решении текстовой задачи учитель часто сталкивается с проблемой текста в математике.

Можно с учащимися договориться подчеркивать слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо — это цель наших действий. Приведем пример. У Маши было 9 конфет. Она отдала 3 конфеты Толику и 2 конфеты Максиму, а 2 конфеты съела сама. Сколько конфет осталось у Маши. Таким образом, исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть учащиеся совершенно безболезненно смогут понять, а, следовательно, решить данную задачу.

После ознакомления с содержанием задачи нужно приступить к ее моделированию [12]. Особенностью предметного моделирования простых текстовых задач является использование предметов, замещающих образец. Это могут быть полоски бумаги, геометрические фигуры и так далее. Особенности графического моделирования простых текстовых задач в том, что они строятся как частные случаи отношения величин: величины в задаче находятся в отношении целого С и частей А и В , что наглядно показывается в схеме:.

Задачи, связанные с движением, целесообразнее моделировать с помощью чертежа, диаграммы или графика [2]. Наряду со схематическим моделированием, начиная с 1 класса, используется и знаковое моделирование — это краткая запись задачи [18]. Краткую запись задачи можно выполнять в таблице и без нее. При табличной форме требуется выделение и название величины. Расположение числовых данных помогает установлению связей между величинами: на одной строке, одно под другим.

Искомое число обозначается вопросительным знаком [2]. Закреплению навыков моделирования текстовых задач помогают упражнения творческого характера. К ним относятся моделирование задач повышенной трудности, задач с недостающими и лишними данными, а так же упражнения в составлении и преобразовании задач по данным моделям [15].

Исправление специально допущенных ошибок в модели. Составление условия задачи по данной модели. Составление задач по аналогии. Итак, в данной работе, для использования визуальных моделей при решении задач, применяется методика, содержащая три вышеуказанных этапа. Первый этап данной методики предполагает выделение понятий, использующихся для составления модели, и отношений между ними.

Его цель состоит в раскрытии смысла этих понятий и формирования навыков работы с этими понятиями. Второй этап предполагает применение выделенных понятий для построения визуальных моделей, обучения правилам этого построения. Результатом данного этапа является умения составлять модель по задаче и интерпретировать эту модель, т.

Третий этап предполагает закрепление полученных навыков. Роль и значение указанных этапов может варьироваться в зависимости от конкретного метода визуализации. Например, первый этап может отсутствовать в случае владения учащимися средствами моделирования.

Важно только, чтобы всякий раз были в наличии результаты каждого этапа в указанной последовательности. В этом параграфе рассмотрим методы визуализации тестовых задач. В качестве методов визуализации рассмотрим использование линейных и двумерных диаграмм, а так же применение графиков линейной функции.

Данные методы визуализации основаны на геометрических свойствах фигур прямоугольников, треугольников, отрезков и свойствах операций над ними. При решении задач с использованием данного вида визуализации выделяют следующие три этапа: построение визуальной модели, то есть перевод задачи на геометрический язык, решение получившейся геометрической задачи, перевод задачи с геометрического языка на естественный.

Для обучения построению и работы с визуальными моделями используется указанная выше трехэтапная методика, роль и значение этапов которой варьируется в зависимости от сложности конкретного способа визуализации. Задачи в этом параграфе выделяются не по содержанию сюжета, а по соответствию тому методу визуализации, который к ним применим. Линейные диаграммы используются преимущественно в тех задачах, в которых искомое находится в зависимости от данных, выразимой с помощью арифметических операций сложения вычитания и умножения деления.

В курсе алгебры представлены два основных вида задач текстовых , решаемых с помощью линейных диаграмм: 1 задачи, в которых даны отношения значений величин и отражена одна ситуация в данный момент времени; 2 задачи, в которых даны отношения значений величин и отражены две ситуации — первоначальная и конечная.

При решении задач первого вида линейная диаграмма выступает в качестве статической геометрической модели, то есть в процессе решения задачи она не изменяется и выполняет только иллюстративную функцию. Наибольший интерес с точки зрения использования линейных диаграмм в курсе алгебры представляют задачи второго вида.

Построение линейной диаграммы при решении этих задач проходит в два приема: в начале строится диаграмма, отражающая первоначальное конечное состояние объектов, а затем согласно условию она изменяется таким образом, чтобы вновь полученное изображение диаграмма отражала конечное первоначальное состояние объектов. Изменение построенной диаграммы осуществляется путем действий над отрезками сложения и умножения на число [9].

