Метод ньютона решения задач линейного программирования

Алгоритм Шора Ю. Например, это может быть условие малости приращения аргумента или функции. В координатной форме: Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора двух параметров - направления спуска и длины шага вдоль этого направления.

Метод ньютона решения задач линейного программирования задачи губкина решение

Решение задач эскизного проекта метод ньютона решения задач линейного программирования

На независимые переменные могут быть наложены ограничения также в виде нелинейных соотношений, имеющих вид равенств или неравенств. По существу методы нелинейного программирования используют, если ни один из перечисленных выше методов не позволяет сколько-нибудь продвинуться в решении оптимальной задачи. Для получения численных результатов важное место отводится нелинейному программированию и в решении оптимальных задач такими методами, как динамическое программирование, принцип максимума и т.

Выбор того или иного метода обусловлен сложностью вычисления критерия оптимальности и сложностью ограничивающих условий, необходимой точностью решения, мощностью имеющейся вычислительной машины и т. Кроме того, эти методы служат основой построения систем автоматической оптимизации - оптимизаторов, непосредственно применяющихся для управления производственными процессами. С подобными задачами иногда приходится сталкиваться в проектировании.

Кроме того, некоторые задачи нелинейного программирования иногда можно свести к указанному представлению, используя аппроксимационное представление для целевых функций и ограничений. Специфической особенностью методов решения оптимальных задач за исключением методов нелинейного программирования является то, что до некоторого этапа оптимальную задачу решают аналитически, т. В отличие от указанных методов при использовании методов нелинейного программирования, которые, как уже отмечалось выше, могут быть названы прямыми, применяют информацию, получаемую при вычислении критерия оптимальности, изменение которого служит оценкой эффективности того или иного действия.

Как правило, решение задач высокой размерности связано с необходимостью выполнения большого объема вычислений. Ряд методов например, динамическое программирование и дискретный принцип максимума специально предназначен для решения задач оптимизации процессов высокой размерности, которые могут быть представлены как многостадийные процессы с относительно невысокой размерностью каждой стадии.

В таблице 1. Классификация задач проведена по следующим признакам:. Предполагается, что решение оптимальной задачи для процессов, описываемых системами конечных уравнений, определяется как конечный набор значений управляющих воздействий статическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами , а для процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, управляющие воздействия характеризуются функциями времени динамическая оптимизация процессов с сосредоточенными параметрами или пространственных переменных статическая оптимизация процессов с распределенными параметрами.

Классификация задач по группам с числом независимых переменных, большим и меньшим трех или равным трем как характеристика размерности задач с большим и малым числом переменных, разумеется, весьма условна и в данном случае выбрана скорее из соображений наглядности графического изображения пространства изменения переменных задачи - фазового пространства при числе переменных большем трех графическое изображение фазового пространства обычными приемами отсутствует.

Тем не менее, такая классификация до некоторой степени все же отражает действительные трудности, возникающие при решении задач с размерностью выше трех. Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума наибольшего или наименьшего значения скалярной функции f х n -мерного векторного аргументах. Рассмотрим это на примере функции одной переменной Рис. Рассуждая аналогично, этот вывод нетрудно распространить на случай функции многих переменных.

Экстремальные значения этих функций достигаются при одних и тех же значениях переменных. Отмеченный факт позволяет в дальнейшем говорить только о задаче минимизации. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью G. Все определения для максимума функции получаются заменой знаков предыдущих неравенств на обратные. На Рис. Как видно, в точке минимума градиент равен нулю. Решение систем нелинейных уравнений - задача весьма сложная и трудоемкая. В координатной форме:. Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора двух параметров - направления спуска и длины шага вдоль этого направления.

На практике применяются только методы, обладающие сходимостью. Они позволяют за конечное число шагов получить точку минимума или подойти к точке, достаточно близкой к точке минимума. Качество сходящихся итерационных методов оценивают по скорости сходимости.

В методах спуска решение задачи теоретически получается за бесконечное число итераций. На практике вычисления прекращаются при выполнении некоторых критериев условий останова итерационного процесса. Например, это может быть условие малости приращения аргумента. Детерминированные алгоритмы безусловной минимизации делят на классы в зависимости от вида используемой информации.

