Симплекс метод для решения задач лп

В четвёртой симплексной таблице новую базисную переменную записываем первой строкой. Переходим к новой итерации.

Симплекс метод для решения задач лп урок системы счисления решение задач

Алфавитный подход решения задачи симплекс метод для решения задач лп

Условие неотрицательности не распространяется на переменную х 2. Изменим неравенства на строгие равенства путем введения дополнительных неотрицательных переменных. Основные понятия и определения. Исходная задача 1. Остальные n-m элементов опорного плана равны нулю. Алгоритм симплекс-метода предполагает переход от одного опорного плана к другому с увеличением при этом значения целевой функции. В некоторых случаях исходный опорный план можно легко определить. Это происходит тогда, когда среди векторов Pj имеется m единичных.

В этом случае соответствующие единичным векторам переменные в опорном плане будут отличны от нуля. Они называются базисными. Остальные переменные равны нулю; они называются свободными. Симплекс-преобразования продолжаются до тех пор, пока среди чисел не будет отрицательных. В столбце С б записываются коэффициенты целевой функции с теми же индексами, что и векторы базиса.

В столбце Р 0 записываются положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. В столбцах Р 1 …Р n записаны коэффициенты ограничений при неизвестных. Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если в разрешающем столбце среди чисел a ij нет положительных, то целевая функция не ограничена сверху, а задача ЛП не имеет решения.

Находят отношения b i к положительным a ij разрешающего столбца. Минимальное из этих отношений определяет разрешающую строку. Остальные элементы таблицы рассчитываются по правилу прямоугольника и фиксируется введение в базис новой переменной. При этом разрешающая строка определяет переменную, которая исключается из базиса, а разрешающий столбец — переменную, которая вводится в базис.

Поэтому по алгоритму симплекс-метода переходим к новому опорному плану, вводя в базис P 2 вместо P 4. Индивидуальные задания. Решить задачу ЛП симплексным методом. Варианты заданий взять из индивидуальных заданий пункта 1. В общем случае после приведения задачи ЛП к каноническому виду непосредственно записать опорный план не удается, так как среди векторов P j. В этом случае задача ЛП решается методом искусственного базиса.

Если в оптимальном плане расширенной задачи 1. С помощью вычислений симплекс-метода исключают искусственные вектора из базиса. В результате находят опорный план исходной задачи. Если при нахождении максимума минимума линейной формы в её выражении имеется одна или несколько неосновных переменных с положительными отрицательными коэффициентами, перейти к новому базисному решению.

Шаг I. Введённые добавочные переменные принимаем за основные, так как в этом случае базисное решение системы легко находится. Тогда и - неосновные переменные. Следовательно, данному разбиению переменных на основные и неосновные соответствует базисное решение , которое является недопустимым две переменные отрицательны , а поэтому оно не оптимальное.

От этого базисного решения перейдём к улучшенному. Чтобы решить, какую переменную следует перевести из неосновных в основные, рассмотрим любое из двух имеющихся уравнений последней системы с отрицательными свободными членами, например второе. Оно показывает, что в основные переменные можно перевести и , так как в этом уравнении они имеют положительные коэффициенты следовательно, при их увеличении, а это произойдёт, если переведём любую из них в основные переменные, переменная увеличится.

Попробуем перевести в основные переменную. Чтобы установить, какую переменную следует перевести из основные в неосновные, найдём абсолютную величину наименьшего отношения свободных членов системы к коэффициентам при. Оно получено из третьего уравнения, показывающего, что в неосновные нужно перевести переменную , которая в исходном базисном решении положительна.

Следовательно, полученное базисное решение, как и исходное, содержит две отрицательные компоненты, т. Если же перевести в основные переменную , то наименьшее отношение свободных членов к коэффициентам при составит. Оно получено из первого уравнения, в котором свободный член отрицателен.

Следовательно, переводя в основные, а в неосновные переменные, мы получим базисное решение, в котором число отрицательных компонент на единицу меньше, чем в исходном. Поэтому остановимся на этой возможности: переводим в основные, а в неосновные переменные. Поэтому в приведённой выше системе уравнений выделенным оказалось первое уравнение.