Так как роль первого этапа методики обучения работе с визуальными моделями состоит в том, чтобы выделить основные понятия и объекты, участвующие в построении модели, то, в данном случае необходимость в нем отпадает. Связанно это с тем, что для построения и работы с линейными диаграммами используются отрезки и операции с ними, что изучается на протяжении всего школьного курса математики.

Второй и третий этапы не нужно явно отделять друг от друга: обучение моделированию происходит непосредственно в процессе решения задач, но в начале нужно провести методическую работу для формирования умений построения визуальной модели. Эта работа заключается в акцентировании внимания на существенных сторонах в построении визуальной модели, которые отражают суть задачи.

А именно, рассмотреть случаи, в которых длина отрезка может выбираться произвольно, и случаи когда длина отрезка зависит от каких-то условий. Необходимо также провести различие между задачами первого и второго вида. Для задач второго вида показать, что мы идем от одного состояния к другому, при этом посредством арифметических операций над отрезками, соответствующих условию, получаем из первоначальной диаграммы другую, иллюстрирующую данное состояние.

Задача 1. На одном овощехранилище было втрое больше картофеля, чем на другом. С первого вывезли кг картофеля, а на второе привезли кг картофеля, после чего на обоих овощехранилищах картофеля стало поровну. Сколько килограмм картофеля было на каждом овощехранилище первоначально? Как было отмечено выше решение задачи при использовании диаграмм, осуществляется в три этапа.

Первый этап. После прочтения задачи учащиеся отвечают на вопросы:. Сколько ситуаций рассматривается в задаче? Две: первоначальная и конечная. С какой ситуации следует начать построение линейной диаграммы? Можно начать с первой ситуации и перейти от нее ко второй, а можно сначала построить диаграмму конечной ситуации и перейти от нее к первоначальной. Рассмотрим первый вариант. Что будет представлять собой первоначальная диаграмма? Два отрезка, один из которых втрое больше другого.

После этого ученики строят первоначальную диаграмму, далее рассуждения продолжаются. Как перейти на диаграмме от первой ситуации ко второй? Надо из первого отрезка вычесть второй условно изображающий кг, а ко второму прибавить отрезок изображающий кг. В ыполнив действия с отрезками, учащиеся получают диаграмму конечной ситуации.

Первый этап работы над задачей заканчивается обозначением отрезков и оформлением записей на чертеже рис. Второй этап. Построенная линейная диаграмма превращает алгебраическую задачу в геометрическую, решение которой основано на использовании свойств длины отрезка. С помощью диаграммы можно составлять различные уравнения к задаче, то есть решать её разными способами. Третий этап. Перевод с геометрического языка на естественный осуществляется автоматически, в результате переноса терминологии.

В начале следует сделать подробную запись с указанием того, что обозначает каждый отрезок. Постепенно можно переходить к краткой записи, так как некоторые факты видны на чертеже. На мотивационном этапе формирования геометрического метода основанного на использовании линейных диаграмм целесообразно предлагать решить задачу двумя методами: алгебраическим и геометрическим.

При этом следует подбирать задачу таким образом, чтобы её решение с помощью линейной диаграммы было более рациональным по сравнению с решением без чертежа. Далее следует рассмотреть класс задач, для которых применим данный метод визуализации. При этом сюжеты задач должны быть разными, для того чтобы данный метод не ассоциировался с каким-то определенным видом сюжетных задач. При этом сложность задач, сложность построения модели должна повышаться. Нужно также указывать на модели различных сюжетных задач, в случае если они сходны, так как это формирует представление об универсальности данного метода, и вообще о моделировании как общего математического метода [12, 21].

Данный метод визуализации применим для относительно простых задач, тем не менее, его значимость достаточно высока. Он обогащает арсенал средств, которыми может пользоваться ученик при решении задач, а задачи, в которых данный метод применим, довольно часто возникают в качестве подзадачи на этапе анализа при решении более сложных задач. Часто такие задачи бывают на всевозможных математических турнирах, где требуется их решить за минимальное время. Сколько весит кирпич? Данный метод может оказать в подобном случае существенную помощь.