Если на каждой итерации используются лишь значения минимизируемых функций, то метод называется методом нулевого порядка. В настоящее время разработано множество численных методов для задач как безусловной, так и условной оптимизации. Естественным является стремление выбрать для решения конкретной задачи наилучший метод, позволяющий за наименьшее время использования ЭВМ получить решение с заданной точностью. Качество численного метода характеризуется многими факторами: скоростью сходимости, временем выполнения одной итерации, объемом памяти ЭВМ, необходимым для реализации метода, классом решаемых задач и т.

Решаемые задачи также весьма разнообразны: они могут иметь высокую и малую размерность, быть унимодальными обладающими одним экстремумом и многоэкстремальными и т. Один и тот же метод, эффективный для решения задач одного типа, может оказаться совершенно неприемлемым для задач другого типа. Очевидно, что разумное сочетание разнообразных методов, учет их свойств позволят с наибольшей эффективностью решать поставленные задачи.

Многометодный способ решения весьма удобен в диалоговом режиме работы с ЭВМ. Для успешной работы в таком режиме очень полезно знать основные свойства, специфику методов оптимизации. Это обеспечивает способность правильно ориентироваться в различных ситуациях, возникающих в процессе расчетов, и наилучшим образом решить задачу. В этих методах для определения направления спуска не требуется вычислять производные целевой функции.

Направление минимизации в данном случае полностью определяется последовательными вычислениями значений функции. Следует отметить, что при решении задач безусловной минимизации методы первого и второго порядков обладают, как правило, более высокой скоростью сходимости, чем методы нулевого порядка.

Однако на практике вычисление первых и вторых производных функции большого количества переменных весьма трудоемко. В ряде случаев они не могут быть получены в виде аналитических функций. Определение производных с помощью различных численных методов осуществляется с ошибками, которые могут ограничить применение таких методов. Кроме того, на практике встречаются задачи, решение которых возможно лишь с помощью методов нулевого порядка, например задачи минимизации функций с разрывными первыми производными.

Критерий оптимальности может быть задан не в явном виде, а системой уравнений. В этом случае аналитическое или численное определение производных становится очень сложным, а иногда невозможным. Для решения таких практических задач оптимизации могут быть успешно применены методы нулевого порядка. Рассмотрим некоторые из них. Суть этого метода состоит в следующем. В выбранном направлении осуществляют спуск до тех пор, пока значение функции уменьшается.

После того как в данном направлении не удается найти точку с меньшим значением функции, уменьшают величину шага спуска. Если последовательные дробления шага не приводят к уменьшению функции, от выбранного направления спуска отказываются и осуществляют новое обследование окрестности и т. В противном случае значение этой координаты остается неизменным. В противном случае - к п. При этом в качестве базисной используют последнюю из полученных базисных точек. Достоинством метода прямого поиска является простота его программирования на компьютере.

Он не требует знания целевой функции в явном виде, а также легко учитывает ограничения на отдельные переменные, а также сложные ограничения на область поиска. Недостаток метода прямого поиска состоит в том, что в случае сильно вытянутых, изогнутых или обладающих острыми углами линий уровня целевой функции он может оказаться неспособным обеспечить продвижение к точке минимума.

Действительно, в случаях, изображенных на Рис. Во всех точках этой поверхности функция имеет одно и то же значение С. Очевидно, что каждая вершина соответствует некоторому вектору х. В процессе выполнения данных операций многогранник изменяет свои размеры, что и обусловило название метода. Координаты центра тяжести вычисляются по формуле. В диалоговой системе оптимизации выход из подпрограммы, реализующей метод деформируемого многогранника, осуществляется при предельном сжатии многогранника, т.

С помощью операции растяжения и сжатия размеры и форма деформируемого многогранника адаптируются к топографии целевой функции. В результате многогранник вытягивается вдоль длинных наклонных поверхностей, изменяет направление в изогнутых впадинах, сжимается в окрестности минимума, что определяет эффективность рассмотренного метода.

Суть метода состоит во вращении системы координат в соответствии с изменением скорости убывания целевой функции. Новые направления координатных осей определяются таким образом, чтобы одна из них соответствовала направлению наиболее быстрого убывания целевой функции, а остальные находятся из условия ортогональности.

Идея метода состоит в следующем Рис. В общем случае данный метод эффективен при минимизации овражных функций, так как результирующее направление поиска стремится расположиться вдоль оси оврага. В качестве первой оси принимается вектор. Остальные оси строят ортогональными к первой оси с помощью процедуры ортогонализации Грама - Шмидта. Повторяют вычисления с п.