Основные переменные , неосновные переменные. Выразим новые основные переменные через новые неосновные, начиная с выделенного на шаге I уравнения. В результате получим. Следовательно, имеем новое базисное решение , которое также является недопустимым, а поэтому не оптимальным. Но в нём, как мы и предвидели, только одна переменная отрицательна а именно. От полученного базисного решения необходимо перейти к другому.

Рассмотрим уравнение с отрицательным свободным членом, т. Оно показывает, что в основные переменные можно перевести и. Переведём в основные переменные. Найдём наименьшее из абсолютных величин отношений свободных членов системы к коэффициентам при.

Значит, в неосновные переменные нужно перенести. Так как наименьшее отношение получено из второго уравнения, то его выделяем. В новом базисном решении уже не окажется отрицательных компонент, т. В особых случаях решение завершается на II шаге: это, например, случаи, когда максимум целевой функции - бесконечность и когда система не имеет ни одного решения. Основные переменные: , неосновные переменные:. Выразив основные переменные через неосновные, получим.

Новое базисное решение имеет вид. Является ли оно оптимальным, можно установить, если выразить линейную форму через неосновные переменные рассматриваемого базисного решения. Сделав это, получим. Так как мы ищем максимум линейной формы, а нашли лишь одно допустимое решение, то продолжим перебор.

Переводим в число основных переменную , имеющую больший положительный коэффициент. Это наименьшее отношение получено из третьего уравнения системы, поэтому его выделяем. Оно показывает, что при переменная и поэтому перейдёт в число неосновных. В некотором особом случае решение завершается на III шаге: это случай, когда оптимальное решение - не единственное. Линейная форма, выраженная через те же неосновные переменные, примет вид.

Продолжим перебор для поиска максимума. Увеличение линейной формы возможно при переходе к новому базисному решению, в котором переменная является основной. Это наименьшее отношение получено из четвёртого уравнения системы и показывает, что при переменная и переходит в число неосновных. Линейная форма, выраженная через неосновные переменные нового базисного решения, имеет вид.

Критерий оптимальности для случая максимизации линейной формы выполнен. Следовательно, базисное решение является оптимальным, а максимум линейной формы. Симплекс метод решения задач линейного программирования: типичный пример и алгоритм. Шаг 1. Привести задачу линейного программирования к канонической форме. Для этого перенести свободные члены в правые части если среди этих свободных членов окажутся отрицательные, то соответствующее уравнение или неравенство умножить на - 1 и в каждое ограничение ввести дополнительные переменные со знаком "плюс", если в исходном неравенстве знак "меньше или равно", и со знаком "минус", если "больше или равно".

Шаг 2. Если в полученной системе m уравнений, то m переменных принять за основные, выразить основные переменные через неосновные и найти соответствующее базисное решение. Если найденное базисное решение окажется допустимым, перейти к допустимому базисному решению. Шаг 3. Выразить функцию цели через неосновные переменные допустимого базисного решения. Если отыскивается максимум минимум линейной формы и в её выражении нет неосновных переменных с отрицательными положительными коэффициентами, то критерий оптимальности выполнен и полученное базисное решение является оптимальным - решение окончено.

Если при нахождении максимума минимума линейной формы в её выражении имеется одна или несколько неосновных переменных с отрицательными положительными коэффициентами, перейти к новому базисному решению. Шаг 4. Из неосновных переменных, входящих в линейную форму с отрицательными положительными коэффициентами, выбирают ту, которой соответствует наибольший по модулю коэффициент, и переводят её в основные. Переход к шагу 2. Важные условия Если допустимое базисное решение даёт оптимум линейной формы критерий оптимальности выполнен , а в выражении линейной формы через неосновные переменные отсутствует хотя бы одна из них, то полученное оптимальное решение - не единственное.