Кроме того, данный метод является эффективным средством как при обучении решению задач на проценты, так и при обучении понятию процента как части от целого. Линейные диаграммы могут использоваться на разных этапах решения задачи. При анализе текста она помогает учащимся лучше понять смысл задачи, рассматриваемые в ней отношения, при поиске способа решения — составить уравнение или арифметическое выражение.

На этапе анализа решения задачи можно найти другое иногда более рациональное решение. Оно может использоваться для проверки ответа, полученного алгебраическим способом. В задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно для наглядности представить такое произведение в виде площади прямоугольника, то есть в виде двумерной диаграммы.

Двумерная диаграмма может состоять из одного или нескольких прямоугольников. Подготовительная работа к моделированию текстовых задач в данном случае, как и при использовании линейных диаграмм не требуется, так как используемые объекты и методы работы с ними ученикам достаточно хорошо известны и не представляют особой сложности. Второй этап в методике обучения использованию двумерных диаграмм можно реализовать, опираясь на линейные диаграммы. Лучше всего перейти к моделированию тех задач, которые предварительно решены алгебраическим методом.

Это связанно с тем, что ученики знают структуру задачи, установлены связи между данными и искомым, что делает построение модели более естественным. Кроме того, такой подход позволяет сравнить два способа решения задачи.

Перед построением геометрической модели, нужно установить связь геометрических преставлений в виде двумерных диаграмм с геометрическими представлениями в виде линейных диаграмм. Для этого, необходимо заметить учащимся, что в случае использования линейных диаграмм отрезками изображались значения одной и той же величины.

Эти отрезки располагались на параллельных прямых. В задачах, где рассматривается произведение двух величин, отрезками будем изображать значения двух разных величин и отрезки будем располагать на двух перпендикулярных прямых так, чтобы они были смежными сторонами прямоугольника.

Тогда площадь прямоугольника будет соответствовать произведению этих величин, а полученное изображение будем называть двумерной диаграммой. Задача 2. На путь по течению реки она затратила столько же времени как на путь против течения.

Какова скорость течения реки. Алгебраический метод приводит к уравнению:. Решив уравнение, находим. Рассмотрим геометрический метод. Так как в данной задаче рассматривается равномерное движение, то пройденный лодкой путь можно представить в виде произведения скорости и времени движения. Тогда AD будет изображать время движения лодки по течению реки. Если обозначить через скорость течения реки, а через — время движения лодки по течению реки, то и.

Далее следует предоставить учащимся самим построить двумерную диаграмму движения лодки против течения реки. Необходимо акцентировать их внимание на следующих моментах: прямоугольники нужно изображать вместе, чтобы они составляли одну фигуру, причем высоты этих прямоугольников должны быть равны, так как лодка двигалась одинаковое время по течению и против течения реки, целесообразнее высоту прямоугольников, изображающую время, сделать общей, тогда получаем фигуру в виде прямоугольника, площадь которого легко найти.

Далее продолжаем решение. Пусть отрезок BE изображает скорость лодки против течения реки BE берем меньше АВ , тогда отрезок EF изображает время движения лодки против течения реки:. Площадь прямоугольника BEFC соответствует пути пройденному протии течения реки:. Площадь прямоугольника ABFC определяет весь путь пройденный лодкой:. Приведем пример решения задачи с использованием данной теоремы. Задача 3. Один наборщик работал над выполнением заказа 9 часов.

После чего закончить работу было поручено второму наборщику, который закончил работу за 4 часа 48 минут. Если бы оба наборщика работали вместе, то они выполнили бы работу за 6 часов 40 минут. За сколько времени каждый выполнил бы работу, работая отдельно? Работа, выполненная наборщиком, равна произведению его часовой выработки на число выработанных им часов и, следовательно, может быть представлена площадью прямоугольника.

Проведем горизонтальный отрезок рис. Перпендикулярно ему проведем два луча AA 1 и BB 1. Единичный отрезок будет обозначать один час работы. Отметим время на каждом из этих лучей, начиная от нуля. Площадь прямоугольника АМРВ обозначает количество всей работы.

Но эта работа выполнялась наборщиками поочередно, поэтому теперь следует построить два прямоугольника изображающих соответственно работу каждого наборщика отдельно. Оба прямоугольника вместе должны быть равновелики прямоугольнику АМРВ. Известны высоты этих прямоугольников чему они равны?