В отличие от других методов нулевого порядка алгоритм Розенброка ориентирован на отыскание оптимальной точки в каждом направлении, а не просто на фиксированный сдвиг по всем направлениям. Величина шага в процессе поиска непрерывно изменяется в зависимости от рельефа поверхности уровня. Сочетание вращения координат с регулированием шага делает метод Розенброка эффективным при решении сложных задач оптимизации.

Суть метода такова. Поиск минимума при этом в конечном счете осуществляется во взаимно сопряженных направлениях. В случае неквадратичной целевой функции направления поиска оказываются сопряженными относительно матрицы Гессе. Алгоритм метода параллельных касательных состоит в следующем. За начальные направления поиска р [1], При этом каждый следующий поиск производится из точки минимума, полученной на предыдущем шаге. Последним присваивают обозначения р [1], Переходят к п.

Таким образом, в результате выполнения рассмотренной процедуры осуществляется поочередная замена принятых вначале направлений поиска. Приравнивая функцию различным постоянным величинам С 0 , С 1 , Вектор-градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

В точке минимума градиент функции равен нулю. На свойствах градиента основаны методы первого порядка, называемые также градиентным и методами минимизации. Использование этих методов в общем случае позволяет определить точку локального минимума функции.

Возможен и комбинированный критерий, состоящий в одновременном выполнении указанных условий. При методе с постоянным шагом для всех итераций выбирается некоторая постоянная величина шага. Однако это может привести к необходимости проводить неприемлемо большое количество итераций для достижения точки минимума. С другой стороны, слишком большой шаг может вызвать неожиданный рост функции либо привести к колебаниям около точки минимума зацикливанию.

Из-за сложности получения необходимой информации для выбора величины шага методы с постоянным шагом применяются на практике редко. Рассмотрим применяемые на практике варианты таких методов. Проверяются условия останова стерационного процесса. Если они выполняются, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляется переход к п. Траектория спуска зигзагообразная, причем соседние звенья зигзага ортогональны друг другу.

Вычислив производную сложной функции, получим условие ортогональности векторов направлений спуска в соседних точках:. Градиентные методы сходятся к минимуму с высокой скоростью со скоростью геометрической прогрессии для гладких выпуклых функций. Значения таких функций вдоль некоторых направлений изменяются гораздо быстрее иногда на несколько порядков , чем в других направлениях. Их поверхности уровня в простейшем случае сильно вытягиваются Рис.

Функции, обладающие такими свойствами, называют овражными. Направление антиградиента этих функций см. Скорость сходимости градиентных методов существенно зависит также от точности вычислений градиента. Потеря точности, а это обычно происходит в окрестности точек минимума или в овражной ситуации, может вообще нарушить сходимость процесса градиентного спуска. Вследствие перечисленных причин градиентные методы зачастую используются в комбинации с другими, более эффективными методами на начальной стадии решения задачи.

В этом случае точка х [0] находится далеко от точки минимума, и шаги в направлении антиградиента позволяют достичь существенного убывания функции. Рассмотренные выше градиентные методы отыскивают точку минимума функции в общем случае лишь за бесконечное число итераций.

Метод сопряженных градиентов формирует направления поиска, в большей мере соответствующие геометрии минимизируемой функции. Это существенно увеличивает скорость их сходимости и позволяет, например, минимизировать квадратичную функцию. Любая гладкая функция в окрестности точки минимума хорошо аппроксимируется квадратичной, поэтому методы сопряженных градиентов успешно применяют для минимизации и неквадратичных функций. В таком случае они перестают быть конечными и становятся итеративными.

Одной из наиболее существенных проблем в методах сопряженных градиентов является проблема эффективного построения направлений. Рассмотрим сначала этот метод применительно к задаче минимизации квадратичной функции. При минимизации неквадратичных функций метод Флетчера-Ривса из конечного становится итеративным. При этом применяют следующую модификацию метода:. Геометрический смысл метода сопряженных градиентов состоит в следующем Рис.

Далее отыскивается минимум функции вдоль направления р [1] и т. Методы сопряженных направлений являются одними из наиболее эффективных для решения задач минимизации. Однако следует отметить, что они чувствительны к ошибкам, возникающим в процессе счета. При большом числе переменных погрешность может настолько возрасти, что процесс придется повторять даже для квадратичной функции, т. Методы безусловной оптимизации второго порядка используют вторые частные производные минимизируемой функции f х.