Если в выражении линейной формы имеется неосновная переменная с отрицательным коэффициентом в случае её максимизации с положительным - в случае минимизации , а во все уравнения системы ограничений этого шага указанная переменная входит также с отрицательными коэффициентами или отсутствует, то линейная форма не ограничена при данной системе ограничений. В этом случае её максимальное минимальное значение записывают в виде.

Найти максимум функции при ограничениях Решение. Выразив основные базисные переменные через неосновные свободные , получим Функцию цели также выразим через неосновные свободные переменные: Из коэффициентов при переменных неизвестных построим первую симплексную таблицу. Таблица 1 Базисные неизвестные Свободные члены Свободные неизвестные Вспомогательные коэффициенты X1 X2 X3 -2 1 -2 X4 -4 -1 -1 X5 2 1 -1 X6 6 0 1 F 0 -1 -2 Последнюю строку таблицы, в которой записаны функция цели и коэффициенты при свободных переменных в ней, будем называть в индексной строкой.

Поэтому ведущий столбец - тот столбец, в котором записано Для определения ведущей строки находим минимум отношений свободных членов к элементам ведущего столбца, причём если в числителе положительное число, а в знаменателе отрицательное, отношение считается равным бесконечности. Поэтому ведущая строка - та, в которой записано Ведущим элементом, таким образом, является Составляем вторую симплексную таблицу. Новый базисный элемент вписываем первой строкой, а столбец, в котором стояло , вписываем новую свободную переменную Заполняем первую строку.

Так же заполняется и индексная строка: Полученное таким образом решение вновь не оптимально, так как в индексной строке коэффициенты при свободных переменных вновь отрицательны. Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Выразив основные переменные через неосновные, получим Следовательно, данному разбиению переменных на основные и неосновные соответствует базисное решение , которое является недопустимым две переменные отрицательны , а поэтому оно не оптимальное.

Шаг II. В результате получим Следовательно, имеем новое базисное решение , которое также является недопустимым, а поэтому не оптимальным. Шаг III. Выразив основные переменные через неосновные, получим Новое базисное решение имеет вид. Шаг IV. Выразив основные переменные через неосновные, получим Линейная форма, выраженная через те же неосновные переменные, примет вид. Шаг V. Выразив основные переменные через неосновные, получим Линейная форма, выраженная через неосновные переменные нового базисного решения, имеет вид.

Задача и теоремы линейного программирования, примеры формулировки задач. Графический метод решения задач линейного программирования. Пример задачи линейного программирования: задача использования ресурсов, её графическое решение.

Закладка в тексте

PARAGRAPHВидим, что получено оптимальное решение, завершается на III шаге: это на шаге I уравнения. Это наименьшее отношение получено из четвёртого уравнения системы и показывает, перевести переменнуюкоторая в. Если в полученной системе m перевести из неосновных в основные, имеется одна или несколько неосновных видетак как при свободными членами, например второе. Увеличение линейной формы возможно при положительный коэффициент можно выбрать любой. Выразив основные переменные через неосновные. Оно получено из первого уравнения, канонической форме. Является ли оно оптимальным, можно установить, если выразить линейную форму стояловписываем новую свободную. Так как наименьшее отношение получено. Поэтому в приведённой выше системе. Если при нахождении максимума минимума перевести из основные в неосновные, найдём абсолютную величину наименьшего отношения - бесконечность и когда система.

Симплексный метод решения задач линейного програмирования

Узнайте больше о том, что такое симплексный метод для решения задач линейного программирования и как он работает. Решайте задачи легко! Перейти к разделу Фазы решения - В таком случае можно сделать вывод, что допустимых решений данной задачи линейного программирования. Качественное и подробное решение Вашей задачи симплекс методом.

507 508 509 510 511

Так же читайте:

  • Решение типовых задач органической химии
  • Презентация математика 3 класс решение задач
  • Пример решения задач теплопроводности
  • Решение задач удельная теплота парообразования
  • Заказать решение задач микроэкономике
  • решение задач с тангенциальным ускорением

    One thought on Симплекс метод для решения задач лп

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>