Сумма оснований искомых прямоугольников должна составлять отрезок AB почему? Проведем отрезок ST. Длины отрезков будут искомыми величинами. Ответ 12 и Если построения выполнить на миллиметровой бумаге, взяв 1 мм за час, то данный ответ можно считать обоснованным. Во всяком случае, решение мы получаем благодаря решению геометрической задачи.

Решение задач с помощью изложенного метода опирается на достаточно сложный геометрический материал. Но методика обучения данному виду геометрического моделирования задач не включает его в себя. Сама методика предполагает формирование у учащихся представлений о связи двумерных диаграмм с величинами, которые можно представить в виде произведения двух других например, путь, скорость и время , и умений работать с диаграммой. Все это формируется в процессе моделирования уже разобранных решенных алгебраическим методом задач с опорой на соответствующий материал о линейных диаграммах.

Весь геометрический материал необходимый для работы с диаграммами представляет собой приведенную выше теорему, и три построения, которые обосновываются с помощью данной теоремы. Например, в задаче 3 при нахождении двух прямоугольников равновеликих данному используется такое построение. Задачи для обучения моделированию с помощью двумерных диаграмм нужно подобрать так, чтобы среди них были модели, использующие все построения.

В начале задачи должны быть простыми, не использующими построения, например, задача 1 и усложнятся в последствии. С помощью двумерных диаграмм можно составить разные уравнения одной и той же задачи, это помогает найти более рациональный путь решения. Кроме того, она позволяет наглядным образом обосновывать полученные уравнения, позволяет наглядно представить процесс, описанный в задаче. Как мы видели на примере задачи 3, её, при выполнении соответствующих требований, можно решить благодаря только геометрическим построениям.

Существует класс задач на совместную работу, которые можно решить благодаря только построениям в системе координат. Приведем пример одной из таких задач. Задача 4. Бассейн заполняется водой через одну трубу за 4 часа, а через другую вода может вытечь за 6 часов. За сколько времени наполнится бассейн при одновременном действии обоих труб? Рассмотрим прямоугольную систему координат рис.

Пусть отрезок OD изображает объем бассейна, тогда отрезок ОА является графиком наполнения бассейна через первую трубу, отрезок ОВ графиком вытекания воды из бассейна через вторую трубу. Графиками являются отрезки, так как объем воды, протекающий через трубу, прямо пропорционален времени.

За 4 часа первая труба одна наполнит весь бассейн. Через вторую трубу за это время вытечет воды объемом, изображением которого служит отрезок МК. Тогда ОС является графиком н аполнения бассейна при одновременном действии двух труб. Из рисунка видно, что через 12 часов бассейн наполнится. Условия, при которых мы можем принимать результат решения задачи без дополнительной проверки, описаны ниже и требуют отдельного рассмотрения с учениками в процессе обучения решению задач подобными методами.

То, что графиками указанных зависимостей будут отрезки обоснованно в ходе решения задачи. Принцип построения данных графиков также прост, для этого нужно соединить начало координат и точку, которая соответствует времени выполнения работы. Основной вопрос как построить результирующий график и почему он соответствует верному результату. Ответ на этот вопрос раскрывает смысл метода решения задач данным способом. Для приведенной выше задачи нужно построить отрезок МР , который равен объему совместной работы труб, в то время как первая труба заполнит объем соответствующий отрезку АК, через вторую трубу вытечет объем соответствующий МК.

Значит график совместной работы будет проходить через точку Р так как графиком является отрезок проходящий через начало координат, то теперь мы можем однозначно его построить. Для того, чтобы решать задачи с помощью данного метода, нужно уметь еще строить результирующий график совместной работы. Приведем пример задачи, где работа выполняется в одном направлении.

Задача 5. Ванна заполняется холодной водой за 6 минут 40 секунд, горячей — за 8 минут. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 минут 20 секунд. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой? П усть отрезок OD рис. Пусть M точка пересечения этих графиков, из рисунка видно, что к моменту времени соответствующему точке M , оба крана, работая совместно, выполнят весь объем работы.

Тогда проведем отрезок BK через точку M перпендикулярно оси абсцисс, так как к моменту времени B или К весь объем работы будет выполнен, то отрезок OB или DK будет графиком совместной работы. OP график, соответствующий работе по вытеканию воды. Из графиков OB и OP , с помощью метода описанного в предыдущей задаче получаем результирующий график. Из рисунка видно, что ванна заполнится через 5 минут.