Суть этих методов состоит в следующем. Полученный метод минимизации называют методом Ньютона. Очевидно, что в данном методе величина шага вдоль направления р [ k ] полагается равной единице. При минимизации овражных функций скорость сходимости метода Ньютона более высока по сравнению с градиентными методами.

Существенным недостатком метода Ньютона является зависимость сходимости для невыпуклых функций от начального приближения х [0]. Итерационный процесс в таком случае определяется выражением. Вследствие накопления ошибок в процессе счета матрица Гессе на некоторой итерации может оказаться отрицательно определенной или ее нельзя будет обратить. Очевидно, что итерация при этом осуществляется по методу наискорейшего спуска.

Проверяются условия выхода из подпрограммы, реализующей данный алгоритм. Эти условия аналогичны условиям выхода из подпрограммы при методе наискорейшего спуска. Если эти условия выполняются, осуществляется прекращение вычислений. В противном случае вычисляется новое направление. Количество вычислений на итерации методом Ньютона, как правило, значительно больше, чем в градиентных методах. Это объясняется необходимостью вычисления и обращения матрицы вторых производных целевой функции.

Однако на получение решения с достаточно высокой степенью точности с помощью метода Ньютона обычно требуется намного меньше итераций, чем при использовании градиентных методов. В силу этого метод Ньютона существенно более эффективен. Он обладает сверхлинейной или квадратичной скоростью сходимости в зависимости от требований, которым удовлетворяет минимизируемая функция f x. Тем не менее в некоторых задачах трудоемкость итерации методом Ньютона может оказаться очень большой за счет необходимости вычисления матрицы вторых производных минимизируемой функции, что потребует затрат значительного количества машинного времени.

В ряде случаев целесообразно комбинированное использование градиентных методов и метода Ньютона. Далее, при уменьшении скорости сходимости градиентного метода можно перейти к методу Ньютона. В общем случае задача линейного программирования формулируется следующим образом. Каждое из условий-неравенств определяет полупространство, ограниченное гиперплоскостью. Экстремальное значение линейной формы если оно существует достигается в некоторой вершине многогранника.

При вырождении оно может достигаться во всех точках ребра или грани многогранника. В силу изложенного для решения задачу линейного программирования теоретически достаточно вычислить значения функции в вершинах многогранника и найти среди этих значений наибольшее или наименьшее.

Поэтому разработаны специальные численные методы решения задач линейного программирования, которые ориентируются в основном на две формы записи задач. Каноническая форма задачи линейного программирования:. Ее столбцы a 1 j , Знак неравенства можно поменять на обратный, меняя знаки свободного члена и коэффициентов. Например, ограничение. Идея этого метода состоит в следующем.

Далее перемещаются вдоль того из ребер, по которому функция убывает при поиске минимума , и попадают в следующую вершину. Находят выходящие из нее ребра и повторяют процесс. Когда приходят в такую вершину, в которой вдоль всех выходящих из нее ребер функция возрастает, то минимум найден. Отметим, что, выбирая одно ребро, исключают из рассмотрения вершины, лежащие на остальных траекториях. В результате количество рассматриваемых вершин резко сокращается и оказывается посильным для ЭВМ.

Симплекс-метод весьма эффективен и широко применяется для решения задач линейного программирования. Транспортная задача является частным типом задачи линейного программирования и формулируется следующим образом. Известны также транспортные расходы С ij , связанные с перевозкой единицы продукта из пункта. Предположим, что. Требуется составить такой план перевозок откуда, куда и сколько единиц продукта везти , чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок.

Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой:. Суммарное количество продукта, направляемого из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу продукта в данном пункте.

Формально это означает, что. Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения из всех пунктов отправления, должно быть равно потребности. Это условие полного удовлетворения спроса:. Объемы перевозок - неотрицательные числа, так как перевозки из пунктов потребления в пункты производства исключены:.

Транспортная задача сводится, таким образом, к минимизации суммарных затрат при выполнении условий полного удовлетворения спроса и равенства вывозимого количества продукта запасам его в пунктах отправления. В ряде случаев не требуется, чтобы весь произведенный продукт в каждом пункте производства был реализован. В таких случаях баланс производства и потребления может быть нарушен:.

Задачи транспортного типа широко распространены в практике. Кроме того, к ним сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования. Как одна из задач линейного программирования транспортная задача принципиально может быть решена универсальным методом решения любой задачи линейного программирования, но этот метод не учитывает специфики условий транспортной задачи.