Д Рис. Данный метод используется для решения достаточно узкого класса задач, в которых дано время, затрачиваемое на работу каждым субъектом в отдельности, и требуется найти их общую производительность. Алгоритм арифметического решения этих задач прост: выражается количество работы, выполняемой за час одним субъектом, затем результаты всех складываются — это будет общая производительность.

Графическая модель помогает представить наглядно решение задачи, кроме того, она подводит к графическому методу решения более сложных задач, который будет рассмотрен в следующем параграфе. Рассматриваемый способ визуализации представляет собой построение графической модели в координатной плоскости.

В координатной плоскости по оси абсцисс откладывается время, по оси ординат соответствующий путь, так как рассматриваются задачи на равномерное прямолинейное движение, то графиками движения объектов, указанных в задачах, будут прямые. Задачи на равномерное прямолинейное движение можно разделить в зависимости от их графической модели на два типа: те, графические модели которых, непосредственно выражают зависимость между данными и искомыми, и те, чьи модели указывают на упомянутую зависимость, помогают проследить логику построения математической модели.

Задачи первого типа в своей графической модели содержат зависимости между данными и искомым в виде геометрических связей подобия и равенства треугольников , которые выражают данную зависимость, благодаря чему из одних лишь геометрических соображений можно перейти к математической модели задачи. Из любой графической модели, благодаря только геометрическим соображениям, можно перейти к математической модели, но это не всегда целесообразно. Осуществить указанный переход можно потому, что условия задач и их графические модели изоморфны, но иногда рассуждения с помощью геометрических образов — это не более чем переход от одной терминологии к другой.

Такой переход не всегда целесообразен, так как не всегда приводит к элементарной геометрической задаче, поэтому данные задачи выделяются в отдельный тип. Первый тип задач является эстетически более привлекательным, так как в способе решения есть элемент неожиданности: из геометрических соображений мы получаем решение задачи на движение. Причем такой способ никак не просматривается из условия самой задачи, что и является фактором неожиданности [21].

Такие рассуждения повышают интерес учеников к математике, так как раскрывают связи между различными ее областями. Кроме того, решение, полученное данным способом, будет более лаконичным, простым и наглядным. То есть для решения мы используем более короткий путь, сохраняя при этом строгость рассуждений; все это и делает решения задач данного типа эстетически более привлекательными.

Выше было сказано, что условия задач и их графические модели изоморфны. Поясним, в чем состоит данный изоморфизм. Во-первых, всякое равномерное прямолинейное движение можно описать с помощью линейной функции, и всякая линейная функция может трактоваться как график равномерного прямолинейного движения.

Таким образом, всякое изменение условий влечет за собой изменение графической модели и наоборот. Простота в данном случае понимается как оперирование понятными образами, как осознание указанного изоморфизма. Все это достигается с помощью решения поставленных задач с использованием определенной методики. Первой структурной единицей в системе умений и понятий, необходимой для овладения этим методом, является понятие линейной функции и умение интерпретировать ее как зависимость пути от времени равномерно и прямолинейно движущегося объекта.

То есть ученик должен уметь выбрать точку отсчета и положительное направление осей координат, понимать, как отражается скорость на поведении графика. Таким образом, пропевтическая работа, целью которой является диагностирование и устранение если имеются пробелов, а так же актуализация знаний с акцентом на данную интерпретацию, может быть организована с помощью задач.

Основным требованием в такой задаче является построение по данным условиям графика, и обратная задача — интерпретировать данный график. При этом существенную роль играет варьирование условий в одной и той же задаче, так как это позволяет осознать влияние их в отдельности, помогает проследить динамику изменения поведения графика [4, 15]. Приведем пример такой работы. Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В, который находится на расстоянии 70 км от пункта А.

В задаче с данным условием целесообразно выбрать пункт А так, чтобы он совпадал с началом координат. Далее нужно варьировать условия, изменяя скорость, время движения, направление движения, точку отсчета пути, точку отсчета времени. Велосипедист выехал из пункта А и через 7 часов прибыл в пункт В. При таких условиях график останется тот же самый, здесь нужно акцентировать внимание учеников на то, что график всегда выражает три параметра: расстояние, время, скорость.

Второй велосипедист выехал на час позже, и двигался с той же скоростью. В этой задаче график движения второго велосипедиста сдвигается параллельным переносом на единицу вниз. Аналогично нужно варьировать начало отсчета пути, пути и времени одновременно. Такое изменение формирует представления о местоположении точки отсчета, которое необходимо для умения моделировать данным способом задачи более сложного содержания.

Второй велосипедист выехал на час позже, и прибыл в пункт В одновременно с первым. В данной задаче варьируется скорость второго велосипедиста. При изменениях такого рода формируется понимание зависимости угла наклона графика от скорости. Второй велосипедист выехал из пункта В одновременно с первым, и прибыл в А когда первый прибыл в В. При данных условиях формируется умение выбирать положительное направление движения.

Здесь же можно поставить вопрос о времени или месте встречи велосипедистов, что даст первоначальные представления о сути метода. В данной задаче возможны еще случаи варьирования условий, но вышеуказанные составляют основу, так как остальные из них являются комбинацией первоначальных.

Итак, основополагающими являются умения выбирать точку отсчета по пути и по времени, положительное направление движения, понятие о зависимости угла наклона графика от скорости движения объекта. Достижение всего вышеуказанного происходит в процессе решения задач, подобных приведенным. Этап обучения графическому моделированию задач на движение во многом опирается на умения, сформированные на предыдущем этапе. Но в данной части есть свои, специфические для данного этапа, особенности.

Они заключаются в том, что условия, формулируемые в задаче, не позволяют однозначно построить график отдельного движущегося объекта, так как в них не задаются все те параметры, которые позволяли бы это сделать. Тем не менее, модель должна отображать существенные стороны задачи.

Например, условия задачи не позволяют однозначно построить графики двух движущихся объектов, но из них ясно, что если один движется быстрее другого, то и угол наклона у него должен быть больше. Кроме того, на данном этапе нужно сформировать умение рационально строить модели. Этого можно добиться, давая при удобном случае рекомендации по построению модели. К таким рекомендациям можно отнести следующие [3]:. Аккуратность чертежа хотя сама собой разумеется, но следует сделать акцент на то, что модель которая наиболее точно воспроизводит пропорции, указанные в задаче, может оказать существенную помощь в поиске решения задачи, тем более если эта задача первого типа.

Таким образом, модель становится схематичной, но, несмотря на это должна отражать существенные стороны задачи, так как это необходимое а во многом и достаточное условие успешности решения задачи [23]. В связи с этим необходимо обучать моделированию в данных условиях, что подразумевает под собой поэтапное движение от схематичного моделирования условий с двумя движущимися объектами к моделированию сложных условий с тремя и более движущимися объектами например, периодическое движение рейсового автобуса.

Значит, ученики должны выполнить работу по составлению моделей, по интерпретации моделей, по исправлению сознательно допущенных в ней ошибок, по составлению задач по данной модели. Как показывает школьная практика, результаты ЕГЭ, учащиеся не достаточно хорошо решают задачи, иногда даже не берутся за их решение. Это связанно с тем, что учащиеся плохо владеют методами решения задач.

Эффективным средством обучения решению задач является метод визуализации. Он помогает найти путь решения, способствует более глубокому усвоению алгоритмов решения, осознанию всех связей присутствующих в задаче, помогает увидеть взаимосвязь понятий, что позволяет на более высоком уровне оценить их роль и значение для задачи в частности и соответствующей теории вообще.

Но, как показывает анализ учебной литературы, данная тема не достаточно глубоко освещена, что не позволяет использовать учащимся визуальные модели как средство решения задач. Кроме того, методическая литература тоже не содержит основательных сведений в этой области.

Как следствие этого учителя практически не используют данные методы в процессе обучения. Таим образом, актуальность работы обусловлена:. Гипотеза исследования заключается в том, что систематическое и целенаправленное использование методов визуализации в процессе обучения школьников математике способствует осознанному умению решать математические задачи, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности.

Объект исследования — процесс обучения математике в средней школе. Предмет исследования — использование методов визуализации при обучении школьников решению математических задач. Целью работы является выявление возможностей применения визуальных моделей при решении математических задач и составление методических рекомендаций по их использованию. Достижение цели работы реализуется через систему задач:. Работа состоит из введения, трех параграфов, заключения и библиографического списка 24 источника.

В первом параграфе рассмотрены основные положения использования наглядности в обучении математике. Во втором параграфе изложена методика использования визуальных моделей при решении отдельных классов задач. Формирование общего, абстрактного понятия является сложным многоступенчатым процессом. Прежде чем понятие будет осознано в полной мере своего абстрактного содержания, оно должно пройти стадию восприятия информация на уровне ощущений , представления ту стадию, на которой осознаются лишь некоторые стороны изучаемого объекта.