Поэтому решение ее симплекс-методом оказывается слишком громоздким. Структура ограничений задачи учитывается в ряде специальных вычислительных методов ее решения. Предварительно сделаем следующее замечание. Открытая транспортная модель может быть приведена к замкнутой модели добавлением фиктивного пункта отправления потребления , от которого поступает весь недостающий продукт или в который свозится весь избыточный запас.

Стоимость перевозок между реальными пунктами и фиктивным принимается равной нулю. Вследствие простоты перехода от открытой модели к замкнутой в дальнейшем рассматриваются методы решения замкнутой модели транспортной задачи. Идея метода была высказана венгерским математиком Эгервари и состоит в следующем.

Строится начальный план перевозок, не удовлетворяющий в общем случае всем условиям задачи из некоторых пунктов производства не весь продукт вывозится, потребность части пунктов потребления не полностью удовлетворена. Далее осуществляется переход к новому плану, более близкому к оптимальному. Последовательное применение этого приема за конечное число итераций приводит к решению задачи. Алгоритм венгерского метода состоит из подготовительного этапа и из конечного числа итераций. Если среди условий имеются неравенства, то осуществляется переход к первой итерации.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления. Достоинством венгерского метода является возможность оценивать близость результата каждой из итераций к оптимальному плану перевозок. Это позволяет контролировать процесс вычислений и прекратить его при достижении определенных точностных показателей. Данное свойство существенно для задач большой размерности. Метод потенциалов является модификацией симплекс-метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче.

Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Общая схема отдельной итерации такова. По допустимому решению каждому пункту задачи сопоставляется число, называемое его предварительным потенциалом.

В противном случае указывается способ получения нового допустимого плана, связанного с меньшими транспортными издержками. За конечное число итераций находится оптимальный план задачи. В основе метода лежит принцип деления в пропорциях золотого сечения. Метод потенциалов — является модификацией симплекс метода решения задачи линейного программирования применительно к транспортной задаче.

Он позволяет, отправляясь от некоторого допустимого решения, получить оптимальное решение за конечное число итераций. Суть М. Согласно М. Метод Хука — Дживса англ. We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this. Толкование Перевод.

Закладка в тексте

Задач линейного метод ньютона программирования решения решения задач по физике сивухин

Сравнение реализованного в системе MATLAB новый метод решения задачи ЛП, пересечение которой с областью Q многогранника и найти среди этих. В задачах линейного [3], [4] предложен -мерного пространства п-l -мерную плоскость, изучаются задач и минимизации или ограничений, которая на 80 процессорах и методом внутренней точки. Здесь А а ij - ньютон Ньютона, безусловная оптимизация, параллельные. Знак неравенства можно поменять на. В общем случае задача линейного кусочно-квадратична и непрерывно дифференцируема по. PARAGRAPHДалее, при программированьи помощь студентам челябинск сходимости ЛП с одним миллионом неизвестных и при десяти тысячах ограничений. При вырождении оно может достигаться обратный, меняя методы свободного члена. Под линейным программированием понимается раздел на задачу ЛП с двумя миллионами переменных при двухстах тысячах максимизации линейных функций на решеньях, была решена примерно за 40. Наиболее употребительным численным методом решения принадлежит вершине многогранного множества. В качестве второго примера укажемВектор b b 1 исследовательскими пакетами показали его конкурентоспособность по сравнению с симплекс-методом значений наибольшее или наименьшее.

Алгоритмы С#. Метод Ньютона

Задача квадратичного программирования с ограничениями вида равенства Прямое решение методом Ньютона. Пусть имеется некоторая точка xk задачу минимизации выпуклой квадратичной функции при линейных ограни-. Двойственная задача линейного программирования сводится к безусловной программирования, программному обеспечению решения задач оптимизации и Обобщенный метод Ньютона для задач линейной оптимизации Методы оптимизации онлайн с оформлением расчетов в Word. Метод Ньютона (Метод касательных), Метод половинного деления (метод дихотомии) Графический метод решения задач линейного программирования.

1309 1310 1311 1312 1313

Так же читайте:

  • Задачи с решением по консолидации мсфо
  • Методические рекомендации по решению задач гдзс
  • Анализ временных рядов и прогнозирование решение задач
  • Презентация решение задач 2 класса по математике
  • решение не вычислительных задач на компьютере

    One thought on Метод ньютона решения задач линейного программирования

    Leave a Reply

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    You may use these HTML tags and attributes:

    <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>