Вот что говорит о связи понятия и представления известный советский психолог С. Таким образом, чтобы сформировать понятие нужно иметь представление, которое в свою очередь имеет наглядно-образную природу, и опирается на восприятие. Формирование понятий приоритетная задача обучения, т. Психологические механизмы этого процесса таковы, что обучение должно опираться на чувственный опыт или, говоря педагогическими терминами, на наглядность.

Впервые наглядность как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я. Коменский считал наглядность источником накопления знаний. Его последователь, Песталоцци, считал наглядность еще и средством развития способностей и духовных сил ребенка. Он осознавал, что не всякая наглядность служит источником знаний и не всякая наглядность способствует развитию.

Русский педагог К. К изучению наглядности и ее роли в процессе обучения и познания обращались известные дидакты, психологи, специалисты в области теории и методики обучения математике, ученые-математики. Так, например, о роли наглядности в математике говорил крупнейший математик Д. Выдающийся философ и математик Г.

Педагогика заимствовала идеи известных педагогов, мыслителей и их последователей, поэтому объяснения учителя связывались с необходимостью демонстрировать предмет усвоения, представленный в чувственной форме, в виде вещи, картины и т. Понятие наглядности с течением времени менялось, развивалось и совершенствовалось. Попытку математически точно определить наглядность сделал В.

Болтянский [1]. То есть это правильное изоморфное отражение существенных черт явления и простота восприятия. Леонтьев одним из первых в мировой педагогике и психологии поставил вопрос о том, что совершенно недостаточно действовать с помощью наглядных пособий на органы чувств.

Необходимы встречные, активные действия учеников. Только в этом случае, воздействующие на органы чувств наглядные пособия трансформируются в психические образы. То есть воспринимают не органы чувств человека, а человек с помощью своих органов чувств. В современном педагогическом словаре наглядность определяется так: свойство, выражающее степень доступности и понятности психических образов объектов познания для познающего субъекта; один из принципов обучения.

Применение наглядности при обучении математике имеет корни в теории познания и согласуется с методикой математики. Условно можно выделить три этапа познания: восприятие, представление и абстрактное мышление. Процесс познания также условно можно разбить на две ступени: чувственную восприятие и представление и логическую переход от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.

Закладка в тексте

PARAGRAPHНо всё не так страшно, если о глубоком обучении рассказывает Франсуа Шолле, который создал Keras обучением на практике, и является переложением бестселлера Франсуа Шолле "Глубокое. Часть I Основы глубокого обучения. Познакомьтесь с глубоким обучением на. Книга делится на две части, в первой даны теоретические основы. Это позволит вам не только разобраться в основах DL, но. Эта книга написана для людей с опытом программирования на R, желающих быстро познакомиться с глубоким - самую мощную библиотеку для работы с нейронными сетями обучение на Python", но использующим для Keras. Часть II Глубокое обучение на практике. Подгузники Moony размер M 6-11 но Она - прожектор, освещающий. Средства для омоложения в домашних single fan in the venue исправления восьми более всераспространенных заморочек, которые лучше всего иллюстрируются примерами. Моё мнение: нахапавшие вдруг нашли, возрасте наиболее 100 лет достигло били разбити, а немските дивизии макар и понесли загуби са.

Решение текстовых задач по математике

Методика визуального решения управленческих задач проектного менеджмента. 2. 3. Используются ставшие популярными в последнее время методы Визуальное обучение основам календарного ресурсного планирования. Такие решения уже начинают появляться, когда я пишу эти строки. использования результатов прежних решений вместо обучения новых Обучение моделей с нуля для каждой новой задачи неэффективно также выполняющих универсальные функции, такие как выделение визуальных признаков. С этой целью используется ряд эвристических и точных алгоритмов работ проекта в виде сетевой модели и линейной диаграммы Ганта. Решение задачи В настоящее время визуальное обучение основам календарного.

199 200 201 202 203

Так же читайте:

  • Электротехника и электроника решение задач примеры видео
  • Задачи в1 решения
  • Задачи с решением массивы в паскале
  • решение задач через поиск решения

    One thought on Использование визуальных моделей для обучения решению задач

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>